Теорема о соответствии
В теории групп теорема соответствия [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (также теорема о решетке , [9] и разнообразно и неоднозначно третья и четвертая теоремы об изоморфизме [6] [10] ) утверждает, что если является нормальной группы подгруппой , то существует биекция из множества всех подгрупп из содержащий , на множество всех подгрупп факторгруппы . Грубо говоря, структура подгрупп точно такое же, как и структура подгрупп содержащий , с свернуто до элемента идентификации .
В частности, если
- G — группа,
- , нормальная подгруппа группы G ,
- , множество всех подгрупп A группы G , содержащих N , и
- , множество всех подгрупп G / N ,
тогда существует биективное отображение такой, что
- для всех
Далее, если A и B находятся в затем
- тогда и только тогда, когда ;
- если затем , где — индекс A ; в B количество смежных классов bA A ( в B )
- где является подгруппой созданный
- , и
- является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда является нормальной подгруппой .
Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы факторгруппы.
В более общем смысле существует монотонная связь Галуа. между подгрупп решеткой (не обязательно содержащий ) и решетку подгрупп : нижний сопряженный подгруппы из дается и верхний сопряженный подгруппы из задано . Соответствующий оператор замыкания на подгруппах является ; связанный оператор ядра на подгруппах это личность. Доказательство теоремы соответствия можно найти здесь .
Аналогичные результаты справедливы для колец , модулей , векторных пространств и алгебр . В более общем плане аналогичный результат , касающийся отношений сравнения вместо нормальных подгрупп, верен для любой алгебраической структуры .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дерек Джон Скотт Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. стр. 64 . ISBN 978-3-11-017544-8 .
- ^ Дж. Ф. Хамфрис (1996). Курс теории групп . Издательство Оксфордского университета. п. 65 . ISBN 978-0-19-853459-4 .
- ^ ОН Роуз (2009). Курс конечных групп . Спрингер. п. 78 . ISBN 978-1-84882-889-6 .
- ^ Ж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер. п. 11 . ISBN 978-1-4612-0799-3 .
- ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: Высший курс . Американское математическое соц. п. 35 . ISBN 978-0-8218-4799-2 .
- ^ Jump up to: а б Джозеф Ротман (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Спрингер. стр. 37–38 . ISBN 978-1-4612-4176-8 .
- ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 352. ИСБН 978-1-118-31173-8 .
- ^ Стивен Роман (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Springer Science & Business Media. стр. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6 .
- ^ WR Скотт: Теория групп , Прентис Холл, 1964, стр. 27.
- ^ Джонатан К. Ходж; Стивен Шликер; Тед Сандстрем (2013). Абстрактная алгебра: подход, основанный на запросах . ЦРК Пресс. п. 425. ИСБН 978-1-4665-6708-5 .