Квазидиэдрическая группа
В математике квазидиэдральные группы , также называемые полудиэдральными группами , представляют собой определенные неабелевы группы порядка степени 2. Для каждого положительного целого числа n, большего или равного 4, существует ровно четыре класса изоморфизма не- абелевы группы порядка 2 н которые имеют циклическую подгруппу индекса 2. Две из них хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и группа диэдра . Одну из оставшихся двух групп часто считают особенно важной, поскольку она является примером 2-группы максимального класса нильпотентности . В Бертрама Юпперта тексте Endliche Gruppen эта группа называется «Quasidiedergruppe». В Дэниела Горенштейна тексте «Конечные группы » эта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдрической группой»; мы принимаем это имя в этой статье. Все дают одну и ту же презентацию для этой группы:
- .
Другая неабелева 2-группа с циклической подгруппой индекса 2 ни в одном тексте не имеет специального имени, а называется просто G или M m (2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модульной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп является модулярной . В данной статье эту группу будем называть модулярной максимально-циклической группой порядка . Его презентация:
- .
Обе эти группы и группа диэдра являются полупрямыми произведениями циклической группы <r> порядка 2. п -1 с циклической группой <s> порядка неабелевое полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 из группы единиц кольца 2. Такое и таких элементов ровно три, , , и , соответствующий группе диэдра, квазидиэдру и модулярной максимально-циклической группе.
Обобщенная группа кватернионов, группа диэдра и группа квазидиэдра второго порядка. н все они имеют класс нильпотентности n - 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2. н с классом нильпотентности n − 1. Группы порядка p н и класс нильпотентности n - 1 положили начало классификации всех p -групп через кокласс . Модулярная максимально-циклическая группа порядка 2 н всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модульную максимально-циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка p н для больших n имеют класс нильпотентности 2, и их трудно понять напрямую.
Обобщенный кватернион, диэдр и квазидиэдральная группа — единственные 2-группы, производная подгруппа которых имеет индекс 4. Теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицирует простые группы и в некоторой степени конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. .
Примеры
[ редактировать ]Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:
- PSL 3 ( F q ) для q ≡ 3 mod 4,
- БП 3 ( F q ) для q ≡ 1 mod 4,
- группа Матье M 11 ,
- GL 2 ( F q ) для q ≡ 3 mod 4.
Ссылки
[ редактировать ]- Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. стр. 71–72. ISBN 9780471433347 .
- Юпперт, Б. (1967). Конечные группы . Спрингер. стр. 90–93. MR0224703 .
- Горенштейн, Д. (1980). Конечные группы . Челси. стр. 188–195. ISBN 0-8284-0301-5 . МР 0569209 .