Jump to content

Теорема Римана – Роха

(Перенаправлено из теоремы Римана-Роха )
Теорема Римана – Роха
Поле Алгебраическая геометрия и комплексный анализ
Первое доказательство Густав Рох
Первое доказательство в 1865
Обобщения Теорема Атьи – Зингера об индексе
Теорема Гротендика – Римана – Роха.
Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
Теорема Римана–Роха для поверхностей
Теорема типа Римана–Роха
Последствия Теорема Клиффорда о специальных делителях
Формула Римана – Гурвица

Теорема Римана-Роха — важная теорема в математике , особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии , для вычисления размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешенными полюсами . Он связывает комплексный анализ связной компактной римановой поверхности поверхности с чисто топологическим родом g таким образом, что его можно перенести в чисто алгебраические ситуации.

Первоначально доказанная Риманом (1857) как , неравенство Римана теорема достигла своей окончательной формы для римановых поверхностей после работы Густава недолговечного ученика Римана Роха ( 1865 ). Позже оно было обобщено на алгебраические кривые более высокой размерности , на многообразия и далее.

Предварительные сведения [ править ]

Риманова поверхность рода 3.

Риманова поверхность топологическое пространство , локально гомеоморфное открытому подмножеству , набор комплексных чисел . Кроме того, карты перехода между этими открытыми подмножествами должны быть голоморфными . Последнее условие позволяет перенести понятия и методы комплексного анализа, касающиеся голоморфных и мероморфных функций, на на поверхность . Для целей теоремы Римана–Роха поверхность всегда предполагается компактным . В разговорной речи род римановой поверхности — это число ее ручек ; например, род римановой поверхности, показанной справа, равен трем. Точнее, род определяется как половина первого числа Бетти , т. е. половина -размерность первой гомологий особой группы со сложными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма , т. е. две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род один и тот же. Следовательно, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с -размерность пространства голоморфных одноформ на , поэтому род также кодирует комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности. [1]

Делитель является элементом свободной абелевой группы в точках поверхности. Эквивалентно, дивизор — это конечная линейная комбинация точек поверхности с целыми коэффициентами.

Любая мероморфная функция порождает делитель, обозначаемый определяется как

где представляет собой совокупность всех нулей и полюсов , и дается

Набор известно, что оно конечно; это следствие компактность и тот факт, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют точки накопления . Поэтому, четко определен. Любой делитель этой формы называется главным делителем . Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными . дивизор мероморфной 1-формы Аналогично определяется . Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется каноническим дивизором (обычно обозначается ). Любые две мероморфные 1-формы дадут линейно эквивалентные дивизоры, поэтому канонический дивизор определяется однозначно с точностью до линейной эквивалентности (отсюда и «канонический дивизор»).

Символ обозначает степень (иногда также называемую индексом) делителя , т.е. сумма коэффициентов, входящих в . Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, поэтому степень дивизора зависит только от его класса линейной эквивалентности.

Число представляет собой величину, которая представляет первостепенный интерес: размерность (более ) векторного пространства мероморфных функций на поверхности, такая, что все коэффициенты неотрицательны. Интуитивно мы можем представить это как все мероморфные функции, полюса которых в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в ; если коэффициент в в отрицательно, то мы требуем, чтобы имеет нуль по крайней мере этой кратности в точке – если коэффициент в является положительным, может иметь полюс не более чем этого порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественным образом изоморфны посредством умножения на глобальную мероморфную функцию (которая корректно определена с точностью до скаляра).

Формулировка теоремы [ править ]

Теорема Римана–Роха для компактной римановой поверхности рода с каноническим делителем государства

Как правило, число представляет интерес, в то время как рассматривается как корректирующий термин (также называемый индексом специальности). [2] [3] ), поэтому теорему можно грубо перефразировать, сказав:

размерность поправка = степень род + 1.

Поскольку это размерность векторного пространства, поправочный член всегда неотрицательен, так что

Это называется неравенством Римана . Часть утверждения Роха — это описание возможной разницы между сторонами неравенства. На общей римановой поверхности рода , имеет степень , независимо от мероморфной формы, выбранной для представления дивизора. Это следует из того, что в теореме. В частности, до тех пор, пока имеет степень как минимум , поправочный член равен 0, так что

Теперь теорема будет проиллюстрирована для поверхностей низкого рода. Существует также ряд других тесно связанных теорем: эквивалентная формулировка этой теоремы с использованием линейных расслоений и обобщение теоремы на алгебраические кривые .

Примеры [ править ]

Теорему можно проиллюстрировать, выбрав точку на рассматриваемой поверхности и относительно последовательности чисел

т. е. размерность пространства функций, голоморфных всюду, кроме точки где функция может иметь не более полюса порядка . Для , функции, таким образом, должны быть целыми , т. е. голоморфными на всей поверхности . По теореме Лиувилля такая функция обязательно постоянна. Поэтому, . В общем, последовательность является возрастающей последовательностью.

Род нулевой [ править ]

Сфера Римана (также называемая комплексной проективной прямой ) односвязна и, следовательно, ее первая особая гомология равна нулю. В частности, его род равен нулю. Сферу можно покрыть двумя копиями , с картой перехода , заданной выражением

Следовательно, форма на одном экземпляре продолжается до мероморфной формы на сфере Римана: он имеет двойной полюс на бесконечности, поскольку

Таким образом, его канонический делитель равен (где это точка на бесконечности).

Следовательно, теорема утверждает, что последовательность читает

1, 2, 3, ... .

Эту последовательность можно также прочитать из теории простейших дробей . И наоборот, если эта последовательность начинается таким образом, то должно быть равно нулю.

Род первый [ править ]

Тор

Следующий случай — это риманова поверхность рода , например тор , где является двумерной решеткой (группой, изоморфной ). Его род один: его первая особая группа гомологии свободно порождается двумя петлями, как показано на иллюстрации справа. Стандартная комплексная координата на дает одну форму на которая всюду голоморфна, т. е. вообще не имеет полюсов. Поэтому, , делитель равен нулю.

На этой поверхности эта последовательность имеет вид

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

и это характеризует случай . Действительно, для , , как было сказано выше. Для с , степень строго отрицательна, так что поправочный член равен 0. Последовательность измерений также можно вывести из теории эллиптических функций .

Род второй и далее [ править ]

Для , упомянутая выше последовательность

1, 1, ?, 2, 3, ... .

Из этого видно, что ? член степени 2 равен либо 1, либо 2, в зависимости от точки. Можно доказать, что на любой кривой рода 2 имеется ровно шесть точек, последовательности которых равны 1, 1, 2, 2,..., а остальные точки имеют общую последовательность 1, 1, 1, 2,... В частности, кривая рода 2 является гиперэллиптической кривой . Для всегда верно, что в большинстве случаев последовательность начинается с единицы и имеется конечное число точек с другими последовательностями (см. точки Вейерштрасса ).

Римана-Роха для линейных расслоений [ править ]

Используя тесное соответствие между дивизорами и голоморфными линейными расслоениями на римановой поверхности, теорему можно сформулировать и другим, но эквивалентным способом: пусть L — голоморфное линейное расслоение на X . Позволять обозначим пространство голоморфных сечений L . Это пространство будет конечномерным; его размерность обозначается . через K Обозначим расслоение на X. каноническое Тогда теорема Римана–Роха утверждает, что

Теорема предыдущего раздела представляет собой частный случай, когда L является точечным расслоением .

Теорему можно применить, чтобы показать, что существует g линейно независимых голоморфных сечений K или одноформ на X следующим образом. Принимая L за тривиальное расслоение, поскольку единственные голоморфные функции на X являются константами. Степень L равна нулю, и является тривиальным расслоением. Таким образом,

Поэтому, , доказывая, что существует g голоморфных одноформ.

Степень канонической расслоения [ править ]

Поскольку канонический расслоение имеет , применяя Римана–Роха к дает

который можно переписать как

следовательно, степень канонического расслоения равна .

Теорема Римана–Роха для алгебраических кривых [ править ]

Каждый элемент приведенной выше формулировки теоремы Римана–Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраической геометрии . Аналогом римановой поверхности является неособая алгебраическая кривая C над полем k . Разница в терминологии (кривая и поверхность) заключается в том, что размерность римановой поверхности как реального многообразия равна двум, а размерность комплексного многообразия — одна. Компактность римановой поверхности параллельна условию полноты алгебраической кривой , что эквивалентно проективности . Над общим полем k не существует хорошего понятия сингулярных (ко)гомологий. Так называемый геометрический род определяется как

т. е. как размерность пространства глобально определенных (алгебраических) одноформ (см. Дифференциал Кэлера ). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представляются как дроби голоморфных функций. Следовательно, они заменяются рациональными функциями , которые являются локальными дробями регулярных функций . Таким образом, написав для размерности (по k ) пространства рациональных функций на кривой, полюса которой в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в D , справедлива та же самая формула, что и выше:

где C — проективная неособая алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем k . Фактически, та же самая формула справедлива для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что степень дивизора должна учитывать кратности, возникающие из возможных расширений основного поля и полей вычетов точек, поддерживающих дивизор. [4] Наконец, для собственной кривой над артиновым кольцом эйлерова характеристика линейного расслоения, связанного с дивизором, определяется степенью дивизора (определенной соответствующим образом) плюс эйлерова характеристика структурного пучка. . [5]

Предположение о гладкости в теореме также можно ослабить: для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которого являются кольцами Горенштейна , справедливо то же утверждение, что и выше, при условии, что геометрический род, определенный выше, равен заменен арифметическим родом g a , определяемым как

[6]

(Для гладких кривых геометрический род совпадает с арифметическим.) Теорема также была распространена на общие сингулярные кривые (и многомерные многообразия). [7]

Приложения [ править ]

Полином Гильберта [ править ]

Одним из важных следствий Римана-Роха является то, что он дает формулу для вычисления полинома Гильберта линейных расслоений на кривой. Если линейный пучок обильно, то полином Гильберта даст первую степень дающее вложение в проективное пространство. Например, канонический пучок имеет степень , что дает достаточное расслоение строк для рода . [8] Если мы установим тогда формула Римана – Роха будет иметь вид

Вручение степени Полином Гильберта

Поскольку триканонический пучок используется для встраивания кривой, полином Гильберта

обычно учитывается при построении схемы Гильберта кривых пространства модулей алгебраических кривых ). Этот многочлен

и называется полиномом Гильберта кривой рода g .

Плюриканоническое вложение [ править ]

При дальнейшем анализе этого уравнения эйлерова характеристика выглядит как

С

для , так как его степень отрицательна для всех , подразумевая, что у него нет глобальных сечений, существует вложение в некоторое проективное пространство глобальных сечений . В частности, дает вложение в где с . Это полезно при построении пространства модулей алгебраических кривых , поскольку его можно использовать в качестве проективного пространства для построения схемы Гильберта с полиномом Гильберта. . [9]

Род плоских кривых с особенностями [ править ]

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет ( d - 1)( d - 2)/2 - g особенностей при правильном подсчете. Отсюда следует, что если кривая имеет ( d − 1)( d − 2)/2 различных особенностей, то она является рациональной кривой и, следовательно, допускает рациональную параметризацию.

Формула Римана–Гурвица [ править ]

Формула Римана–Гурвица, касающаяся (разветвленных) отображений между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана–Роха.

Клиффорда о Теорема специальных делителях

Теорема Клиффорда о специальных делителях также является следствием теоремы Римана – Роха. В нем говорится, что для специального делителя (т. е. такого, что ) удовлетворение имеет место следующее неравенство: [10]

Доказательство [ править ]

Доказательство для алгебраических кривых [ править ]

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать, используя двойственность Серра . Целое число — размерность пространства глобальных сечений линейного расслоения связанный с D ( ср. делитель Картье ). Таким образом, в терминах пучковых когомологий мы имеем , и аналогично . Но двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что изоморфен двойственному . Таким образом, левая часть равна эйлеровой характеристике дивизора D . Когда D = 0, мы находим, что эйлерова характеристика структурного пучка равна по определению. Чтобы доказать теорему для общего делителя, можно затем добавить точки к делителю одну за другой и убедиться, что эйлерова характеристика преобразуется соответствующим образом в правую часть.

римановых поверхностей компактных Доказательство для

Теорему для компактных римановых поверхностей можно вывести из алгебраической версии с использованием теоремы Чоу и принципа GAGA : фактически каждая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA гласит, что пучковые когомологии алгебраического многообразия совпадают с пучковыми когомологиями аналитического многообразия, определяемыми теми же уравнениями).

Можно избежать использования теоремы Чоу, рассуждая так же, как доказательство в случае алгебраических кривых, но заменив со снопом мероморфных функций h таких, что все коэффициенты дивизора неотрицательны. Здесь тот факт, что эйлерова характеристика преобразуется желаемым образом при добавлении точки к делителю, можно прочитать из длинной точной последовательности, индуцированной короткой точной последовательностью

где — это пучок небоскребов в точке P , а карта возвращает коэффициент Лорана, где . [11]

Римана– Арифметическая Роха теорема

Версия арифметической теоремы Римана-Роха утверждает, что если глобальное поле , а f — подходящая допустимая функция аделей k , k то для каждой идели a существует формула суммирования Пуассона :

В частном случае, когда k — функциональное поле алгебраической кривой над конечным полем, а f — любой символ, тривиальный на k , это восстанавливает геометрическую теорему Римана–Роха. [12]

В других версиях арифметической теоремы Римана-Роха используется теория Аракелова, чтобы более точно напоминать традиционную теорему Римана-Роха.

Римана– Обобщения теоремы Роха

Теорема Римана-Роха для кривых была доказана для римановых поверхностей Риманом и Рохом в 1850-х годах, а для алгебраических кривых Фридрихом Карлом Шмидтом в 1931 году, когда он работал над совершенными полями конечной характеристики . Как заявил Питер Рокетт , [13]

Первым главным достижением Ф. К. Шмидта является открытие того, что классическая теорема Римана–Роха о компактных римановых поверхностях может быть перенесена на функциональные поля с конечным базовым полем. На самом деле его доказательство теоремы Римана–Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Это является основополагающим в том смысле, что последующая теория кривых пытается уточнить информацию, которую она дает (например, в теории Брилла – Нётер ).

Существуют версии в более высоких измерениях (для соответствующего понятия делителя или расслоения линий ). Их общая формулировка зависит от разделения теоремы на две части. Одна из них, которую сейчас назвали бы двойственностью Серра , интерпретирует терм как размерность группы когомологий первого пучка ; с размерности нулевой группы когомологий или пространства сечений левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой , а правая часть — вычислением ее как степени, исправленной в соответствии с топологией римановой поверхности.

В алгебраической геометрии размерности два такая формула была найдена геометрами итальянской школы ; была доказана теорема Римана –Роха для поверхностей (существует несколько версий, первая, возможно, принадлежит Максу Нётер ).

n - мерное обобщение, теорема Хирцебруха-Римана-Роха , было найдено и доказано Фридрихом Хирцебрухом как приложение характеристических классов в алгебраической топологии ; на него большое влияние оказало творчество Кунихико Кодайры . Примерно в то же время Жан-Пьер Серр дал общую форму серровской двойственности, какой мы ее теперь знаем.

Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, теперь известное как теорема Гротендика-Римана-Роха . Его работа интерпретирует Римана-Роха не как теорему о многообразии, а как о морфизме между двумя многообразиями. Подробности доказательств были опубликованы Арманом Борелем и Жан-Пьером Серром в 1958 году. [14] Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство. [15]

Наконец, общая версия была найдена и в алгебраической топологии . По сути, все эти разработки были осуществлены между 1950 и 1960 годами. После этого теорема об индексе Атьи – Зингера открыла еще один путь к обобщению. Следовательно, эйлерова характеристика когерентного пучка разумно вычислима. Только для одного слагаемого в знакопеременной сумме дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении необходимо использовать .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Гриффит, Харрис, с. 116, 117
  2. ^ Стихтенот стр.22
  3. Перейдите на стр. 295–297.
  4. ^ Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-850284-5 , раздел 7.3
  5. ^ * Альтман, Аллен; Клейман, Стивен (1970), Введение в теорию двойственности Гротендика , Конспекты лекций по математике, Vol. 146, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , Теорема VIII.1.4., с. 164
  6. ^ Хартсхорн, Робин (1986), «Обобщенные делители на кривых Горенштейна и теорема Нётер», Журнал математики Киотского университета , 26 (3): 375–386, doi : 10.1215/kjm/1250520873 , ISSN   0023-608X
  7. ^ Баум, Пол; Фултон, Уильям ; Макферсон, Роберт (1975), «Риман – Рох для особых многообразий» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 45 (45): 101–145, doi : 10.1007/BF02684299 , ISSN   1618-1913 , S2CID   83458307
  8. ^ Обратите внимание, что модули эллиптических кривых можно построить независимо, см. https://arxiv.org/abs/0812.1803 , и существует только одна гладкая кривая рода 0, , который можно найти с помощью теории деформаций. См. https://arxiv.org/abs/math/0507286.
  9. ^ Делинь, П.; Мамфорд, Д. (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» . ИХЕС . 36 : 75–110. CiteSeerX   10.1.1.589.288 . дои : 10.1007/BF02684599 . S2CID   16482150 .
  10. ^ Фултон, Уильям (1989), Алгебраические кривые (PDF) , Advanced Book Classics, Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-51010-2 , с. 109
  11. ^ Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях , Springer Nature , ISBN  978-1-4612-5963-3 , Раздел 16
  12. ^ Рамакришнан, Динакар; Валенца, Роберт (1999), Анализ Фурье числовых полей , Springer-Verlag , Глава 7.
  13. ^ «Рукописи» .
  14. ^ А. Борель и Ж.-П. Серр. Бык. Соц. Математика. Франция 86 (1958), 97–136.
  15. ^ SGA 6, Springer-Verlag (1971).

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3002a14bed679ab7f428aded88280457__1702812420
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/30/57/3002a14bed679ab7f428aded88280457.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Riemann–Roch theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)