Смешивание (математика)

Повторное применение карты пекаря к точкам красного и синего цвета, изначально разделенным. Карта пекаря перемешивается, о чем свидетельствует полное смешивание красных и синих точек после нескольких итераций.

В математике , смешивание — это абстрактное понятие, берущее начало в физике : попытка описать необратимый термодинамический процесс смешивания смешивание в повседневном мире: например, смешивание краски, смешивание напитков промышленное .

Это понятие появляется в эргодической теории — изучении случайных процессов и динамических систем, сохраняющих меру . Существует несколько различных определений смешивания, включая сильное перемешивание , слабое перемешивание и топологическое перемешивание , причем последнее не требует меры определения . Некоторые из различных определений смешивания можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание. Более того, слабое перемешивание (а, следовательно, и сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая система со слабым перемешиванием также является эргодической (поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» условием, чем эргодичность).

Неофициальное объяснение

Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы охватить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах , дым в задымленном помещении и так далее. Чтобы обеспечить математическую строгость, такие описания начинаются с определения сохраняющей меру динамической системы , записанной как ⁠ $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$⁠ .

Набор $X$ все пространство, подлежащее заполнению: чаша для смешивания, задымленное помещение и т. д. понимается Под мерой $\mu$ Подразумевается определение естественного объема пространства $X$ и его подпространств. Набор подпространств обозначается ⁠ ${\mathcal {A}}$⁠ и размер любого заданного подмножества $A\subset X$ это ⁠ $\mu (A)$⁠ ; размер - это его объем. Наивно можно было представить ${\mathcal {A}}$ быть мощности набором ⁠ $X$⁠ ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (известный парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно ${\mathcal {A}}$ состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми.

Эволюция системы во времени описывается картой $T:X\to X$. Учитывая некоторое подмножество $A\subset X$, его карта $T(A)$ вообще будет деформированной версией $A$ – его сдавливают или растягивают, складывают или разрезают на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , вдохновленные выпечкой хлеба . Набор $T(A)$ должен иметь тот же объем, что и $A$; сжатие/растяжение не меняет объём пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем).

Формальная трудность возникает при попытке совместить объем множеств с необходимостью сохранения их размеров под картой. Проблема возникает потому, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть $x\neq y$ с ⁠ $T(x)=T(y)$⁠ . Хуже всего, одна точка. $x\in X$ не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением ⁠ $T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$⁠ ; он отобразит любое заданное подмножество $A\subset X$ к частям, которые были собраны для его изготовления: эти части ⁠ $T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}$⁠ . Он обладает важным свойством не «терять следа» того, откуда что взялось. Более того, оно обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение ${\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ является инверсией некоторой карты ⁠ $X\to X$⁠ . Правильное определение карты, сохраняющей объем, — это такое, для которого $\mu (A)=\mu (T^{-1}(A))$ потому что $T^{-1}(A)$ описывает все кусочки-части, которые $A$ пришел из.

Теперь интересно изучить эволюцию системы во времени. Если набор $A\in {\mathcal {A}}$ в конце концов посещает все $X$ в течение длительного периода времени (т. $\cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)$ подходит ко всем $X$ для больших $n$), система называется эргодической . Если каждый набор $A$ ведет себя таким образом, система является консервативной системой в отличие от диссипативной системы , где некоторые подмножества $A$ уйти , чтобы никогда не вернуться. Примером может служить вода, текущая вниз по склону: однажды утекшая, она никогда больше не поднимется вверх. Однако озеро, образующееся на дне этой реки, может стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что любую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя множествами ⁠ $A,B$⁠ , а не только между каким-то множеством $A$ и ⁠ $X$⁠ . То есть, учитывая любые два набора ⁠ $A,B\in {\mathcal {A}}$⁠ система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число $N$ такой, что для всех $A,B$ и ⁠ $n>N$⁠ , у одного есть такое $T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing$. Здесь, $\cap$ обозначает пересечение множеств и $\varnothing$ это пустое множество .

Приведенного выше определения топологического перемешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, данному ниже). Однако он не упомянул об объеме $A$ и ⁠ $B$⁠ , и действительно, есть еще одно определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; имеется как сильное, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя система сильного перемешивания всегда является слабоперемешивающейся. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: существуют системы, которые являются одними, но не являются другими. Общая ситуация остаётся неясной: например, при трёх сетах ⁠ $A,B,C\in {\mathcal {A}}$⁠ можно определить 3-смешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивание. (Если думать об эргодичности как о «1-смешивании», то ясно, что 1-смешивание не подразумевает 2-смешивание; существуют системы, которые являются эргодическими, но не смешиваются.)

Понятие сильного смешивания относится к объему пары наборов. Рассмотрим, например, набор $A$ цветного красителя, который смешивают с чашкой какой-нибудь липкой жидкости, скажем, кукурузного сиропа, шампуня или чего-то подобного. Практический опыт показывает, что смешивать липкие жидкости бывает довольно сложно: обычно в контейнере есть какой-то угол, куда трудно перемешать краситель. Выбрать как набор $B$ тот труднодоступный угол. Тогда вопрос о смешивании состоит в том, можно ли $A$, по прошествии достаточно длительного периода времени, не только проникают в $B$ но и заполнить $B$ с той же пропорцией, что и в других местах?

Можно сформулировать определение сильного перемешивания как требование, чтобы

$\lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).$

Параметр времени $n$ служит для разделения $A$ и $B$ во времени, так что человек смешивает $A$ удерживая тестовый объем $B$ зафиксированный. Продукт $\mu (A)\mu (B)$ это немного более тонко. Представьте, что объем $B$ составляет 10% от общего объема, и что объем красителя $A$ также составит 10% от общей суммы. Если $A$ распределена равномерно, то занимает 10% $B$, что само по себе составляет 10% от общего количества, и так, в итоге, после смешивания, часть $A$ это в $B$ составляет 1% от общего объема. То есть, $\mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).$ Это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса о вероятностях; это не случайность, а, скорее, следствие того, что теория меры и теория вероятностей — это одна и та же теория: они имеют одни и те же аксиомы ( аксиомы Колмогорова ), даже если используют разные обозначения.

Причина использования $T^{-n}A$ вместо $T^{n}A$ в определении несколько тонкое, но оно вытекает из тех же причин, почему $T^{-1}A$ использовался для определения понятия карты, сохраняющей меру. Глядя на то, сколько краски попало в угол $B$, хочется посмотреть, откуда «взялся» этот краситель (предположительно, его залили сверху, когда-то в прошлом). Надо быть уверенным, что каждое место, откуда оно могло «прийти», в конечном итоге смешивается с $B$.

Смешивание в динамических системах

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$ быть динамической системой, сохраняющей меру , где T является оператором эволюции во времени или сдвигом . Система называется сильным перемешиванием , если для любого $A,B\in {\mathcal {A}}$, у одного есть

$\lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).$

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение, с $T^{-n}$ заменен на $T_{g}$ где g является параметром непрерывного времени.

Динамическая система называется слабым перемешиванием, если имеется

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.$

Другими словами, $T$ является сильным перемешиванием, если $\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0$ в обычном смысле слабое перемешивание, если

$\left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,$

в смысле Чезаро и эргодично, если $\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)$ в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание влечет за собой слабое перемешивание, что означает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, не обладающие слабым перемешиванием, и слабоперемешивающие динамические системы, не являющиеся сильно перемешивающими. Система Чакон исторически была первым примером системы со слабым, но не сильным смешиванием.

Теорема. Слабое перемешивание подразумевает эргодичность.

Доказательство. Если действие карты распадается на две составляющие ⁠ $A,B$⁠ , то имеем ⁠ $\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0$⁠ , поэтому слабое смешивание подразумевает ⁠ $\vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0$⁠ , поэтому один из $A,B$ имеет нулевую меру, а другой — полную меру.

Охват семей

Учитывая топологическое пространство, такое как единичный интервал (независимо от того, есть ли у него конечные точки или нет), мы можем построить на нем меру, взяв открытые множества, затем беря их объединения, дополнения, объединения, дополнения и так далее до бесконечности. , чтобы получить все множества Бореля . Далее определяем меру $\mu$ на борелевских множествах, затем добавьте все подмножества с нулевой мерой («незначительные множества»). Так мы получаем меру Лебега и измеримые множества Лебега.

В большинстве приложений эргодической теории лежащее в ее основе пространство почти всюду изоморфно открытому подмножеству некоторого $\mathbb {R} ^{n}$, и, следовательно, это пространство с мерой Лебега. Проверка сильного смешивания может быть упрощена, если нам нужно проверить только меньший набор измеримых множеств.

Покрывающая семья ${\mathcal {C}}$ — множество измеримых множеств, такое, что любое открытое множество представляет собой несвязное объединение входящих в него множеств. Сравните это с базой в топологии , которая менее ограничительна, поскольку допускает непересекающиеся объединения.

Теорема. Для пространств Лебега с мерой, если $T$ сохраняет меру, и $\lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)$ для всех $A,B$ в покрывающей семье, то $T$ происходит сильное перемешивание.

Доказательство. Расширьте уравнение смешивания со всех $A,B$ в накрывающем семействе ко всем открытым множествам путем непересекающегося объединения, ко всем закрытым множествам путем добавления дополнения, ко всем измеримым множествам с помощью регулярности меры Лебега для аппроксимации любого множества открытыми и замкнутыми множествами. Таким образом, $\lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)$ для всего измеримого ⁠ $A,B$⁠ .

л ² формулировка

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним значением наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$ эквивалентно свойству, что для любой функции $f\in L^{2}(X,\mu )$, последовательность $(f\circ T^{n})_{n\geq 0}$ сильно сходится и по Чезаро к ⁠ $\int _{X}f\,d\mu$, то есть,

$\lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.$

Динамическая система $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$ является слабо перемешивающим, если для любых функций $f$ и $g\in L^{2}(X,\mu ),$

$\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.$

Динамическая система $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$ является сильно перемешивающим, если для любой функции ⁠ $f\in L^{2}(X,\mu )$⁠ , последовательность $(f\circ T^{n})_{n\geq 0}$ слабо сходится к ⁠ $\int _{X}f\,d\mu$⁠ , т. е. для любой функции $g\in L^{2}(X,\mu ),$

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .$

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация ⁠ $\lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0$⁠ , так что случайные величины $f\circ T^{n}$ и $g$ стать ортогональным, как $n$ растет. Собственно, поскольку это работает для любой функции ⁠ $g$⁠ неформально можно рассматривать смешивание как свойство, которое случайные величины $f\circ T^{n}$ и $g$ стать независимым, как $n$ растет.

Продукты динамических систем

Даны две измеряемые динамические системы $(X,\mu ,T)$ и $(Y,\nu ,S),$ можно построить динамическую систему $(X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)$ на декартовом произведении, определив $(T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).$ Тогда мы имеем следующие характеристики слабого перемешивания:

Предложение. Динамическая система $(X,\mu ,T)$ является слабо перемешивающим тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы ⁠ $(Y,\nu ,S)$⁠ , система $(X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)$ также эргодична.

Предложение. Динамическая система $(X,\mu ,T)$ является слабо перемешивающим тогда и только тогда, когда $(X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)$ также эргодична. Если это так, то $(X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)$ также слабо перемешивается.

Обобщения

Определение, данное выше, иногда называют сильным 2-смешиванием , чтобы отличить его от смешивания более высоких порядков. Сильную систему с тремя смешиваниями можно определить как систему, для которой

$\lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)$

для всех измеримых множеств A , B , C. справедливо Аналогично можно определить сильное k-смешивание . Система, являющаяся сильным k - перемешиванием для всех k = 2,3,4,..., называется перемешиванием всех порядков .

Неизвестно, подразумевает ли сильное 2-смешивание сильное 3-смешивание. Известно, что сильное m -перемешивание влечет за собой эргодичность .

Примеры

Иррациональные вращения окружности и, в более общем плане, неприводимые перемещения на торе являются эргодическими, но не являются ни сильными, ни слабыми перемешивающими по отношению к мере Лебега.

Многие карты, считающиеся хаотическими, сильно перемешиваются для некоторой хорошо выбранной инвариантной меры, в том числе: диадическое отображение , карта кота Арнольда , подковообразные отображения , автоморфизмы Колмогорова и поток Аносова ( геодезический поток на единичном касательном расслоении компактных многообразий чисел отрицательных ). кривизна .)

Диадическая карта — это «сдвиг влево в двоичном формате». В общем, для любого $n\in \{2,3,\dots \}$, «сдвиг влево в базе ⁠ $n$⁠ "карта $T(x)=nx{\bmod {1}}$ сильно перемешивает на накрывающем семействе ⁠ $\left\{\left({\tfrac {k}{n^{s}}},{\tfrac {k+1}{n^{s}}}\right)\smallsetminus \mathbb {Q} :s\geq 0,\leq k<n^{s}\right\}$⁠ , поэтому сильно перемешивается на ⁠ $(0,1)\smallsetminus \mathbb {Q}$⁠ , и поэтому сильно перемешивается на ⁠ $[0,1]$⁠ .

Аналогично для любого конечного или счетного алфавита ⁠ $\Sigma$⁠ , мы можем наложить на него дискретное распределение вероятностей, а затем рассмотреть распределение вероятностей в пространстве «подбрасывания монеты», где каждый «подбрасывание монеты» может принимать результаты из ⁠ $\Sigma$⁠ . Мы можем либо построить однобесконечное пространство $\Sigma ^{\mathbb {N} }$ или дважды бесконечное пространство ⁠ $\Sigma ^{\mathbb {Z} }$⁠ . В обоих случаях карта сдвига (на одну букву слева) является сильно перемешивающей, поскольку она сильно перемешивает на покрывающем семействе цилиндрических множеств. изоморфна Карта Бейкера карте сдвига, поэтому она сильно перемешивается.

Топологическое смешивание

Форму перемешивания можно определить, не обращаясь к мере , используя только топологию системы. Непрерывная карта $f:X\to X$ называется топологически транзитивным , если для каждой пары непустых открытых множеств $A,B\subset X$, существует целое число n такое, что

$f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing$

где $f^{n}$ это n- я итерация f . — В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение топологического векторного пространства ) обычно называют гиперциклическим оператором . Близкую идею выражает блуждающее множество .

Лемма: Если X — полное метрическое пространство без изолированной точки , то f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда существует гиперциклическая точка. $x\in X$, то есть точка x такая, что ее орбита $\{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}$ плотно ​ в X. ​

Система называется топологически перемешивающей , если для открытых множеств $A$ и ⁠ $B$⁠ существует целое число N такое, что для всех ⁠ $n>N$⁠ , есть

$f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .$

Для системы с непрерывным временем $f^{n}$ заменяется потоком ⁠ $\varphi _{g}$⁠ , где g является непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение имело место для всех ⁠ $\Vert g\Vert >N$⁠ .

Слабое топологическое перемешивание — это перемешивание, не имеющее непостоянных непрерывных (относительно топологии) собственных функций оператора сдвига.

Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает ни слабое, ни сильное перемешивание: есть примеры систем, которые обладают слабым перемешиванием, но не топологически, а также примеры, которые топологически перемешивают, но не сильно перемешивают.

Смешение в случайных процессах

Позволять $(X_{t})_{-\infty <t<\infty }$ быть случайным процессом в вероятностном пространстве ⁠ $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$⁠ . Пространство последовательностей, в которое отображаются процессы, может быть снабжено топологией — топологией продукта . этой Открытые множества топологии называются цилиндрическими множествами . Эти множества цилиндров порождают σ-алгебру , борелевскую σ-алгебру ; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию.

Определить функцию $\alpha$, называемый коэффициентом сильного смешивания , так как

$\alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}$

для всех ⁠ $-\infty <s<\infty$⁠ . Символ $X_{a}^{b}$, с $-\infty \leq a\leq b\leq \infty$ обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор множеств цилиндров, заданных между моментами a и b , т.е. σ-алгебра, порожденная ⁠ $\{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}$⁠ .

Процесс $(X_{t})_{-\infty <t<\infty }$ называется сильным перемешиванием, если $\alpha (s)\to 0$ как ⁠ $s\to \infty$⁠ . Другими словами, процесс сильного перемешивания таков, что равномерно во все времена $t$ и все события, события до времени $t$ и события спустя время $t+s$ стремятся к независимости, поскольку $s\to \infty$; говоря более просторечно, процесс в строгом смысле слова забывает свою историю.

Смешение в марковских процессах

Предполагать $(X_{t})$ были стационарным марковским процессом со стационарным распределением $\mathbb {Q}$ и пусть $L^{2}(\mathbb {Q} )$ обозначим пространство измеримых по Борелю функций, интегрируемых с квадратом по мере $\mathbb {Q}$. Также пусть

${\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]$

обозначим оператор условного ожидания на $L^{2}(\mathbb {Q} ).$ Наконец, позвольте

$Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}$

обозначаем пространство суммируемых с квадратом функций со средним нулем.

Коэффициенты ρ -перемешивания процесса { x _t } равны

$\rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.$

Процесс называется ρ -перемешиванием , если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , и « ρ -перемешиванием с экспоненциальной скоростью затухания», если ρ _t < e ^{− δt} для некоторого δ > 0 . Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ _t могут либо затухать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице.

Коэффициенты α -перемешивания процесса { x _t } равны

$\alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.$

Процесс называется α -перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , это « α -перемешивание с экспоненциальной скоростью затухания», если α _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это α -перемешивание с субэкспоненциальной скоростью убывания , если α _t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции $\xi$ удовлетворяющий

${\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0$

как ⁠ $t\to \infty$⁠ .

Коэффициенты α -перемешивания всегда меньше коэффициентов ρ -перемешивания: αt _{, поэтому если} ≤ ρt _и процесс является ρ -перемешиванием, то он обязательно будет α -перемешиванием. Однако, когда ρ _t = 1 , процесс все еще может представлять собой α- перемешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания.

Коэффициенты β -смешивания имеют вид

$\beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .$

Процесс называется β -перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , это β -перемешивание с экспоненциальной скоростью затухания , если β _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это β -смешивание с субэкспоненциальной скоростью убывания , если β _t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции $\xi$ удовлетворяющий

${\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0$

как $t\to \infty$.

Строго стационарный марковский процесс является β -перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β -смешивания всегда больше, чем коэффициенты α -смешивания, поэтому, если процесс является β -смешиванием, он также будет и α -смешиванием. -смешиванием нет прямой связи Между β -смешением и ρ : ни одно из них не подразумевает другого.

Ссылки

• В. И. Арнольд и А. Авез, Эргодические проблемы классической механики , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Манфред Эйнзидлер и Томас Уорд, Эргодическая теория с точки зрения теории чисел , (2011) Springer ISBN   978-0-85729-020-5
• Ахим Кленке, Теория вероятностей , (2006) Springer ISBN   978-1-84800-047-6
• Чен, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, морской пехотинец (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики . 155 (2): 155–169. CiteSeerX   10.1.1.597.8777 . doi : 10.1016/j.jeconom.2009.10.001 . S2CID   10567129 .