Битопологическое пространство

В математике битопологическое пространство — это множество , наделенное двумя топологиями . Обычно, если набор $X$ и топологии $\sigma$ и $\tau$ тогда битопологическое пространство называется $(X,\sigma ,\tau )$. Это понятие было введено Дж. Келли при изучении квазиметрики , то есть функций расстояния, от которых не требуется быть симметричными.

Непрерывность

Карта ​ $\scriptstyle f:X\to X'$ из битопологического пространства $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ в другое битопологическое пространство $\scriptstyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')$ называется непрерывным или иногда попарно непрерывным, если $\scriptstyle f$ непрерывно как отображение из $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ к $\scriptstyle (X',\tau _{1}')$ и как карта из $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ к $\scriptstyle (X',\tau _{2}')$.

Битопологические варианты топологических свойств

В соответствии с известными свойствами топологических пространств существуют версии для битопологических пространств.

• Битопологическое пространство $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ попарно компактна, если каждое покрытие $\scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}$ из $\scriptstyle X$ с $\scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}$, содержит конечное подпокрытие. В этом случае, $\scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}$ должен содержать хотя бы одного участника из $\tau _{1}$ и хотя бы один участник из $\tau _{2}$
• Битопологическое пространство $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ попарно хаусдорфово, если для любых двух различных точек $\scriptstyle x,y\in X$ существуют непересекающиеся $\scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}$ и $\scriptstyle U_{2}\in \tau _{2}$ с $\scriptstyle x\in U_{1}$ и $\scriptstyle y\in U_{2}$.
• Битопологическое пространство $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ попарно нульмерен, если открывается в $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ которые закрыты в $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ составить основу для $\scriptstyle (X,\tau _{1})$и открывается в $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ которые закрыты в $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ составить основу для $\scriptstyle (X,\tau _{2})$.
• Битопологическое пространство $\scriptstyle (X,\sigma ,\tau )$ называется бинормальным, если для любого $\scriptstyle F_{\sigma }$ $\scriptstyle \sigma$-закрытый и $\scriptstyle F_{\tau }$ $\scriptstyle \tau$-есть закрытые наборы $\scriptstyle G_{\sigma }$ $\scriptstyle \sigma$-открыть и $\scriptstyle G_{\tau }$ $\scriptstyle \tau$-открытые множества такие, что $\scriptstyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }$ $\scriptstyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }$, и $\scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .$

Ссылки

• Келли, Джей Си (1963). Битопологические пространства. Учеб. Лондонская математика. Соц. , 13(3) 71–89.
• Рейли, Иллинойс (1972). О свойствах битопологической сепарации. Нанта Математика. , (2) 14–25.
• Рейли, Иллинойс (1973). Нульмерные битопологические пространства. Индаг. Математика. , (35) 127–131.
• Салбани, С. (1974). Битопологические пространства, компактификации и пополнения . Кафедра математики Кейптаунского университета, Кейптаун.
• Копперман, Р. (1995). Асимметрия и двойственность в топологии. Топология Appl. , 66(1) 1--39.
• Флетчер. П., Хойл HB III и Пэтти CW (1969). Сравнение топологий. Герцог Мат. Дж. , 36(2) 325–331.
• Дочвири И., Ноири Т. (2015). О некоторых свойствах устойчивых битопологических пространств. Тополь. Учеб. , 45 111–119.