Инверсивное расстояние

В инверсной геометрии инверсивное расстояние — это способ измерения « расстояния » между двумя кругами , независимо от того, пересекают ли круги друг друга, касаются друг друга или не пересекаются друг с другом. ^[1]

Характеристики

Инверсивное расстояние остается неизменным, если круги перевернуты или преобразованы преобразованием Мёбиуса . ^[1]^[2]^[3] Одну пару окружностей можно преобразовать в другую с помощью преобразования Мёбиуса тогда и только тогда, когда обе пары имеют одинаковое инверсивное расстояние. ^[1]

Аналог теоремы Бекмана-Куорлза верен для инверсного расстояния: если биекция множества окружностей в инверсной плоскости сохраняет инверсное расстояние между парами окружностей на некотором выбранном фиксированном расстоянии $\delta$ , то это должно быть преобразование Мёбиуса, сохраняющее все инверсные расстояния. ^[3]

Формула расстояния

Для двух окружностей в евклидовой плоскости радиусами $r$ и $R$ и расстояние $d$ между их центрами можно определить обратное расстояниепо формуле ^[1]

I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2rR}}.

Эта формула дает:

значение больше 1 для двух непересекающихся кругов,
значение 1 для двух окружностей, которые касаются друг друга и находятся вне друг друга,
значение от −1 до 1 для двух пересекающихся кругов,
- значение 0 для двух окружностей, пересекающих друг друга под прямым углом ,
значение -1 для двух окружностей, которые касаются друг друга, одна внутри другой,
и значение меньше -1, когда один круг содержит другой.

(Некоторые авторы определяют абсолютное инверсное расстояние как абсолютное значение инверсного расстояния.)

Некоторые авторы модифицируют эту формулу, взяв обратный гиперболический косинус приведенного выше значения, а не само значение. ^[2]^[4]^[5] То есть вместо использования числа $I$ как инверсное расстояние, вместо этого расстояние определяется как число $\delta$ подчиняясь уравнению

\delta =\operatorname {arcosh} (I).

Хотя преобразование инверсного расстояния таким способом усложняет формулу расстояния и препятствует ее применению для пересечения пар кругов, оно имеет то преимущество, что (как обычное расстояние для точек на линии) расстояние становится аддитивным для кругов на карандаше. кругов . То есть, если три окружности принадлежат общему карандашу, то (с помощью $\delta$ вместо $I$ как инверсное расстояние) одно из трех их парных расстояний будет суммой двух других. ^[2]

В других геометриях

Также возможно определить инверсивное расстояние для окружностей на сфере или для окружностей в гиперболической плоскости . ^[1]

Приложения

Цепи Штейнера

Цепью Штейнера для двух непересекающихся окружностей называется конечная циклическая последовательность дополнительных окружностей, каждая из которых касается двух данных окружностей и двух своих соседей по цепочке.Поризм Штейнера утверждает, что если два круга имеют цепочку Штейнера, то у них бесконечно много таких цепей.Цепочке разрешено обертывать два круга более одного раза, и ее можно охарактеризовать рациональным числом. $p$ чей числитель — это количество кругов в цепочке, а знаменатель — количество витков, которые она совершает. Все цепочки для одних и тех же двух кругов имеют одинаковое значение $p$ . Если обратное расстояние между двумя окружностями (после взятия обратного гиперболического косинуса) равно $\delta$ , затем $p$ можно найти по формуле

p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\delta /2)}}.

И наоборот, каждые две непересекающиеся окружности, для которых эта формула дает рациональное число , будут поддерживать цепочку Штейнера. В более общем смысле, произвольная пара непересекающихся окружностей может быть сколь угодно близко аппроксимирована парами окружностей, поддерживающими цепи Штейнера, $p$ значения являются рациональными приближениями к значению этой формулы для данных двух кругов. ^[2]

Круглые упаковки

Инверсивное расстояние использовалось для определения концепции упаковки кругов на инверсном расстоянии : набора кругов, в котором указанное подмножество пар кругов (соответствующее ребрам плоского графа ) имеет заданное инверсное расстояние по отношению к каждому другой. Эта концепция обобщает упаковки кругов, описываемые теоремой об упаковке кругов , в которой указанные пары кругов касаются друг друга. ^[1]^[6] Хотя о существовании инверсных упаковок дистанционных кругов известно меньше, чем об упаковках касательных кругов, известно, что, когда они существуют, они могут быть однозначно заданы (с точностью до преобразований Мёбиуса) заданным максимальным плоским графом и набором евклидовых или гиперболических инверсные расстояния. Это свойство жесткости можно широко обобщить на евклидовы или гиперболические метрики на триангулированных многообразиях с угловыми дефектами в вершинах. ^[7] Однако для многообразий сферической геометрии эти упаковки уже не являются уникальными. ^[8] В свою очередь, упаковки кругов с инверсным расстоянием использовались для построения аппроксимаций конформных отображений . ^[1]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Бауэрс, Филип Л.; Хурдал, Моника К. (2003), «Плоские конформные отображения кусочно-плоских поверхностей», в Хеге, Ханс-Кристиан; Полтье, Конрад (ред.), «Визуализация и математика III» , «Математика и визуализация», Springer, стр. 3–34, номер документа : 10.1007/978-3-662-05105-4_1 , MR 2046999 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1966), «Инверсивное расстояние», Annals of Pure and Applied Mathematics , 71 :73–83, doi : 10.1007/BF02413734 , MR 0203568 , S2CID 186215958 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Лестер, Дж. А. (1991), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсивного расстояния Кокстера», Canadian Mathematical Bulletin , 34 (4): 492–498, doi : 10.4153/CMB-1991-079-6 , MR 1136651 .
^ Коксетер, HSM ; Грейтцер, С.Л. (1967), Возвращение к геометрии , Новая математическая библиотека , том. 19, Вашингтон, округ Колумбия : Математическая ассоциация Америки , стр. 123–124, ISBN. 978-0-88385-619-2 , Збл 0166.16402
^ Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2014), «Инверсивное расстояние», Энциклопедия расстояний (3-е изд.), Springer, стр. 369, номер домена : 10.1007/978-3-662-44342-2_19
^ Бауэрс, Филип Л.; Стивенсон, Кеннет (2004), «8.2 Инверсивные упаковки расстояний», Униформизация рисунков и карт Белого посредством упаковки кругов , Мемуары Американского математического общества, том. 170, стр. 78–82, doi : 10.1090/memo/0805 , MR 2053391 .
^ Луо, Фэн (2011), «Жесткость многогранных поверхностей, III», Геометрия и топология , 15 (4): 2299–2319, arXiv : 1010.3284 , doi : 10.2140/gt.2011.15.2299 , MR 2862158 , S2CID 119609724 .
^ Ма, Цзимин; Шленкер, Жан-Марк (2012), «Нежесткость сферических инверсивных упаковок дистанционных кругов», Discrete & Computational Geometry , 47 (3): 610–617, arXiv : 1105.1469 , doi : 10.1007/s00454-012-9399-3 , МР 2891251 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Обратное расстояние» , MathWorld

[bh-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Бауэрс, Филип Л.; Хурдал, Моника К. (2003), «Плоские конформные отображения кусочно-плоских поверхностей», в Хеге, Ханс-Кристиан; Полтье, Конрад (ред.), «Визуализация и математика III» , «Математика и визуализация», Springer, стр. 3–34, номер документа : 10.1007/978-3-662-05105-4_1 , MR 2046999 .

[ampa-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1966), «Инверсивное расстояние», Annals of Pure and Applied Mathematics , 71 :73–83, doi : 10.1007/BF02413734 , MR 0203568 , S2CID 186215958 .

[bq-3] Перейти обратно: ^а ^б Лестер, Дж. А. (1991), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсивного расстояния Кокстера», Canadian Mathematical Bulletin , 34 (4): 492–498, doi : 10.4153/CMB-1991-079-6 , MR 1136651 .

[4] Коксетер, HSM ; Грейтцер, С.Л. (1967), Возвращение к геометрии , Новая математическая библиотека , том. 19, Вашингтон, округ Колумбия : Математическая ассоциация Америки , стр. 123–124, ISBN. 978-0-88385-619-2 , Збл 0166.16402

[5] Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2014), «Инверсивное расстояние», Энциклопедия расстояний (3-е изд.), Springer, стр. 369, номер домена : 10.1007/978-3-662-44342-2_19

[6] Бауэрс, Филип Л.; Стивенсон, Кеннет (2004), «8.2 Инверсивные упаковки расстояний», Униформизация рисунков и карт Белого посредством упаковки кругов , Мемуары Американского математического общества, том. 170, стр. 78–82, doi : 10.1090/memo/0805 , MR 2053391 .

[7] Луо, Фэн (2011), «Жесткость многогранных поверхностей, III», Геометрия и топология , 15 (4): 2299–2319, arXiv : 1010.3284 , doi : 10.2140/gt.2011.15.2299 , MR 2862158 , S2CID 119609724 .

[8] Ма, Цзимин; Шленкер, Жан-Марк (2012), «Нежесткость сферических инверсивных упаковок дистанционных кругов», Discrete & Computational Geometry , 47 (3): 610–617, arXiv : 1105.1469 , doi : 10.1007/s00454-012-9399-3 , МР 2891251 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]