Неравенство Педо

В геометрии неравенство Педо (также неравенство Нойберга-Педо ), названное в честь Даниэля Педо (1910–1998) и Жозефа Жана Батиста Нойберга (1840–1926), гласит, что если a , b и c являются длинами сторон a треугольника площадью ƒ , а A , B и C — длины сторон треугольника площадью F , тогда

$A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,$

с равенством тогда и только тогда, когда два треугольника подобны с парами соответствующих сторон ( A, a ), ( B, b ) и ( C, c ).

Выражение слева не только симметрично относительно любой из шести перестановок набора пар { ( A , a ), ( B , b ), ( C , c )}, но также — возможно, не так очевидно — остается если a поменяно местами с A , b с B и c с C. то же самое , Другими словами, это симметричная функция пары треугольников.

Неравенство Педо является обобщением неравенства Вайценбека , которое представляет собой случай, когда один из треугольников равносторонний .

Педо обнаружил неравенство в 1941 году и впоследствии опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что это неравенство было известно еще в XIX веке Нойбергу, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.

Доказательство

По формуле Герона площадь двух треугольников можно выразить как:

$16f^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

$16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})$

и тогда, используя неравенство Коши-Шварца , имеем:

$16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}$

$\leq {\sqrt {16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}}}{\sqrt {16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4}}}$

$=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})$

Так,

$16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}$

$=A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$

и предложение доказано.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ${\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {f}{F}}}$, то есть два треугольника подобны.

См. также

• Список неравенств треугольника

Ссылки

• Дэниел Педо : Неравенство, соединяющее любые два треугольника . Математический вестник, Vol. 25, № 267 (декабрь 1941 г.), стр. 310–311 ( JSTOR )
• Дэниел Педо: Неравенство двух треугольников . The American Mathematical Monthly , том 70, номер 9, страница 1012, ноябрь 1963 г.
• Дэниел Педо: Неравенство для двух треугольников . Труды Кембриджского философского общества , том 38, часть 4, страница 397, 1943.
• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства . МАА, 2009, ISBN   978-0-88385-342-9 , с. 108
• Д.С. Митринович, Йосип Печарич: О неравенствах Нойберга-Педо и Оппенгейма . Журнал математического анализа и приложений 129 (1): 196–210 · январь 1988 г. ( онлайн-копия )
• К.С. Пох: Краткая заметка по теореме Педо о двух треугольниках . Математическая попурри Сингапурского математического общества, том 11-2 ( онлайн-копия )