пространство Эсакии

В математике введенные пространства Эсакии — это специальные упорядоченные топологические пространства, и изученные Лео Эсакиа в 1974 году. Пространства Эсакии играют фундаментальную роль в изучении алгебр Гейтинга , прежде всего в силу двойственности Эсакии — двойственной эквивалентности между категорией алгебр Гейтинга и категорией пространств Эсакии.

Определение

Для частично упорядоченного множества ( X , ≤ ) и x ∈ X пусть ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } и пусть ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y }. Кроме того, для A ⊆ X пусть ↓ A = { y ∈ X : y ≤ x для некоторого x ∈ A } и ↑ A = { y ∈ X : y ≥ x для некоторого x ∈ A }.

Пространство Эсакии — это пространство Пристли ( X , τ ,≤) такое, что для каждого открыто-замкнутого подмножества C топологического пространства ( X , τ ) множество ↓ C также является открыто-замкнутым.

Эквивалентные определения

Существует несколько эквивалентных способов определения пространств Эсакии.

Теорема: Учитывая, что ( X , τ ) является пространством Стоуна , следующие условия эквивалентны:

(i) ( X , τ ,妻) — пространство Эсакии.

(ii) ↑ x замкнуто замкнуто для каждого x ∈ X и ↓ C открыто-замкнуто для каждого открыто- C ⊆ X .

(iii) ↓ x замкнуто для каждого x ∈ X и ↑cl( A ) = cl(↑ A ) для каждого A ⊆ X (где cl обозначает замыкание в X ).

(iv) ↓ x замкнуто для каждого x ∈ X , наименее замкнутое множество, содержащее up-множество , является up-множеством, а наименьшее up-множество, содержащее замкнутое множество, является замкнутым.

Поскольку пространства Пристли можно описать в терминах спектральных пространств , свойство Эсакии можно выразить в терминологии спектрального пространства следующим образом:Пространство Пристли, соответствующее спектральному пространству X, является пространством Эсакии тогда и только тогда, когда замыкание каждого конструктивного подмножества X . конструктивно

Морфизмы Эсакии

Пусть ( X ,妻) и ( Y ,妻) — частично упорядоченные множества, и пусть f : X → Y — отображение , сохраняющее порядок . Отображение f является ограниченным морфизмом (также известным как p-морфизм ), если для каждых x ∈ X и y ∈ Y , если f( x )≤ y , то существует z ∈ X такой, что x ≤ z и f( z ) = у .

Теорема: Следующие условия эквивалентны:

(1) f — ограниченный морфизм.

(2) f(↑ x ) = ↑f( x ) для каждого x ∈ X .

(3) е ⁻¹ (↓ y ) = ↓f ⁻¹ ( y ) для каждого y ∈ Y .

Пусть ( X , τ , ≤ ) и ( Y , τ ′ , ≤) — пространства Эсакии, и пусть f : X → Y — отображение. Отображение f называется морфизмом Эсакии, если f — непрерывный ограниченный морфизм.

Ссылки

• Esakia, L. (1974). Topological Kripke models. Soviet Math. Dokl. , 15 147–151.
• Эсакиа, Л. (1985). Алгебры Гейтинга I. Теория двойственности (рус.) . Мецниереба, Тбилиси.
• Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. Том. 35. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781316543870 . ISBN  9781107146723 .