Эмми Нётер

Эмми Нётер
Нётер ок. 1900–1910 гг.
Рожденный	Амалия Эмми Нётер ( 1882-03-23 ​​) 23 марта 1882 г. Эрланген , Бавария , Германская империя
Умер	14 апреля 1935 г. ( 1935-04-14 ) (53 года) Брин-Мор, Пенсильвания , США
Национальность	немецкий
Альма-матер	Университет Эрлангена
Известный	Абстрактная алгебра Теорема Нётер нетеровский Список однофамильцев
Награды	Премия Мемориала Аккермана-Тойбнера (1932)
Научная карьера
Поля	Математика и физика
Учреждения	Геттингенский университет Брин-Мор Колледж
Диссертация	О полных системах инвариантов троичных биквадратичных форм   (1907 г.)
Докторантура	Пол Гордон
Докторанты	Макс Дойринг Ганс Фиттинг Грета Германн Джейкоб Левицки Отто Шиллинг Чиунгце К. Цен Вернер Вебер Эрнст Витт

Амалия Эмми Нётер ( США : / ˈ n ʌ t ər / , Великобритания : / ˈ n ɜː t ə / ; Немецкий: [ˈnøːtɐ] ; 23 марта 1882 — 14 апреля 1935) — немецкий математик , внесший много важных вкладов в абстрактную алгебру . Нётер Она доказала первую и вторую теоремы , являющиеся фундаментальными в математической физике . описали ее Павел Александров , Альберт Эйнштейн , Жан Дьедонне , Герман Вейль и Норберт Винер как самую важную женщину в истории математики . Будучи одним из ведущих математиков своего времени, она разработала теории колец , полей и алгебр . В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения .

Нётер родилась в еврейской семье во франконском городе Эрланген ; ее отцом был математик Макс Нётер . Первоначально она планировала преподавать французский и английский языки после сдачи необходимых экзаменов, но вместо этого изучала математику в Эрлангенском университете , где читал лекции ее отец. После получения докторской степени в 1907 г. под руководством Пола Гордана она семь лет работала в Математическом институте Эрлангена без оплаты. В то время женщины были в основном исключены из академических должностей. пригласили ее В 1915 году Дэвид Гильберт и Феликс Кляйн поступить на математический факультет Геттингенского университета , всемирно известного центра математических исследований. Однако философский факультет возражал, и она четыре года читала лекции под именем Гильберта. В 1919 году была утверждена ее хабилитация , что позволило ей получить чин приват-доцента .

Нётер оставалась ведущим сотрудником математического факультета Геттингена до 1933 года; ее учеников иногда называли «мальчиками Нётер». В 1924 к ее кружку присоединился голландский математик Б. Л. ван дер Варден , который вскоре стал ведущим пропагандистом идей Нётер; ее работа легла в основу второго тома его влиятельного учебника 1931 года « Современная алгебра» . Ко времени ее пленарного выступления на Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 году ее алгебраическая хватка была признана во всем мире. В следующем году нацистское правительство Германии уволило евреев с университетских должностей , и Нётер переехала в Соединенные Штаты, чтобы занять должность в колледже Брин-Мор в Пенсильвании . Там она преподавала аспирантам и докторантам, в том числе Мари Джоанне Вайс , Рут Стауффер, Грейс Шовер Куинн и Ольге Таусски-Тодд . В то же время она читала лекции и проводила исследования в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . Нётер умерла 14 апреля 1935 года в возрасте 53 лет.

Математическая работа Нётер была разделена на три « эпохи ». В первом (1908–1919) она внесла вклад в теории алгебраических инвариантов и числовых полей . Ее работу о дифференциальных инвариантах вариационного исчисления , теореме Нётер , назвали «одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных и направляющих развитие современной физики». Во вторую эпоху (1920–1926) она начала работу, которая «изменила облик [абстрактной] алгебры». В своей классической статье 1921 года Idealtheorie in Ringbereichen ( «Теория идеалов в кольцевых областях ») Нётер превратила теорию идеалов в коммутативных кольцах в инструмент с широким спектром приложений. Она элегантно использовала условие восходящей цепи , и объекты, удовлетворяющие ему, названы нетеровскими в ее честь . В третью эпоху (1927–1935) она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам , объединив теорию представлений групп и с теорией модулей идеалов. Помимо собственных публикаций, Нётер была щедра на свои идеи, и ей приписывают несколько направлений исследований, опубликованных другими математиками, даже в областях, далеких от ее основной работы, таких как алгебраическая топология .

Ранний период жизни

Нётер выросла в баварском городе Эрлангене , изображенном здесь на открытке 1916 года.

Эмми Нётер со своими братьями Альфредом, Фрицем и Робертом до 1918 года.

Эмми Нётер родилась 23 марта 1882 года. Она была первой из четырёх детей математика Макса Нётера и Иды Амалии Кауфман, оба из еврейских купеческих семей. Ее имя было «Амалия», но свое второе имя она начала использовать в юном возрасте и неизменно использовала имя «Эмми Нётер» во взрослой жизни и в своих публикациях.

В юности Нётер не выделялась в учебе, хотя была известна своим умом и дружелюбием. она была близорукой и немного шепелявила . В детстве Годы спустя друг семьи рассказал историю о том, как юная Нётер быстро решила головоломку на детском празднике и проявила логическую сообразительность в раннем возрасте. Ее учили готовить и убираться, как и большинство девочек того времени, и она брала уроки игры на фортепиано. Ни одним из этих занятий она не занималась со страстью, хотя любила танцевать.

У нее было три младших брата. Старший, Альфред Нётер, родился в 1883 году и получил степень доктора химии в Эрлангене в 1909 году, но умер девять лет спустя. Фриц Нётер родился в 1884 году, учился в Мюнхене и внес вклад в прикладную математику . Он был казнен в Советском Союзе в 1941 году. Самый младший, Густав Роберт Нётер, родился в 1889 году. О его жизни известно очень мало; он страдал хроническим заболеванием и умер в 1928 году.

Образование

Пол Гордан руководил докторской диссертацией Нётер по инвариантам биквадратичных форм.

Нётер рано продемонстрировала знание французского и английского языков. Весной 1900 года она сдала экзамен на преподавателя этих языков и получила общую оценку sehr Gut (очень хорошо). Ее успеваемость позволила ей преподавать языки в школах, предназначенных для девочек, но вместо этого она решила продолжить обучение в Эрлангенском университете . в котором ее отец был профессором.

Это было нестандартное решение; двумя годами ранее Академический сенат университета заявил, что разрешение смешанного образования «ниспровергнет весь академический порядок». Нётер, одной из двух женщин в университете, в котором обучалось 986 студентов, разрешалось только проверять занятия, а не участвовать в них в полной мере, и ей требовалось разрешение отдельных профессоров, лекции которых она хотела посещать. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 года она сдала выпускной экзамен в Королевской гимназии в Нюрнберге .

В течение зимнего семестра 1903–1904 годов она училась в Геттингенском университете , посещая лекции астронома Карла Шварцшильда и математиков Германа Минковского , Отто Блюменталя , Феликса Кляйна и Давида Гильберта .

В 1903 году были отменены ограничения на полный прием женщин в баварские университеты. Нётер вернулась в Эрланген и официально вновь поступила в университет в октябре 1904 года, заявив о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Она была одной из шести женщин на своем курсе (двух аудиторов) и единственной женщиной в выбранной ею школе. Под руководством Пола Гордана она написала диссертацию « О формировании системы форм тройной биквадратной формы» ( On Complete Systems of Invariants for Ternary Biquadratic Forms ), в 1907 году, получив диплом с отличием позже в том же году. Гордан был членом «вычислительной» школы исследователей инвариантов, и диссертация Нётер заканчивалась списком из более чем 300 явно разработанных инвариантов. Позднее этот подход к инвариантам был заменен более абстрактным и общим подходом, впервые предложенным Гильбертом. Хотя она была хорошо принята, Нётер позже назвала свою диссертацию и некоторые последующие аналогичные статьи «дерьмом».

Университет Эрлангена

Нётер иногда использовала открытки, чтобы обсудить абстрактную алгебру со своим коллегой Эрнстом Фишером . На этой открытке штемпель датирован 10 апреля 1915 года.

С 1908 по 1915 год Нётер преподавала в Математическом институте Эрлангена бесплатно, иногда заменяя своего отца Макса Нётер , когда он был слишком болен, чтобы читать лекции. В 1910 и 1911 годах она опубликовала расширение своей диссертационной работы от трех переменных до n переменных.

Гордан вышел в отставку в 1910 году. и Нётер преподавала под руководством своих преемников, Эрхарда Шмидта и Эрнста Фишера , которые сменили первого в 1911 году. По словам ее коллеги Германа Вейля и ее биографа Огюста Дика , Фишер оказал важное влияние на Нётер, в частности, познакомив ее с творчеством Давида Гильберта . Нётер и Фишер живо увлекались математикой и часто обсуждали лекции даже после их окончания; Известно, что Нётер отправляла Фишеру открытки, продолжая ход своих математических мыслей.

С 1913 по 1916 год Нётер опубликовала несколько статей, расширяющих и применяющих методы Гильберта к математическим объектам, таким как поля рациональных функций и инварианты конечных групп . Этот этап ознаменовал первое знакомство Нётер с абстрактной алгеброй , областью, в которую она внесла новаторский вклад.

В Эрлангене Нётер консультировала двух докторантов: Ганс Фалькенберг и Фриц Зайдельманн, защитившие диссертации в 1911 и 1916 годах. Несмотря на значительную роль Нётер, они оба официально находились под надзором ее отца. После получения докторской степени Фалькенберг провел время в Брауншвейге и Кенигсберге, прежде чем стать профессором Гиссенского университета. в то время как Зайдельманн стал профессором в Мюнхене .

Геттингенский университет

Хабилитация и теорема Нётер

Весной 1915 года Давид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили Нётер вернуться в Гёттингенский университет . Их попытка завербовать ее была первоначально заблокирована филологами и историками философского факультета, которые настаивали на том, что женщины не должны становиться приватдоцентами . На совместном заседании факультета по этому поводу один из преподавателей возразил: «Что подумают наши солдаты, когда они вернутся в университет и обнаружат, что им приходится учиться у ног женщины?» Гильберт, который считал, что квалификация Нётер была единственным важным вопросом и что пол кандидата не имеет значения, возражал с негодованием и ругал тех, кто протестовал против ее хабилитации. Хотя его точные слова не сохранились, часто говорят, что его возражение включало замечание о том, что университет «не был баней». По воспоминаниям Павла Александрова , оппозиция преподавателей Нётер основывалась не только на сексизме, но и на неприятии ее социал-демократических политических убеждений и еврейского происхождения.

В 1915 году Давид Гильберт пригласил Нётер поступить на математический факультет Гёттингена, бросив вызов мнению некоторых своих коллег о том, что женщине нельзя разрешать преподавать в университете.

Нётер уехала в Геттинген в конце апреля; две недели спустя ее мать внезапно умерла в Эрлангене. Ранее ей была оказана медицинская помощь по поводу заболевания глаз, но его природа и влияние на ее смерть неизвестны. Примерно в то же время отец Нётер вышел в отставку, а ее брат присоединился к немецкой армии, чтобы участвовать в Первой мировой войне . Она вернулась в Эрланген на несколько недель, в основном для того, чтобы заботиться о своем стареющем отце.

В первые годы преподавания в Геттингене у нее не было официальной должности, и ей не платили. Ее лекции часто рекламировались под именем Гильберта, и Нётер оказывала «помощь».

Вскоре после прибытия в Геттинген она продемонстрировала свои способности, доказав теорему, ныне известную как теорема Нётер , которая показывает, что закон сохранения связан с любой дифференцируемой симметрией физической системы . Статья Invariante Variationsprobleme была представлена ​​коллегой Феликсом Кляйном 26 июля 1918 года на заседании Королевского общества наук в Геттингене. Нётер, по-видимому, не представила его сама, поскольку не была членом общества. Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл » утверждают в своей книге «Симметрия и прекрасная Вселенная , что теорема Нётер «определенно является одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в направлении развития современной физики , возможно, наравне с теоремой Пифагора». теорема ».

Математический факультет Геттингенского университета разрешил Нётер получить абилитацию в 1919 году, через четыре года после того, как она начала читать лекции в школе.

Когда Первая мировая война закончилась, немецкая революция 1918–1919 годов привела к значительным изменениям в социальных отношениях, включая расширение прав женщин. В 1919 году Геттингенский университет разрешил Нётер получить абилитацию (право на должность). Ее устный экзамен был проведен в конце мая, а в июне 1919 года она успешно прочитала аспирантическую лекцию. Нётер стала приват-доцентом , и в том осеннем семестре она прочитала первые лекции, перечисленные под ее собственным именем. Ей до сих пор не заплатили за ее работу.

Три года спустя она получила письмо от Отто Белица , прусского министра науки, искусства и народного образования, в котором он присвоил ей звание nicht beamteter ausserordentlicher Professor (нештатный профессор с ограниченными внутренними административными правами и функции). Это была неоплачиваемая «экстраординарная» профессура , а не высшая «ординарная» профессура, которая представляла собой должность государственной службы. Хотя там признавалась важность ее работы, эта должность по-прежнему не приносила зарплаты. Нётер не платили за лекции до тех пор, пока она не была назначена на специальную должность в Lehrbeauftragte für Algebra . год спустя

Работа по абстрактной алгебре

Хотя теорема Нётер оказала значительное влияние на классическую и квантовую механику, среди математиков ее больше всего помнят за ее вклад в абстрактную алгебру . Во введении к «Собранию сочинений Нётер » Натан Джейкобсон писал, что

Развитие абстрактной алгебры, которая является одним из наиболее выдающихся нововведений математики двадцатого века, во многом обязано ей – в опубликованных статьях, лекциях и личном влиянии на ее современников.

Работа Нётер в области алгебры началась в 1920 году, когда в сотрудничестве со своим протеже Вернером Шмейдлером она опубликовала статью о теории идеалов , в которой были определены левый и правый идеалы в кольце .

Б.Л. ван дер Варден (на фото 1980 года) находился под сильным влиянием Нётер во время своего пребывания в Геттингене.

В следующем году она опубликовала статью Idealtheorie в Ringbereichen . анализируя условия восходящей цепи относительно (математических) идеалов , в котором она доказала теорему Ласкера-Нётер во всей ее общности. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной». Публикация породила термин нетеровский для объектов, удовлетворяющих условию восходящей цепи.

молодой голландский математик Бартель Леендерт ван дер Варден В 1924 году в Геттингенский университет прибыл . Он сразу же начал работать с Нётер, которая предоставила бесценные методы абстрактной концептуализации. Позже Ван дер Варден сказал, что ее оригинальность была «абсолютно вне всякого сравнения». Вернувшись в Амстердам, он написал «Современную алгебру» , центральный двухтомный текст в этой области; его второй том, опубликованный в 1931 году, во многом заимствован из работ Нётер. Хотя Нётер не искал признания, он включил в седьмое издание примечание, «частично основанное на лекциях Э. Артина и Э. Нётер». Начиная с 1927 года Нётер тесно сотрудничала с Эмилем Артином , Рихардом Брауэром и Гельмутом Хассе над некоммутативными алгебрами .

Визит Ван дер Вардена был частью встречи математиков со всего мира в Геттингене, который стал крупным центром математических и физических исследований. Русские математики Павел Александров и Павел Урысон были первыми из нескольких в 1923 году. В период с 1926 по 1930 год Александров регулярно читал лекции в университете, и они с Нётер стали хорошими друзьями. Он начал называть ее дер Нётер , используя немецкий артикль мужского рода как ласковый термин, чтобы выразить свое уважение. Она пыталась организовать для него получение должности в Геттингене в качестве обычного профессора, но смогла лишь помочь ему получить стипендию для обучения в Принстонском университете на 1927–1928 учебный год от Фонда Рокфеллера .

Аспиранты

Нётер ок. 1930 год

В Геттингене Нётер руководила более чем дюжиной докторантов. хотя большинство из них были вместе с Эдмундом Ландау и другими, поскольку ей не разрешалось самостоятельно руководить диссертациями. Первой ее стала Грета Германн , защитившая диссертацию в феврале 1925 года. Хотя ее больше всего помнят за ее работу по основам квантовой механики , ее диссертацию считали важным вкладом в идеальную теорию . Позже Германн с благоговением отзывался о ее «матери диссертации».

Примерно в то же время Генрих Грелль и Рудольф Хельцер написали свои диссертации под руководством Нётера, правда последний умер от туберкулеза незадолго до защиты. Грелль защитил диссертацию в 1926 году и продолжил работу в Йенском университете и Университете Галле , прежде чем потерять лицензию на преподавание в 1935 году из-за обвинений в гомосексуальных действиях. Позже он был восстановлен в должности и в 1948 году стал профессором Университета Гумбольдта .

Нётер тогда руководил Вернером Вебером. и Якоб Левицки , оба защитили диссертации в 1929 году. Вебер, которого считали лишь скромным математиком, позже примет участие в изгнании еврейских математиков из Геттингена. Левицкий работал сначала в Йельском университете , а затем в Еврейском университете в Иерусалиме в Палестине, внося значительный вклад (в частности, теорему Левицкого и теорему Хопкинса-Левицкого ) в теорию колец .

Среди других Нётер Бойз были Макс Дойринг , Ганс Фиттинг , Эрнст Витт , Чиунгце К. Цен и Отто Шиллинг . Дойринг, считавшийся самым многообещающим из учеников Нётер, в 1930 году получил докторскую степень. Работал в Гамбурге, Мардене и Геттингене. и известен своим вкладом в арифметическую геометрию . Фиттинг получил высшее образование в 1931 году, защитив диссертацию по абелевым группам. и запомнился своими работами по теории групп , особенно по теореме Фиттинга и лемме Фиттинга . Он умер в возрасте 31 года от болезни костей.

Первоначально Виттом руководила Нётер, но в апреле 1933 года ее должность была отозвана, и вместо него его назначили Густаву Херглотцу . Он получил докторскую степень в июле 1933 года, защитив диссертацию по теореме Римана-Роха и дзета-функциям . и внес несколько вкладов, которые теперь носят его имя . Цен, которого больше всего помнят за доказательство теоремы Цена , получил докторскую степень в декабре того же года. Он вернулся в Китай в 1935 году и начал преподавать в Национальном университете Чэцзян . но умер только пять лет спустя. Шиллинг также начал учиться у Нётер, но был вынужден найти нового наставника из-за эмиграции Нётер. Под руководством Гельмута Хассе он защитил докторскую диссертацию в 1934 году в Марбургском университете . Позже он работал постдоком в Тринити -колледже в Кембридже, прежде чем переехать в Соединенные Штаты.

Другими учениками Нётер были Вильгельм Дёрнте, который получил докторскую степень в 1927 году, защитив диссертацию о группах. Вернер Ворбек, который сделал это в 1935 году, защитив диссертацию о расщеплении полей . и Вольфганг Вихманн, который сделал это в 1936 году, защитив диссертацию по p-адической теории . О первых двух сведений нет, но известно, что Вихман поддержал студенческую инициативу, безуспешно пытавшуюся отменить увольнение Нётер. и погиб солдатом на Восточном фронте во время Второй мировой войны .

Нётер школа

Помимо своих докторантов, Нётер сформировала тесный круг математиков, которые разделяли подход Нётер к абстрактной алгебре и внесли свой вклад в развитие этой области. группа, которую часто называют школой Нётер . Примером этого является ее тесное сотрудничество с Вольфгангом Круллем , который значительно продвинул коммутативную алгебру с его Hauptidealsatz и его теорией размерности для коммутативных колец. Другой — Готфрид Кёте , внесший вклад в развитие теории гиперкомплексных величин с использованием методов Нётер и Крулля.

Помимо математической проницательности, Нётер пользовалась уважением за внимание к другим. Хотя иногда она вела себя грубо по отношению к тем, кто с ней не соглашался, тем не менее, она приобрела репутацию человека, постоянно помогающего и терпеливого руководства новыми учениками. Ее преданность математической точности заставила одного коллегу назвать ее «суровым критиком», но она сочетала это требование точности с заботливым отношением. В некрологе Нётер Ван дер Варден описал ее как

Совершенно неэгоистичная и свободная от тщеславия, она никогда ни на что не претендовала для себя, а прежде всего пропагандировала работы своих учеников.

Нётер продемонстрировала преданность своему предмету и своим ученикам, выходившую за рамки учебного дня. Однажды, когда здание было закрыто в связи с государственным праздником, она собрала класс на ступеньках, повела их через лес и прочитала лекцию в местной кофейне. Позже, после того как нацистская Германия отстранила ее от преподавания, она пригласила студентов к себе домой, чтобы обсудить их планы на будущее и математические концепции.

Влиятельные лекции

Скромный образ жизни Нётер поначалу объяснялся тем, что ей не платили за работу. Однако даже после того, как в 1923 году университет начал платить ей небольшую зарплату, она продолжала жить простой и скромной жизнью. Позже ей платили более щедро, но она откладывала половину зарплаты, чтобы завещать своему племяннику Готфриду Э. Нётеру .

Биографы предполагают, что она в основном не заботилась о внешности и манерах, сосредоточившись на учебе. Ольга Таусски-Тодд , выдающийся алгебраист, преподававшая Нётер, описала обед, во время которого Нётер, полностью поглощенная обсуждением математики, «дико жестикулировала», пока ела, и «постоянно проливала еду и вытирала ее с платья, совершенно невозмутимо». ". Студенты, заботящиеся о внешнем виде, съежились, когда она достала носовой платок из блузки и проигнорировала растущую растрепанность своих волос во время лекции. Однажды во время двухчасового перерыва к ней подошли две студентки, чтобы выразить свою обеспокоенность, но они не смогли прервать энергичную математическую дискуссию, которую она вела с другими учениками.

Нётер не следовала плану своих лекций. , считали ее лекции трудными для понимания Она говорила быстро, и многие, в том числе Карл Людвиг Зигель и Поль Дюбрейль . Студенты, которым не нравился ее стиль, часто чувствовали себя отчужденными. «Посторонние», время от времени посещавшие лекции Нётер, обычно проводили в комнате всего полчаса, прежде чем уйти в расстройстве или растерянности. Обычный студент сказал об одном таком случае: «Враг побежден, он ушёл».

Она использовала свои лекции как время для спонтанного обсуждения со своими студентами, чтобы обдумать и прояснить важные проблемы математики. Некоторые из ее наиболее важных результатов были развиты в этих лекциях, а конспекты лекций ее студентов легли в основу нескольких важных учебников, таких как учебники ван дер Вардена и Дойринга. Нётер передала заразительный математический энтузиазм своим самым преданным ученикам, которые наслаждались оживленными беседами с ней.

Некоторые из ее коллег посещали ее лекции, и иногда она позволяла другим (включая своих студентов) получать признание за ее идеи, в результате чего большая часть ее работ появлялась в статьях не под ее именем. Было зарегистрировано, что Нётер провела как минимум пять семестровых курсов в Геттингене:

• Зима 1924–1925 гг.: групп и гиперкомплексные Теория числа.
• Зима 1927–1928 гг.: величины и Гиперкомплексные представлений . теория
• Лето 1928 года: Нихткоммутативная алгебра [ Некоммутативная алгебра ]
• .: арифметика. Некоммутативная Лето 1929 г
• Зима 1929–1930 гг.: Алгебра . гиперкомплексных величин

Эти курсы часто предшествовали крупным публикациям по тем же темам.

Московский Государственный Университет

Павел Александров

Зимой 1928–1929 годов Нётер приняла приглашение в Московский государственный университет , где продолжила работу с П. С. Александровым . Помимо продолжения своих исследований, она вела занятия по абстрактной алгебре и алгебраической геометрии . Она работала с топологами Львом Понтрягиным и Николаем Чеботаревым , которые позже высоко оценили ее вклад в развитие теории Галуа .

Нётер преподавала в МГУ зимой 1928–1929 гг.

Хотя политика не занимала центральное место в ее жизни, Нётер проявляла живой интерес к политическим вопросам и, по словам Александрова, оказала значительную поддержку русской революции . Она была особенно рада видеть советские достижения в области науки и математики, которые она считала показателем новых возможностей, ставших возможными благодаря большевистскому проекту. Такое отношение вызвало у нее проблемы в Германии, кульминацией которых стало ее выселение из пансионата после того, как студенческие лидеры пожаловались на то, что она живет с «еврейкой марксистского толка». Герман Вейль вспоминал, что «в бурные времена после революции 1918 года Нётер «более или менее была на стороне социал-демократов ». С 1919 по 1922 год она была членом Независимых социал-демократов , недолговечной отколовшейся партии. По словам логика и историка Колина Макларти , «она не была большевисткой, но не боялась, что ее назовут таковой».

Нётер планировала вернуться в Москву, в чем получила поддержку Александрова. После того, как она покинула Германию в 1933 году, он пытался помочь ей получить кафедру в Московском государственном университете через Министерство образования СССР . Хотя эта попытка оказалась безуспешной, они часто переписывались в 1930-е годы, а в 1935 году она планировала вернуться в Советский Союз.

Признание

Нётер посетила Цюрих в 1932 году, чтобы выступить с пленарной речью на Международном конгрессе математиков .

В 1932 году Эмми Нётер и Эмиль Артин получили Мемориальную премию Аккермана-Тойбнера за вклад в математику. Премия включала денежное вознаграждение в размере 500 ℛ︁ℳ︁ и рассматривалась как давно назревшее официальное признание ее значительной работы в этой области. Тем не менее ее коллеги выразили разочарование по поводу того, что она не была избрана в Геттингенскую академию наук (Gösellschaft der Wissenschaften) и не была повышена до должности Ordentlicher профессора. (полный профессор).

Коллеги Нётер отпраздновали ее пятидесятилетие в 1932 году в типичном для математиков стиле. Гельмут Хассе посвятил ей статью в Mathematische Annalen , в которой подтвердил ее подозрения, что некоторые аспекты некоммутативной алгебры проще, чем аспекты коммутативной алгебры , доказав некоммутативный закон взаимности . Это ее безмерно порадовало. Он также прислал ей математическую загадку, которую назвал «m _µν – загадка слогов». Она сразу ее разгадала, но загадка утеряна.

В сентябре того же года Нётер выступила с пленарным докладом ( großer Vortrag ) на тему «Гиперкомплексные системы в их отношении к коммутативной алгебре и к теории чисел» на Международном конгрессе математиков в Цюрихе . На конгрессе присутствовало 800 человек, в том числе коллеги Нётер Герман Вейль , Эдмунд Ландау и Вольфганг Крулль . Было представлено 420 официальных участников и 21 пленарное выступление. По-видимому, выдающаяся выступающая позиция Нётер была признанием важности ее вклада в математику. Конгресс 1932 года иногда называют высшей точкой ее карьеры.

Изгнание из Геттингена нацистской Германией

Когда Адольф Гитлер стал Германии рейхсканцлером в январе 1933 года , активность нацистов по всей стране резко возросла. В Геттингенском университете Ассоциация немецких студентов возглавила наступление на «ненемецкий дух», приписываемый евреям, и ей помогал приват-доцент и бывший студент Нётер Вернер Вебер . Антисемитские настроения создали климат, враждебный по отношению к еврейским профессорам. Сообщается, что один молодой протестующий потребовал: «Арийским студентам нужна арийская математика , а не еврейская математика».

Одним из первых действий администрации Гитлера стал Закон о восстановлении профессиональной государственной службы , который отстранял евреев и политически подозреваемых государственных служащих (включая университетских профессоров) от их рабочих мест, если они «продемонстрировали свою лояльность Германии», участвуя в мировой войне. Я. ​В апреле 1933 года Нётер получила уведомление от прусского министерства науки, искусства и народного образования, которое гласило: «На основании параграфа 3 Кодекса государственной службы от 7 апреля 1933 года я лишаю вас права преподавать в Геттингенский университет». Несколько коллег Нётер, в том числе Макс Борн и Рихард Курант , также были лишены своих должностей.

Нётер приняла это решение спокойно, оказав поддержку другим в это трудное время. Герман Вейль позже писал, что «Эмми Нётер – ее смелость, ее откровенность, ее беззаботность о собственной судьбе, ее примирительный дух – была среди всей окружающей нас ненависти и подлости, отчаяния и печали, морального утешения». Обычно Нётер по-прежнему занималась математикой, собирая студентов в своей квартире для обсуждения теории классового поля . Когда одна из ее учениц появилась в форме нацистской военизированной организации Sturmabteilung (SA), она не проявила никаких признаков волнения и, как сообщается, позже даже посмеялась над этим.

Убежище в Брин-Море и Принстоне

Колледж Брин-Мор стал гостеприимным домом для Нётер в течение последних двух лет ее жизни.

Когда десятки новых безработных профессоров начали искать работу за пределами Германии, их коллеги в Соединенных Штатах стремились предоставить им помощь и возможности трудоустройства. Альберт Эйнштейн и Герман Вейль были назначены Институтом перспективных исследований в Принстоне , в то время как другие работали над поиском спонсора, необходимого для легальной иммиграции . С Нётер связались представители двух учебных заведений: Брин-Мор-колледжа в США и Сомервилл-колледжа в Оксфордского университета Англии. После серии переговоров с Фондом Рокфеллера для Нётер был одобрен грант Брин Мор, и она заняла там должность, начиная с конца 1933 года.

В Брин-Море Нётер познакомилась и подружилась с Анной Уилер , которая училась в Геттингене незадолго до прибытия туда Нётер. Другим источником поддержки в колледже была президент Брин-Мор Мэрион Эдвардс Парк , которая с энтузиазмом пригласила местных математиков «увидеть доктора Нётер в действии!»

Во время своего пребывания в Брин-Море Нётер сформировала группу, которую иногда называли « Девочки Нётер». из четырех постдокторантов (Грейс Шовер Куинн, Мари Джоанна Вайс , Ольга Таусски-Тодд , которые сделали успешную карьеру в области математики) и докторантов (Рут Стауффер). Они с энтузиазмом работали над Ван дер Вардена « Современной алгеброй I» и частями Эриха Хекке » «Теории чисел алгебраических . Стауффер была единственной докторанткой Нётер в Соединенных Штатах, но Нётер умерла незадолго до окончания учебы. Она сдала экзамен у Рихарда Брауэра и получила степень в июне 1935 года. с тезисом о сепарабельных нормальных расширениях . После получения докторской степени Штауффер некоторое время проработала учителем и более 30 лет статистиком.

В 1934 году Нётер начала читать лекции в Институте перспективных исследований в Принстоне по приглашению Авраама Флекснера и Освальда Веблена . Она также работала с Авраамом Альбертом и Гарри Вандивером . Однако в отношении Принстонского университета она отметила , что ее не приветствуют в «мужском университете, куда не допускаются женщины».

Время, проведенное ею в Соединенных Штатах, было приятным, поскольку она была окружена поддерживающими коллегами и была поглощена своими любимыми предметами. Летом 1934 года она ненадолго вернулась в Германию, чтобы увидеться с Эмилем Артином и своим братом Фрицем . Последний, после того как его вынудили уйти с работы в Высшей технической школе Бреслау , поступил на работу в Научно-исследовательский институт математики и механики в Томске , в Сибирском федеральном округе России. Впоследствии он был казнен во время резни в Медведевском лесу .

Хотя многие из ее бывших коллег были вынуждены покинуть университеты, она смогла пользоваться библиотекой Геттингена в качестве «иностранного ученого». Без происшествий Нётер вернулась в Соединенные Штаты и начала учебу в Брин-Море.

Смерть

Прах Нётер был помещен под проход, окружающий монастыри библиотеки М. Кэри Томаса Брин-Мора .

В апреле 1935 года врачи обнаружили опухоль у Нётер таза . Обеспокоенные осложнениями после операции, они сначала прописали два дня постельного режима. Во время операции обнаружили кисту яичника «размером с большую дыню ». Две меньшие опухоли в ее матке оказались доброкачественными, и их не удалили, чтобы не затягивать операцию. В течение трех дней она, казалось, выздоравливала нормально, а быстро оправилась от кровообращения на четвертый день . 14 апреля Нётер потеряла сознание, ее температура поднялась до 109 °F (42,8 °C), и она умерла. «Нелегко сказать, что произошло с доктором Нётер», - написал один из врачей. «Вполне возможно, что произошла какая-то необычная и опасная инфекция, которая поразила основание мозга, где предположительно расположены тепловые центры». Ей было 53.

Через несколько дней после смерти Нётер ее друзья и соратники из Брин-Мора провели небольшую поминальную службу в доме президента колледжа Парка. Герман Вейль и Рихард Брауэр приехали из Принстона и произнесли панегирики. В последующие месяцы по всему миру начали появляться письменные дань уважения: Альберт Эйнштейн присоединился к ван дер Вардену, Вейлю и Павлу Александрову , чтобы выразить свое почтение. Ее тело было кремировано, а прах захоронен под проходом вокруг монастырей библиотеки М. Кэри Томаса в Брин-Море.

Вклад в математику и физику

Работы Нётер в области абстрактной алгебры и топологии оказали влияние на математику, а теорема Нётер имеет широко распространенные последствия для теоретической физики и динамических систем . Нётер проявила острую склонность к абстрактному мышлению, что позволило ей подойти к проблемам математики свежим и оригинальным способом. Ее друг и коллега Герман Вейль описал ее научную деятельность в три эпохи:

(1) период относительной зависимости, 1907–1919 гг.

(2) исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов 1920–1926 гг.

(3) изучение некоммутативных алгебр, их представлений линейными преобразованиями и их применение к изучению коммутативных числовых полей и их арифметики.

- Вейль 1935 г.

В первую эпоху (1907–1919) Нётер занималась преимущественно дифференциальными и алгебраическими инвариантами , начиная с диссертации под руководством Пола Гордана . Ее математический кругозор расширился, а работа стала более общей и абстрактной, когда она познакомилась с работами Дэвида Гильберта посредством тесного взаимодействия с преемником Гордана Эрнстом Сигизмундом Фишером . Вскоре после переезда в Геттинген в 1915 году она доказала две теоремы Нётер , «одну из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных и направляющих развитие современной физики».

Во вторую эпоху (1920–1926) Нётер посвятила себя разработке теории математических колец . В третью эпоху (1927–1935) Нётер сосредоточилась на некоммутативной алгебре , линейных преобразованиях и коммутативных числовых полях. Хотя результаты первой эпохи Нётер были впечатляющими и полезными, ее известность среди математиков больше основана на новаторских работах, которые она проделала во вторую и третью эпохи, как отметили Герман Вейль и Б.Л. ван дер Варден в своих некрологах о ней.

В эти эпохи она не просто применяла идеи и методы ранних математиков; скорее, она создавала новые системы математических определений, которые будут использоваться будущими математиками. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах , обобщив более ранние работы Рихарда Дедекинда . Она также известна разработкой условий восходящей цепи – простого условия конечности, которое в ее руках дало впечатляющие результаты. Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие старые результаты и рассмотреть старые проблемы с новой точки зрения, такие как теория исключения и алгебраические многообразия , которые изучал ее отец.

Исторический контекст

За столетие с 1832 года до смерти Нётер в 1935 году область математики – особенно алгебра – претерпела глубокую революцию, отголоски которой ощущаются до сих пор. Математики предыдущих столетий работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, кубической , четвертой и уравнений пятой степени , а также над связанной с ними проблемой построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки . Начиная с доказательства Карла Фридриха Гаусса в 1832 году того, что простые числа, такие как пять, можно разложить на множители в гауссовских целых числах , Эваристом Галуа Введение групп перестановок в 1832 году (хотя из-за его смерти его статьи были опубликованы Лиувиллем только в 1846 году), Роуэном Гамильтоном описание кватернионов Уильямом в 1843 году и Артура Кэли более современное определение . В 1854 году исследования групп обратились к определению свойств все более абстрактных систем, определяемых все более универсальными правилами. Самый важный вклад Нётер в математику заключался в развитии новой области — абстрактной алгебры .

Основы абстрактной алгебры и концептуальной математики

Двумя основными объектами абстрактной алгебры являются группы и кольца .

Группа и одной операции, которая объединяет состоит из набора элементов первый и второй элемент и возвращает третий. Чтобы определить группу, операция должна удовлетворять определенным ограничениям: она должна быть закрытой (при применении к любой паре элементов связанного набора сгенерированный элемент также должен быть членом этого набора), она должна быть ассоциативной , должно быть быть единичным элементом (элемент, который при объединении с другим элементом с помощью операции дает исходный элемент, например, путем умножения числа на единицу), и для каждого элемента должен быть обратный элемент .

Кольцо операции также имеет набор элементов, но теперь имеет две . Первая операция должна сделать множество коммутативной группой, а вторая операция является ассоциативной и дистрибутивной по отношению к первой операции. Оно может быть или не быть коммутативным ; это означает, что результат применения операции к первому и второму элементу такой же, как и ко второму и первому — порядок элементов не имеет значения. Если каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный (элемент x такой, что ax = xa = 1 ), кольцо называется телом . Поле . определяется как коммутативное тело Например, целые числа образуют коммутативное кольцо, элементами которого являются целые числа, а операциями объединения являются сложение и умножение. Любую пару целых чисел можно складывать или умножать , что всегда приводит к получению другого целого числа, а первая операция, сложение, является коммутативной , т. е. для любых элементов a и b в кольце a + b = b + a . Вторая операция, умножение, также является коммутативной, но это не обязательно верно для других колец, а это означает, что a в сочетании с b может отличаться от b в сочетании с a . Примеры некоммутативных колец включают матрицы и кватернионы . Целые числа не образуют тело, поскольку вторую операцию не всегда можно обратить; например, не существует целого числа a такого, что 3 a = 1 .

Целые числа обладают дополнительными свойствами, которые не распространяются на все коммутативные кольца. Важным примером является фундаментальная теорема арифметики , которая гласит, что каждое положительное целое число можно однозначно разложить на простые числа . Уникальные факторизации не всегда существуют в других кольцах, но Нётер нашла уникальную теорему факторизации, теперь называемую теоремой Ласкера-Нётер , для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении того, какие свойства справедливы для всех колец, в разработке новых аналогов старых теорем о целых числах и в определении минимального набора предположений, необходимых для получения определенных свойств колец.

Группы часто изучаются через представления групп . В своей наиболее общей форме они состоят из выбора группы, множества и действия группы на множестве, то есть операции, которая берет элемент группы и элемент множества и возвращает элемент набор. Чаще всего множество представляет собой векторное пространство , а группа описывает симметрии векторного пространства. Например, есть группа, которая представляет жесткое вращение пространства. Вращение — это разновидность симметрии пространства, поскольку законы физики сами по себе не выбирают предпочтительное направление. Нётер использовала такого рода симметрии в своей работе по инвариантам в физике.

Мощный способ изучения колец – использование их модулей . Модуль состоит из выбора кольца, другого набора, обычно отличного от основного набора кольца и называемого основным набором модуля, операции над парами элементов основного набора модуля и операции, которая принимает элемент кольца и элемент модуля и возвращает элемент модуля.

Базовый набор модуля и его работа должны образовывать группу. Модуль представляет собой теоретико-кольцевую версию представления группы: игнорирование второй операции кольца и операции над парами элементов модуля определяет представление группы. Реальная польза модулей заключается в том, что типы существующих модулей и их взаимодействие раскрывают структуру кольца способами, которые не очевидны из самого кольца. Важным частным случаем этого является алгебра . Алгебра состоит из выбора двух колец и операции, которая берет элемент из каждого кольца и возвращает элемент второго кольца. Эта операция превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо представляет собой поле.

Такие слова, как «элемент» и «операция объединения», очень общие и могут применяться ко многим реальным и абстрактным ситуациям. Любой набор вещей, который подчиняется всем правилам для одной (или двух) операций, по определению является группой (или кольцом) и подчиняется всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа, а также операции сложения и умножения — это лишь один из примеров. Например, элементами могут быть логические предложения, где первая операция объединения является исключающей, а вторая — логической конъюнкцией . Теоремы абстрактной алгебры сильны, потому что они общие; они управляют многими системами. Можно было бы подумать, что мало что можно сделать об объектах, имеющих столь мало свойств, но именно в этом и заключался дар Нётер открывать максимум, который можно было заключить из данного набора свойств, или, наоборот, определять минимальный набор, существенные свойства. ответственный за конкретное наблюдение. В отличие от большинства математиков, она не делала абстракций путем обобщения известных примеров; скорее, она работала непосредственно с абстракциями. В своем некрологе Нётер Ван дер Варден вспоминал, что

Максиму, которой Эмми Нётер руководствовалась на протяжении всей своей работы, можно сформулировать следующим образом: «Любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, общеприменимыми и полностью продуктивными только после того, как они изолированы от своих частных объектов и сформулированы как общезначимые понятия».

Это begriffliche Mathematik (чисто концептуальная математика), характерная для Нётер. Впоследствии этот стиль математики был принят другими математиками, особенно в (тогда новой) области абстрактной алгебры.

Первая эпоха (1908–1919).

Алгебраическая теория инвариантов

Таблица 2 из диссертации Нётер по теории инвариантов. В этой таблице собраны 202 из 331 инварианта троичных биквадратичных форм. Эти формы оцениваются по двум переменным x и u . В горизонтальном направлении таблицы перечислены инварианты с возрастающими оценками по x , а в вертикальном направлении — с возрастающими оценками по u .

Большая часть работ Нётер в первую эпоху ее карьеры была связана с теорией инвариантов , главным образом алгебраической теорией инвариантов . Теория инвариантов занимается выражениями, которые остаются постоянными (инвариантными) при выполнении группы преобразований. В качестве повседневного примера: если повернуть жесткую мерку, координаты ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) ее концов изменяются, но ее длина L определяется формулой L ² = Δx ² + Δу ² + Δ з ² остается прежним. Теория инвариантов была активной областью исследований в конце девятнадцатого века, частично вызванной Феликса Кляйна , Эрлангенской программой согласно которой различные типы геометрии должны характеризоваться их инвариантами при преобразованиях, например, перекрестным отношением проективной геометрии. .

Примером инварианта является дискриминант B ² − 4 AC двоичной квадратичной формы x· A x + y· B x + y· C y , где x и y — векторы , а « · » — скалярное произведение или « внутреннее произведение » для векторов. A , B и C — линейные операторы над векторами — обычно матрицами .

Дискриминант называется «инвариантом», потому что он не изменяется линейными заменами x → a x + b y и y → c x + d y с определителем ad − bc = 1 . Эти замены образуют специальную линейную группу SL ₂ .

Можно запросить все полиномы из A , B и C , которые не изменяются под действием SL ₂ ; они называются инвариантами бинарных квадратичных форм и оказываются полиномами дискриминанта.

В более общем смысле можно задать вопрос об инвариантах однородных полиномов A ₀   x ^р  и ⁰ + ... + А _р х ⁰  и ^р более высокой степени, которыми будут определенные полиномы от коэффициентов A ₀ , ..., _Ar , и еще в более общем плане можно задать аналогичный вопрос для однородных полиномов от более чем двух переменных.

Одной из основных целей теории инвариантов было решение « проблемы конечного базиса ». Сумма или произведение любых двух инвариантов инвариантна, и задача о конечном базисе задавалась вопросом, можно ли получить все инварианты, начав с конечного списка инвариантов, называемых генераторами , а затем сложив или умножив генераторы вместе. Например, дискриминант дает конечный базис (с одним элементом) для инвариантов бинарных квадратичных форм.

Советник Нётер, Пол Гордан, был известен как «король теории инвариантов», а его главным вкладом в математику стало решение в 1870 году проблемы конечного базиса для инвариантов однородных многочленов от двух переменных. Он доказал это, предложив конструктивный метод нахождения всех инвариантов и их образующих, но не смог реализовать этот конструктивный подход для инвариантов от трех и более переменных. В 1890 году Дэвид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов от любого числа переменных. Более того, его метод работал не только для специальной линейной группы, но и для некоторых ее подгрупп, таких как специальная ортогональная группа .

Теория Галуа

Теория Галуа касается преобразований числовых полей , которые переставляют корни уравнения. Рассмотрим полиномиальное уравнение переменной x степени . n , в котором коэффициенты взяты из некоторого основного поля , которое может быть, например, полем действительных чисел , рациональных чисел или целых чисел по модулю 7. Могут быть, а могут и не быть быть выбором x , который делает этот многочлен равным нулю. Такие варианты выбора, если они существуют, называются корнями . Например, если полином равен x ² + 1 и поле представляет собой действительные числа, то многочлен не имеет корней, поскольку любой выбор x делает многочлен больше или равным единице. Однако если поле расширено , то многочлен может обрести корни, а если оно достаточно расширено, то он всегда имеет число корней, равное его степени.

Продолжая предыдущий пример, если поле увеличивается до комплексных чисел, то многочлен получает два корня, + i и - i , где i - мнимая единица , то есть i ² = −1. В более общем смысле, поле расширения, в котором многочлен может быть разложен на его корни, известно как поле расщепления многочлена.

Группа Галуа многочлена — это совокупность всех преобразований поля расщепления, сохраняющих основное поле и корни многочлена. (Эти преобразования называются автоморфизмами .) Группа Галуа x ² + 1 состоит из двух элементов: тождественного преобразования, которое переводит каждое комплексное число само в себя, и комплексного сопряжения , которое переводит + i в − i . Поскольку группа Галуа не меняет основное поле, она оставляет коэффициенты многочлена неизменными, поэтому она должна оставить неизменным множество всех корней. Однако каждый корень может перейти в другой корень, поэтому преобразование определяет перестановку корней n между собой. Значение группы Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем расщепления, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа.

В 1918 году Нётер опубликовала работу по обратной задаче Галуа . Вместо определения группы Галуа преобразований данного поля и его расширения Нётер задавалась вопросом, всегда ли по заданному полю и группе можно найти расширение поля, которое имеет данную группу в качестве группы Галуа. Она свела это к « проблеме Нётер », которая задается вопросом, всегда ли фиксированное поле подгруппы G группы подстановок Sn _, действующей на поле k ( x ₁ , ..., x _n ), является чистым трансцендентным расширением поля к . (Впервые она упомянула об этой проблеме в статье 1913 года: где она приписала проблему своему коллеге Фишеру .) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. В 1969 году Ричард Свон нашел контрпример к проблеме Нётер с n = 47 и G циклической группой - заказать 47 (хотя эту группу можно реализовать как группу Галуа над рациональными числами и другими способами). Обратная задача Галуа остается нерешенной.

Физика

Основные статьи: Теорема Нётер , Закон сохранения (физика) и Постоянная движения.

Нётер была привезена в Геттинген в 1915 году Дэвидом Гильбертом и Феликсом Кляйном, которые хотели, чтобы ее опыт в теории инвариантов помог им в понимании общей теории относительности . геометрическая теория гравитации, разработанная главным образом Альбертом Эйнштейном . Гильберт заметил, что закон сохранения энергии , по-видимому, нарушается в общей теории относительности, поскольку гравитационная энергия сама по себе может тяготеть. Нётер дала разрешение этого парадокса и стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики с первой теоремой Нётер , которую она доказала в 1915 году, но не публиковала до 1918 года. Она не только решила задачу общей теории относительности, но и определила сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, обладающей некоторой непрерывной симметрией. Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:

Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Меня впечатляет, что такие вещи можно понимать в столь общем смысле. Старой гвардии Геттингена следовало бы поучиться у мисс Нётер! Кажется, она знает свое дело.

Например, если физическая система ведет себя одинаково, независимо от того, как она ориентирована в пространстве, физические законы, управляющие ею, являются вращательно-симметричными; Исходя из этой симметрии, теорема Нётер показывает, что угловой момент системы должен сохраняться. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Скорее, за закон сохранения отвечает симметрия физических законов, управляющих системой. Другой пример: если физический эксперимент дает один и тот же результат в любом месте и в любое время, то его законы симметричны при непрерывных перемещениях в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения импульса внутри и энергии этой системы соответственно.

Теорема Нётер стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики как благодаря пониманию законов сохранения, так и в качестве практического инструмента вычислений. Ее теорема позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины на основе наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это облегчает описание физической системы на основе классов гипотетических физических законов. Для иллюстрации предположим, что открыто новое физическое явление. Теорема Нётер обеспечивает проверку теоретических моделей явления:

Если теория обладает непрерывной симметрией, то теорема Нётер гарантирует, что теория имеет сохраняющуюся величину, и чтобы теория была правильной, это сохранение должно наблюдаться в экспериментах.

Вторая эпоха (1920–1926)

Условия восходящей и нисходящей цепи

В эту эпоху Нётер прославилась своим ловким использованием восходящих ( Teilerkettensatz ) или нисходящих ( Vielfachenkettensatz ) условий цепи. Последовательность непустых подмножеств A ₁ , A ₂ , A ₃ обычно называют и т. д. множества S возрастающей , если каждое из них является подмножеством следующего

$A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots .$

И наоборот, последовательность подмножеств S называется нисходящей, если каждое содержит следующее подмножество:

$A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots .$

Цепь становится постоянной после конечного числа шагов , если существует n такое, что $A_{n}=A_{m}$ для всех m ≥ n . Коллекция подмножеств данного множества удовлетворяет условию возрастающей цепи , если любая возрастающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Он удовлетворяет условию нисходящей цепи, если любая нисходящая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов.

Условия восходящей и нисходящей цепочки являются общими, а это означает, что их можно применять ко многим типам математических объектов – и на первый взгляд они могут показаться не очень мощными. Однако Нётер показала, как использовать такие условия с максимальной выгодой. Например, условия цепочки можно использовать, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный/минимальный элемент или что сложный объект может быть создан из меньшего числа элементов. Эти выводы часто являются решающими шагами в доказательстве.

Многие типы объектов в абстрактной алгебре их называют нётеровыми . могут удовлетворять условиям цепочки, и обычно, если они удовлетворяют условию восходящей цепочки, в ее честь По определению нётерово кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепи на своих левых и правых идеалах, тогда как нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. — Нётеров модуль это модуль , в котором каждая строго возрастающая цепочка подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство — это топологическое пространство , в котором каждая строго возрастающая цепочка открытых подпространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётерова кольца нётеровым топологическим пространством.

Состояние цепочки часто «наследуется» подобъектами. Например, все подпространства нётеровского пространства сами являются нётеровыми; все подгруппы и факторгруппы нётеровой группы также нётеровы; и, mutatis mutandis , то же самое справедливо для подмодулей и фактормодулей нетерова модуля. Все фактор-кольца нётерова кольца нётеровы, но это не обязательно верно для его подколец. Условие цепочки также может быть унаследовано комбинациями или расширениями нётеровского объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровых колец нётеровы, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.

Другое применение таких условий цепочки — нётерова индукция , также известная как хорошо обоснованная индукция , которая является обобщением математической индукции . Он часто используется для сведения общих утверждений о коллекциях объектов к утверждениям о конкретных объектах в этой коллекции. Предположим, что S — частично упорядоченное множество . Один из способов доказать утверждение об объектах S — предположить существование контрпримера и вывести противоречие, тем самым доказав противоположность исходного утверждения. Основная предпосылка нётеровской индукции состоит в том, что каждое непустое подмножество S содержит минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент — минимальный контрпример . Следовательно, чтобы доказать исходное утверждение, достаточно доказать нечто, казалось бы, гораздо более слабое: для любого контрпримера существует меньший контрпример.

Коммутативные кольца, идеалы и модули

Статья Нётер Idealtheorie in Ringbereichen ( Теория идеалов в кольцевых областях , 1921 г.), является основой общей коммутативной теории колец и дает одно из первых общих определений коммутативного кольца . До ее статьи большинство результатов в коммутативной алгебре ограничивались специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца многочленов над полями или кольца целых алгебраических чисел. Нётер доказала, что в кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепи идеалов , каждый идеал конечно порождён. В 1943 году французский математик Клод Шевалле для описания этого свойства ввёл термин « нётерово кольцо» . Основным результатом статьи Нётер 1921 года является теорема Ласкера-Нётер , которая распространяет теорему Ласкера о первичном разложении идеалов колец многочленов на все нётеровы кольца. Теорему Ласкера-Нётер можно рассматривать как обобщение фундаментальной теоремы арифметики , которая утверждает, что любое положительное целое число можно выразить как произведение простых чисел и что это разложение уникально.

Работа Нётер « Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числах и функциональных полях» ( Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числах и функциональных полях , 1927) охарактеризовал кольца, в которых идеалы имеют уникальную факторизацию на простые идеалы, как области Дедекинда : целые области, которые являются нетеровыми, 0- или 1- мерными и целозамкнутыми в своих полях частных. Эта статья также содержит то, что сейчас называется теоремами об изоморфизме , которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы , и некоторые другие основные результаты о нётеровых и артиновых модулях .

Теория устранения

В 1923–1924 годах Нётер применила свою идеальную теорию к теории исключения в формулировке, которую она приписала своему ученику Курту Хентцельту. Она показала, что фундаментальные теоремы о факторизации многочленов можно перенести напрямую. Традиционно теория исключения занимается исключением одной или нескольких переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результирующих .

Для иллюстрации систему уравнений часто можно записать в виде

Мв = 0

где матрица (или линейное преобразование ) M (без переменной x ), умноженная на вектор v (который имеет только ненулевые степени x ), равна нулевому вектору 0 . Следовательно, определитель матрицы M переменная x должен быть равен нулю, что дает новое уравнение, в котором исключена .

Инвариантная теория конечных групп

Такие методы, как оригинальное неконструктивное решение Гильбертом проблемы конечного базиса, нельзя было использовать для получения количественной информации об инвариантах группового действия, и, более того, они не применимы ко всем групповым действиям. В своей статье 1915 г. Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований G, действующей в конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Ее решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которых меньше или равна порядку конечной группы; это называется границей Нётера . В ее статье были даны два доказательства границы Нётер, оба из которых также работают, когда характеристика поля взаимно проста с $\left|G\right|!$ ( факториал порядка $\left|G\right|$ группы G ). Степени образующих не обязательно должны удовлетворять границе Нётер, когда характеристика поля делит число $\left|G\right|$, но Нётер не смогла определить, правильна ли эта оценка, когда характеристика поля делит $\left|G\right|!$ но не $\left|G\right|$. В течение многих лет определение истинности или ложности этой оценки для данного конкретного случая было открытой проблемой, получившей название «пробел Нётер». Наконец, независимо друг от друга она была решена Флейшманом в 2000 году и Фогарти в 2001 году, которые оба показали, что граница остается верной.

В своей статье 1926 г. Нётер распространила теорему Гильберта на представления конечной группы над любым полем; новый случай, не вытекающий из работы Гильберта, — это когда характеристика поля делит порядок группы. Результат Нётер позже был распространен Уильямом Хабушем на все редуктивные группы посредством доказательства гипотезы Мамфорда . В этой статье Нётер также представила лемму о нормализации Нётер , показывающую, что конечно порожденная область A над полем k имеет набор { x ₁ , ..., x _n } алгебраически независимых элементов такой, что A является целым над k [ x ₁ , ..., х _н ] .

Топология

Непрерывная деформация ( гомотопия ) кофейной чашки в пончик ( тор ) и обратно.

Как отметил Герман Вейль в своем некрологе, вклад Нётер в топологию иллюстрирует ее щедрость на идеи и то, как ее идеи могут изменить целые области математики. В топологии математики изучают свойства объектов, которые остаются неизменными даже при деформации, такие свойства, как их связность . Старая шутка гласит: « Тополог не может отличить пончик от кофейной кружки », поскольку они могут непрерывно деформироваться друг в друга.

Нётер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии из более ранней комбинаторной топологии , в частности, идеи групп гомологии . По словам Александрова, Нётер посещала лекции, читаемые им и Хайнцем Хопфом летом 1926 и 1927 годов, где «она постоянно делала наблюдения, часто глубокие и тонкие». и он продолжает это,

Когда... она впервые познакомилась с систематическим построением комбинаторной топологии, она сразу заметила, что стоило бы изучить непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов данного многогранника и подгруппу группы циклов, состоящую из циклов, гомологичных ноль; вместо обычного определения чисел Бетти она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную (факторную) группу группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Сейчас это наблюдение кажется самоочевидным. Но в те годы (1925–1928) это была совершенно новая точка зрения.

Предложение Нётер изучать топологию алгебраически было немедленно принято Хопфом, Александровым и другими. и это стало частой темой дискуссий среди математиков Геттингена. Нётер заметила, что ее идея группы Бетти упрощает понимание формулы Эйлера-Пуанкаре , а собственная работа Хопфа по этому вопросу «несет на себе отпечаток этих высказываний Эмми Нётер». Нётер упоминает свои собственные идеи топологии лишь вскользь в публикации 1926 года: где она цитирует это как применение теории групп .

Этот алгебраический подход к топологии был также независимо развит в Австрии . На курсе, прочитанном в Вене в 1926–1927 годах , Леопольд Виеторис определил группу гомологии , которая была разработана Вальтером Майером , в аксиоматическое определение в 1928 году.

Гельмут Хассе работал с Нётер и другими над созданием теории центральных простых алгебр .

Третья эпоха (1927–1935)

Гиперкомплексные числа и теория представлений

Большая работа по гиперкомплексным числам и представлениям групп была проведена в девятнадцатом и начале двадцатого веков, но оставалась разрозненной. Нётер объединила эти ранние результаты и создала первую общую теорию представлений групп и алгебр. Считалось, что эта единственная работа Нётер положила начало новому периоду в современной алгебре и имела фундаментальное значение для ее развития.

Короче говоря, Нётер объединила структурную теорию ассоциативных алгебр и теорию представлений групп в единую арифметическую теорию модулей и идеалов в кольцах, удовлетворяющих условиям восходящей цепи .

Некоммутативная алгебра

Нётер также принадлежит ряд других достижений в области алгебры. Вместе с Эмилем Артином , Рихардом Брауэром и Гельмутом Хассе она основала теорию центральных простых алгебр .

Статья Нётер, Гельмута Хассе и Рихарда Брауэра относится к алгебрам с делением . которые являются алгебраическими системами, в которых возможно деление. Они доказали две важные теоремы: локально-глобальную теорему, утверждающую, что если конечномерная центральная алгебра с делением над числовым полем расщепляется локально всюду, то она расщепляется и глобально (что тривиально), и из этого вывели свою Hauptsatz («основную теорему») . ):

каждая конечномерная центральная алгебра с делением над алгебраических чисел полем F распадается над циклическим круговым расширением .

Эти теоремы позволяют классифицировать все конечномерные центральные алгебры с делением над заданным числовым полем. Последующая работа Нётер показала, как частный случай более общей теоремы, что все максимальные подполя тела D являются полями расщепления . Эта статья также содержит теорему Скулема–Нётер , которая утверждает, что любые два вложения расширения поля k в конечномерную центральную простую алгебру над k сопряжены. Теорема Брауэра –Нётер дает характеристику полей расщепления центральной алгебры с делением над полем.

Наследие

В кампусе Эмми Нётер Зигенского университета расположены факультеты математики и физики.

Работы Нётер продолжают иметь значение для развития теоретической физики и математики, и ее неизменно называют одним из величайших математиков двадцатого века. В своем некрологе коллега-алгебраист Б.Л. ван дер Варден говорит, что ее математическая оригинальность была «абсолютно вне всякого сравнения». а Герман Вейль сказал, что Нётер «своей работой изменила облик [абстрактной] алгебры». Математик и историк Джереми Грей писал, что любой учебник по абстрактной алгебре свидетельствует о вкладе Нётер: «Математики просто создают теорию колец по-своему». При жизни и даже до сегодняшнего дня Нётер описывалась математиками как величайшая женщина-математик в истории человечества. такие как Павел Александров , Герман Вейль , и Жан Дьедонне .

В письме в The New York Times Альберт Эйнштейн писал:

По мнению наиболее компетентных ныне живущих математиков, фройляйн Нётер была самым значительным творческим математическим гением, созданным до сих пор с момента появления высшего образования для женщин. В области алгебры, которой на протяжении веков занимались наиболее одаренные математики, она открыла методы, оказавшие огромное значение для развития современного молодого поколения математиков.

См. также

• Список вещей, названных в честь Эмми Нётер
• Хронология женщин в науке

Источники

• Александров, Павел С. (1981). «Памяти Эмми Нётер». В Брюэре, Джеймсе В.; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и творчеству . Нью-Йорк: Марсель Деккер . стр. 99–111. ISBN  978-0-8247-1550-2 . OCLC   7837628 .
• Блю, Мередит (2001). Теория Галуа и проблема Нётер (PDF) . 34-е ежегодное собрание Математической ассоциации Америки. Секция MAA Флориды. Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2008 года . Проверено 9 июня 2018 г.
• Байерс, Нина (декабрь 1996 г.). Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения . Материалы симпозиума о наследии Эмми Нётер. Израиль: Университет Бар-Илан . arXiv : физика/9807044 . Бибкод : 1998физика...7044B .
• Байерс, Нина (2006), «Эмми Нётер», в Байерс, Нина; Уильямс, Гэри (ред.), «Из тени: вклад женщин 20-го века в физику» , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-82197-1
• Чодос, Алан, изд. (март 2013 г.). «Этот месяц в истории физики: 23 марта 1882 года: рождение Эмми Нётер» . АПСНовости . 22 (3). Американское физическое общество . Проверено 28 августа 2020 г.
• Дойринг, Макс (1932). «К арифметической теории алгебраических функций» . Математические анналы (на немецком языке). 106 :77-102. дои : 10.1007/BF01455878 .
• Дик, Огюст (1981). Эмми Нётер: 1882–1935 . Перевод Блохера, HI Boston: Birkhäuser. дои : 10.1007/978-1-4684-0535-4 . ISBN  978-3-7643-3019-4 .
• Дин, Шисун ; Канг, Мин-Чанг; Тан, Энг-Чио (1999), «Чиунгце К. Цен (1898–1940) и теоремы Цена» , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 29 (4): 1237–1269, doi : 10.1216/rmjm/1181070406 , ISSN   0035- 7596 , МР   1743370
• Дёрнте, Вильгельм (1929). «Исследования по обобщенному понятию групп». Математический журнал (на немецком языке). 29 :1–19. дои : 10.1007/BF01180515 .
• Фалькенберг, Ганс (1912). Разветвления решений ( нелинейных дифференциальных уравнений кандидатская диссертация) (на немецком языке).
• Фиттинг, Ганс (1933). «Теория колец автоморфизмов абелевых групп и их аналогов в некоммутативных группах». Математические анналы (на немецком языке). 107 :514-542.
• Флейшманн, Питер (2000). «Граница Нётер в теории инвариантов конечных групп» . Достижения в математике . 156 (1): 23–32. дои : 10.1006/aima.2000.1952 . МР   1800251 .
• Фогарти, Джон (2001), «О границе Нётер для полиномиальных инвариантов конечной группы» , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 7 (2): 5–7, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00088- 9 , MR   1826990 , получено 16 июня 2008 г.
• Гилмер, Роберт (1981), «Теория коммутативных колец», в книге Брюэра, Джеймса В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер , стр. 131–143, ISBN  978-0-8247-1550-2
• Живант, Стивен; Халмос, Пол Ричард (2009), Введение в булевы алгебры , Springer , ISBN  978-0-387-40293-2
• Гордан, Пол (1870), «Одновременные системы бинарных форм» , Mathematical Annals (на немецком языке), 2 (2): 227–280, doi : 10.1007/BF01444021 , S2CID   119558943 , заархивировано из оригинала 3 сентября 2014 г.
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре , ред. (2008), Принстонский спутник математики , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-11880-2
• Грей, Джереми (2018), История абстрактной алгебры , Серия студентов по математике Springer, Springer , doi : 10.1007/978-3-319-94773-0 , ISBN  978-3-319-94772-3
• Грелль, Генрих (1927). «Связь между идеалами различных колец». Математические анналы (на немецком языке). 97 : 490-523. дои : 10.1007/BF01447879 .
• Хабуш, WJ (1975), «Редуктивные группы геометрически редуктивны», Annals of Mathematics , 102 (1): 67–83, doi : 10.2307/1970974 , JSTOR   1970974
• Хассе, Хельмут (1933), «Структура группы классов алгебры Р. Брауэра над полем алгебраических чисел» , Mathematical Annals (на немецком языке), 107 : 731–760, doi : 10.1007/BF01448916 , S2CID   128305900 , заархивировано из оригинала 5 марта 2016 г.
• Герман, Грета (1926). «Вопрос о конечном числе шагов в теории идеалов многочленов. (С использованием посмертных теорем К. Генцельта)» [Вопрос о конечном числе шагов в теории идеалов многочленов. (С использованием теорем покойного Курта Генцельта)]. Математические анналы (на немецком языке). 95 :736-788. дои : 10.1007/BF01206635 .
• Гильберт, Дэвид (декабрь 1890 г.). «К теории алгебраических форм» . Математические анналы (на немецком языке). 36 (4): 473–534. дои : 10.1007/BF01208503 . S2CID   179177713 . Архивировано из оригинала 3 сентября 2014 года.
• Хилтон, Питер (1988). «Краткая субъективная история гомологии и теории гомотопии в этом веке». Журнал «Математика» . 60 (5): 282–291. дои : 10.1080/0025570X.1988.11977391 . JSTOR   2689545 .
• Хельцер, Рудольф (1927). «К теории первичных колец» . Математические анналы (на немецком языке). 96 :719-735. дои : 10.1007/BF01209197 .
• Хопф, Хайнц (1928). «Обобщение формулы Эйлера-Пуанкаре» . Новости Общества наук в Геттингене. Математически-физический класс (на немецком языке). 2 : 127–136.
• Хаббард, Джон Х .; Уэст, Беверли Х. (1991). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы . Тексты по прикладной математике. Том. 5. Спрингер . ISBN  978-0-38-794377-0 .
• Хафф, Кендра (2011). Женщины в математике: исторический отчет о женском опыте и достижениях (старшая диссертация). Колледж Клермонт Маккенна . Проверено 28 августа 2020 г.
• Джеймс, Иоанн (2002). «Эмми Нётер (1882–1935)» . Выдающиеся математики от Эйлера до фон Неймана . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 321–326. ISBN  978-0-521-81777-6 .
• Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и ее влияние», в книге Брюэра, Джеймса В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер , стр. 3–61, ISBN  978-0-8247-1550-2
• Кимберлинг, Кларк (март 1982 г.). «Эмми Нётер, величайшая женщина-математик» (PDF) . Учитель математики . 84 (3). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики: 246–249. дои : 10.5951/MT.75.3.0246 .
• Косманн-Шварцбах, Иветт (2011). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Перевод Шварцбаха, Бертрама Юджина. Спрингер . дои : 10.1007/978-0-387-87868-3 . ISBN  978-0-387-87867-6 .
• Крамер, Эдна Эрнестина (1982). Природа и рост современной математики (1-е издание в мягкой обложке из Принстона с исправлениями под ред.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  9780691023724 .
• Лам, Цит Юэнь (1981), «Теория репрезентации», у Брюэра, Джеймса В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер , стр. 145–156, ISBN.  978-0-8247-1550-2
• Ланг, Серж (2005). Бакалавриат по алгебре (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-22025-3 .
• Ледерман, Леон М .; Хилл, Кристофер Т. (2004), Симметрия и прекрасная Вселенная , Амхерст: Книги Прометея, ISBN  978-1-59102-242-8
• Леммермейер, Франц; Рокетт, Питер, ред. (2006), Гельмут Хассе и Эмми Нётер – Переписка 1925–1935 гг . [ Гельмут Хассе и Эмми Нётер – Их переписка 1925–1935 гг .] (PDF) , Геттингенский университет , doi : 10.17875/gup2006-49 , ISBN  978-3-938616-35-2
• Левицкий, Джейкоб (1931). «О вполне приводимых кольцах и подкольцах » . Математический журнал (на немецком языке). 33 :663-691. дои : 10.1007/BF01174374 .
• Мак Лейн, Сондерс (1981), «Математика в Геттингенском университете 1831–1933», у Брюэра, Джеймса В.; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер , стр. 65–78, ISBN  978-0-8247-1550-2
• Малле, Гюнтер ; Мацат, Бернд Генрих (1999), Обратная теория Галуа , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62890-3 , МР   1711577
• Мерцбах, Ута К. (1983), «Эмми Нётер: исторический контекст», в Шринивасане, Бхама; Салли, Джудит Д. (ред.), Эмми Нётер в Брин-Мор: материалы симпозиума, спонсируемого Ассоциацией женщин-математиков в честь 100-летия Эмми Нётер , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer, стр. 161–171, doi : 10.1007/978-1-4612-5547-5_12 , ISBN  978-1-4612-5547-5
• МакЛарти, Колин (2005), «Бедный вкус как яркая черта характера: Эмми Нётер и Независимая социал-демократическая партия» (PDF) , Science in Context , 18 (3): 429–450, doi : 10.1017/S0269889705000608
• Нётер, Эмми; Брюэр, Джеймс В.; Смит, Марта К. (1981). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и творчеству . Марсель Деккер . ISBN  978-0-8247-1550-2 . OCLC   7837628 .
• Нётер, Готфрид Э. (1987), Гринштейн, Л.С.; Кэмпбелл, П. Дж. (ред.), Женщины-математики , Нью-Йорк: Greenwood Press , ISBN  978-0-313-24849-8
• Нётер, Макс (1914), «Пол Гордан» , Mathematische Annalen , 75 (1): 1–41, doi : 10.1007/BF01564521 , S2CID   179178051 , заархивировано из оригинала 4 сентября 2014 г.
• Огилви, Мэрилин ; Харви, Джой (2000). Биографический словарь женщин в науке: новаторская жизнь с древних времен до середины двадцатого века . Нью-Йорк: Рутледж . п. 949. ИСБН  978-0-2038-0145-1 .
• Перес, Ашер (1993), Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, ISBN  0-7923-2549-4
• Роу, Дэвид Э. (2021). Эмми Нётер – выдающийся математик . Чам, Швейцария: Springer . ISBN  978-3-030-63810-8 .
• Роу, Дэвид Э .; Коройбер, Мехтильд (2020). Доказывая это по-своему: Эмми Нётер, Жизнь в математике . Чам, Швейцария: Springer . ISBN  978-3-030-62811-6 .
• Шмадель, Лутц Д. (2003). Словарь названий малых планет (5-е исправленное и дополненное изд.). Берлин: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-00238-3 .
• Сигал, Сэнфорд Л. (2003). Математики при нацистах (иллюстрировано под ред.). Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-69-100451-8 .
• Зайдельманн, Фриц (1917). «Полный набор кубических и биквадратных уравнений с аффектом в произвольной области рациональности » . Математические анналы (на немецком языке). 78 : 230–233. дои : 10.1007/BF01457100 . hdl : 2027/uc1.b2611861 .
• Шиллинг, Отто (1935). «О некоторых отношениях между арифметикой гиперкомплексных систем счисления и полями алгебраических чисел». Математические анналы (на немецком языке). 111 : 372–398. дои : 10.1007/BF01472227 .
• Стауффер, Рут (июль 1936 г.). «Построение нормального базиса в сепарабельном нормальном расширенном поле». Американский журнал математики . 58 (3): 585–597. дои : 10.2307/2370977 .
• Стюарт, Ян (2015). Теория Галуа (4-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN  978-1-4822-4582-0 .
• Свон, Ричард Дж . (1969). «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода». Математические изобретения . 7 (2): 148–158. Бибкод : 1969InMat...7..148S . дои : 10.1007/BF01389798 . S2CID   121951942 .
• Таусский, Ольга (1981). «Мои личные воспоминания об Эмми Нётер». В Брюэр, Джеймс В.; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и творчеству . Нью-Йорк: Марсель Деккер . стр. 79–92. ISBN  978-0-8247-1550-2 .
• Тейчер, М. , изд. (1999). Наследие Эмми Нётер . Материалы Израильской математической конференции. Университет Бар-Илан , Американское математическое общество , Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-851045-1 . ОСЛК   223099225 .
• Цен, Чюнцзы К. (1933). «Алгебры с делением над функциональными полями» [Алгебры с делением над функциональными полями]. Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 1933 : 335–339.
• ван дер Варден, BL (1935). «Некролог Эмми Нётер». Математические анналы (на немецком языке). 111 : 469–474. дои : 10.1007/BF01472233 . S2CID   179178055 . . Перепечатано в журнале «Дик» в 1981 году .
• ——— (1985). История алгебры: от аль-Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-13610-3 .
• Вебер, Вернер (декабрь 1930 г.). «Теоретико-идеальная интерпретация представимости произвольных натуральных чисел квадратичными формами». Математические анналы (на немецком языке). 102 :740-767.
• Вейль, Герман (1935), «Эмми Нётер», Scripta Mathematica , 3 (3): 201–220 . Перепечатано в качестве приложения в книге Dick (1981) .
• ——— (1944), «Дэвид Гильберт и его математические работы», Бюллетень Американского математического общества , 50 (9): 612–654, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 , MR   0011274
• Вихманн, Вольфганг (1936). «Приложения p-адической теории в некоммутативных алгебрах». Ежемесячные журналы по математике (на немецком языке). 44 :203-224.
• Витт, Эрнст (1935). «Теорема Римана-Роха и Z-функция в гиперкомплексных числах» [Теорема Римана-Роха и дзета-функция в гиперкомплексных числах]. Математические анналы (на немецком языке). 110 : 12–28. дои : 10.1007/BF01448015 .
• Зи, Энтони (2016). Теория групп в двух словах для физиков . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-16269-0 .

Избранные произведения Эмми Нётер

Основная статья: Библиография Эмми Нётер

• Нётер, Эмми (1908), «О формировании системы форм троичной биквадратной формы» [О полных системах инвариантов для троичных биквадратичных форм], Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1908 (134), DE : 23–90 и две таблицы, doi : 10.1515/crll.1908.134.23 , S2CID   119967160 , заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
• ——— (1913), «Rationale Funktionenkörper» [Поля рациональных функций], J. Ber. D. DMV (на немецком языке), 22 : 316–19, заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
• ——— (1915), «Теорема конечности для инвариантов конечных групп» [Теорема конечности для инвариантов конечных групп] (PDF) , Mathematical Annals (на немецком языке), 77 : 89–92, doi : 10.1007/BF01456821 , S2CID   121213008
• ——— (1918), «Уравнения с заданной группой» , Mathematical Annals (на немецком языке), 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007/BF01457099 , S2CID   122353858 , заархивировано из оригинала 3 сентября 2014 г.
• ——— (1918б). «Проблема инвариантных вариаций» [Задачи инвариантных вариаций]. Нахр. Д. Кениг. Гезельш. Д. Висс. (на немецком языке). 918 (3). Перевод Тавеля М.А. Геттинген: 235–257. arXiv : физика/0503066 . Бибкод : 1971ТЦП....1..186Н . дои : 10.1080/00411457108231446 . S2CID   119019843 .
• ——— (1918в). «Проблема инвариантных вариаций» [Задачи инвариантных вариаций]. Нахр. Д. Кениг. Гезельш. Д. Висс. (на немецком языке). 918 . Геттинген: 235–257. Архивировано из оригинала 5 июля 2008 года. Оригинальное изображение на немецком языке со ссылкой на английский перевод Тавеля.
• ——— (1921), «Идеальная теория в Ringbereichen» [Теория идеалов в кольцевых областях], Mathematische Annalen (на немецком языке), 83 (1): 24–66, Бибкод : 1921MatAn..83...24N , doi : 10.1007/bf01464225 , S2CID   121594471 , заархивировано из оригинала (PDF) 3 сентября 2014 г.

• Берлин, Дэниел (11 января 2014 г.). «Идеальная теория в кольцах (перевод «Идеальной теории в кольцах» Эмми Нётер)». arXiv : 1401.2577 [ math.RA ].

• ——— (1923), «К теории полиномиальных идеалов и результирующих» (PDF) , Mathematical Annals (на немецком языке), 88 (1–2): 53–79, doi : 10.1007/BF01448441 , S2CID   122226025
• ——— (1923b), «Теория устранения и общая теория идеалов» (PDF) , Mathematical Annals (на немецком языке), 90 (3–4), Германия: 229–261, doi : 10.1007/BF01455443 , S2CID   121239880
• ——— (1924), «Теория исключения и идеальная теория» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 33 : 116–120, заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
• ——— (1926), «Теорема о конечности инвариантов конечных линейных групп характеристики р » [Доказательство конечности инвариантов конечных линейных групп характеристики р ], Nachr Ges (на немецком языке): 28. –35, заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
• ——— (1926b), «Вывод теории элементарного делителя из теории групп», Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 34 (Отдел 2): 104, заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
• ——— (1927), «Абстрактная структура теории идеалов в полях алгебраических чисел » , Mathematical Annals (на немецком языке), 96 (1): 26–61, doi : 10.1007/BF01209152 , S2CID   121288299 , заархивировано из оригинала (PDF) 3 сентября 2014 г.
• Брауэр, Ричард ; Нётер, Эмми (1927), «О минимальных полях расщепления неприводимых представлений», Seat Ber. Д. Прейсс. Акад. Д. Висс. (на немецком языке): 221–228.
• Нётер, Эмми (1929), «Гиперкомплексные величины и теория представлений» , Mathematical Annals (на немецком языке), 30 : 641–692, doi : 10.1007/BF01187794 , S2CID   120464373 , заархивировано из оригинала 29 марта 2016 г.
• Брауэр, Ричард ; Хассе, Хельмут ; Нётер, Эмми (1932), «Доказательство основной теоремы теории алгебр», Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1932 (167): 399-404, doi : 10.1515/crll.1932.167.399 , S2CID   199545542
• Нётер, Эмми (1933), «Некоммутативные алгебры», Mathematical Journal (на немецком языке), 37 : 514–541, doi : 10.1007/BF01474591 , S2CID   186227754
• ——— (1983), Якобсон, Натан (ред.), Сборник статей на ( немецком языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. viii, 777, ISBN.  978-3-540-11504-5 , МР   0703862

Дальнейшее чтение

Статьи

• Анжер, Натали (26 марта 2012 г.). «Могущественный математик, о котором вы никогда не слышали» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 27 января 2024 г.
• Филлипс, Ли (26 мая 2015 г.). «Женщина-математик, изменившая курс физики – но не сумевшая устроиться на работу» . Арс Техника . Калифорния: Конде Наст . Проверено 27 января 2024 г.
• «Специальный выпуск о женщинах в математике» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 38 (7). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 701–773. Сентябрь 1991 г. ISSN   0002-9920 .
• Шен, Цинна (сентябрь 2019 г.). «Ученый-беженец из нацистской Германии: Эмми Нётер и колледж Брин-Мор» . Математический интеллект . 41 (3): 52–65. дои : 10.1007/s00283-018-9852-0 . S2CID   128009850 .

Интернет-биографии

• Байерс, Нина (16 марта 2001 г.), «Эмми Нётер», « Вклад женщин 20-го века в физику » , Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе , заархивировано из оригинала 12 февраля 2008 г. , получено 27 января 2024 г.
• Тейлор, Мэнди (22 февраля 2023 г.), «Эмми Нётер», Биографии женщин-математиков , Колледж Агнес Скотт , получено 27 января 2024 г.

Внешние ссылки

• Эмми Нётер в проекте «Математическая генеалогия»
• Эмми Нётер в программе «В наше время » на BBC
• Заявление Нётер о поступлении в Эрлангенский университет и три ее биографии с сайта историка Кордулы Толлмиен.
• Письмо Нётер доктору Парку, президенту колледжа Брин-Мор - Специальные коллекции библиотеки колледжа Брин-Мор
• Фотография Нётер, сделанная Ханной Кунш - Специальные коллекции библиотеки колледжа Брин-Мор.
• Фотографии Нётер - Коллекция фотографий Математического научно-исследовательского института Обервольфаха в Обервольфахе.
• Фотографии коллег и знакомых Нётер с сайта Кларка Кимберлинга.