Линейное неравенство

В математике линейное неравенство — это неравенство , в котором участвует линейная функция . Линейное неравенство содержит один из символов неравенства:

• < меньше чем
• > больше, чем
• ≤ меньше или равно
• ≥ больше или равно
• ≠ не равно

Линейное неравенство выглядит точно так же, как линейное уравнение , в котором знак неравенства заменяет знак равенства.

Линейные неравенства действительных чисел

Двумерные линейные неравенства

График линейного неравенства:
х + 3y < 9

Двумерные линейные неравенства представляют собой выражения с двумя переменными вида:

$ax+by<c{\text{ and }}ax+by\geq c,$

где неравенства могут быть либо строгими, либо нет. Множество решений такого неравенства можно графически представить в виде полуплоскости (все точки на одной «стороне» фиксированной прямой) на евклидовой плоскости. Линия, определяющая полуплоскости ( ax + by = c ), не включается в множество решений, когда неравенство строгое. Простая процедура определения того, какая полуплоскость входит в набор решений, состоит в том, чтобы вычислить значение ax + by в точке ( x ₀ , y ₀ ), которая не находится на прямой, и наблюдать, выполняется ли неравенство.

Например, Чтобы нарисовать набор решений x + 3 y < 9, сначала рисуют линию с уравнением x + 3 y = 9 в виде пунктирной линии, чтобы указать, что линия не включена в набор решений, поскольку неравенство строгое. Затем выберите удобную точку не на прямой, например (0,0). Поскольку 0 + 3(0) = 0 <9, эта точка входит в множество решений, поэтому полуплоскость, содержащая эту точку (полуплоскость «ниже» прямой), является множеством решений этого линейного неравенства.

Линейные неравенства в общих размерностях

В Р ^н линейные неравенства — это выражения, которые можно записать в виде

$f({\bar {x}})<b$ или $f({\bar {x}})\leq b,$

где f — линейная форма (также называемая линейным функционалом ), ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ и b постоянное действительное число.

Более конкретно это можно записать как

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b$

или

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.$

Здесь $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ называются неизвестными, а $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ называются коэффициентами.

Альтернативно, они могут быть записаны как

$g(x)<0\,$ или $g(x)\leq 0,$

где g — аффинная функция .

То есть

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0$

или

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.$

Обратите внимание, что любое неравенство, содержащее знак «больше» или «больше или равно», можно переписать знаком «меньше» или «меньше или равно», поэтому нет необходимости определять линейные неравенства с использованием этих знаков.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это совокупность линейных неравенств от одних и тех же переменных:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Здесь $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ неизвестные, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ – коэффициенты системы, а $b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ являются постоянными условиями.

Кратко это можно записать как матричное неравенство

$Ax\leq b,$

где A — матрица размера m × n , x — n × 1 вектор-столбец переменных размера , а b — m × 1. вектор-столбец констант размера

В рассмотренных выше системах могут использоваться как строгие, так и нестрогие неравенства.

• Не все системы линейных неравенств имеют решения.

Переменные можно исключить из систем линейных неравенств с помощью исключения Фурье – Моцкина .

Приложения

Многогранники

Множество решений действительного линейного неравенства представляет собой полупространство n -мерного реального пространства, одно из двух, определяемых соответствующим линейным уравнением.

Множество решений системы линейных неравенств соответствует пересечению полупространств, определяемых отдельными неравенствами. Это выпуклое множество , поскольку полупространства являются выпуклыми множествами, а пересечение множества выпуклых множеств также выпукло. В невырожденных случаях это выпуклое множество представляет собой выпуклый многогранник (возможно, неограниченный, например полупространство, плиту между двумя параллельными полупространствами или многогранный конус ). Он также может быть пустым или выпуклым многогранником меньшей размерности, заключенным в аффинном подпространстве пространства n -мерного R. ^н .

Линейное программирование

Основная статья: Линейное программирование

Задача линейного программирования направлена ​​на оптимизацию (нахождение максимального или минимального значения) функции (называемой целевой функцией ) с учетом ряда ограничений на переменные, которые, как правило, представляют собой линейные неравенства. Список ограничений представляет собой систему линейных неравенств.

Обобщение

Приведенное выше определение требует четко определенных операций сложения , умножения и сравнения ; следовательно, понятие линейного неравенства может быть распространено на упорядоченные кольца и, в частности, на упорядоченные поля .

Источники

• Ангел, Аллен Р.; Портер, Стюарт Р. (1989), Обзор математики с приложениями (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-13696-1
• Миллер, Чарльз Д.; Хирен, Верн Э. (1986), Математические идеи (5-е изд.), Скотт, Форесман, ISBN  0-673-18276-2

Внешние ссылки

• Академия Хана: Линейные неравенства, бесплатные онлайн-микролекции