Jump to content

Теорема о соответствии

В теории групп теорема соответствия [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (также теорема о решетке , [9] и разнообразно и неоднозначно третья и четвертая теоремы об изоморфизме [6] [10] ) утверждает, что если является нормальной группы подгруппой , то существует биекция из множества всех подгрупп из содержащий , на множество всех подгрупп факторгруппы . Грубо говоря, структура подгрупп точно такое же, как и структура подгрупп содержащий , с свернуто до элемента идентификации .

В частности, если

G — группа,
, нормальная подгруппа группы G ,
, множество всех подгрупп A группы G , содержащих N , и
, множество всех подгрупп G / N ,

тогда существует биективное отображение такой, что

для всех

Далее, если A и B находятся в затем

  • тогда и только тогда, когда ;
  • если затем , где индекс A ; в B количество смежных классов bA A ( в B )
  • где является подгруппой созданный
  • , и
  • является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда является нормальной подгруппой .

Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы факторгруппы.

В более общем смысле существует монотонная связь Галуа. между подгрупп решеткой (не обязательно содержащий ) и решетку подгрупп : нижний сопряженный подгруппы из дается и верхний сопряженный подгруппы из задано . Соответствующий оператор замыкания на подгруппах является ; связанный оператор ядра на подгруппах это личность. Доказательство теоремы соответствия можно найти здесь .

Аналогичные результаты справедливы для колец , модулей , векторных пространств и алгебр . В более общем плане аналогичный результат , касающийся отношений сравнения вместо нормальных подгрупп, верен для любой алгебраической структуры .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Дерек Джон Скотт Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. стр. 64 . ISBN  978-3-11-017544-8 .
  2. ^ Дж. Ф. Хамфрис (1996). Курс теории групп . Издательство Оксфордского университета. п. 65 . ISBN  978-0-19-853459-4 .
  3. ^ ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Спрингер. п. 78 . ISBN  978-1-84882-889-6 .
  4. ^ Ж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер. п. 11 . ISBN  978-1-4612-0799-3 .
  5. ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: Высший курс . Американское математическое соц. п. 35 . ISBN  978-0-8218-4799-2 .
  6. ^ Jump up to: а б Джозеф Ротман (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Спрингер. стр. 37–38 . ISBN  978-1-4612-4176-8 .
  7. ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 352. ИСБН  978-1-118-31173-8 .
  8. ^ Стивен Роман (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Springer Science & Business Media. стр. 113–115. ISBN  978-0-8176-8301-6 .
  9. ^ WR Скотт: Теория групп , Прентис Холл, 1964, стр. 27.
  10. ^ Джонатан К. Ходж; Стивен Шликер; Тед Сандстрем (2013). Абстрактная алгебра: подход, основанный на запросах . ЦРК Пресс. п. 425. ИСБН  978-1-4665-6708-5 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ee185a164807c5d6fa936ab16b43df58__1680336540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ee/58/ee185a164807c5d6fa936ab16b43df58.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Correspondence theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)