Диадическая трансформация

xy график , где x = x ₀ ∈ [0, 1] является рациональным , а y = x _n для всех n .

Диадическое преобразование (также известное как диадическая карта , карта битового сдвига , карта 2 x mod 1 , карта Бернулли , карта удвоения или пилообразная карта). ) — отображение (т. е. рекуррентное отношение )

$T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }$

$x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )$

(где $[0,1)^{\infty }$ представляет собой набор последовательностей из $[0,1)$) производится по правилу

$x_{0}=x$

${\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}$.

Эквивалентно, диадическое преобразование также можно определить как итерированную функциональную карту кусочно-линейной функции.

$T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}$

имени Карта сдвига битов возникает потому, что, если значение итерации записано в двоичной записи, следующая итерация получается путем сдвига двоичной точки на один бит вправо, и если бит слева от новой двоичной точки является «единица», заменив ее нулем.

Диадическое преобразование представляет собой пример того, как простая одномерная карта может породить хаос . Эта карта легко обобщается на несколько других. Важным из них является бета-преобразование , определяемое как $T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}$. Эта карта подробно изучалась многими авторами. Она была введена Альфредом Реньи в 1957 году, а инвариантная мера для нее была дана Александром Гельфондом в 1959 году и снова независимо Биллом Пэрри в 1960 году.

Связь с процессом Бернулли

Отображение T : [0, 1) → [0, 1), $x\mapsto 2x{\bmod {1}}$ сохраняет меру Лебега .

Отображение можно получить как гомоморфизм процесса Бернулли . Позволять $\Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }$ быть набором всех полубесконечных цепочек букв $H$ и $T$. Это можно понимать как подбрасывание монеты, выпадение орла или решки. Эквивалентно можно написать $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ пространство всех (полу)бесконечных строк двоичных битов. К слову «бесконечный» добавляется слово «полу-», поскольку можно также определить другое пространство. $\{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ состоящая из всех двояко-бесконечных (двусторонних) струн; это приведет к карте Бейкера . Квалификация «полу-» опускается ниже.

Это пространство имеет естественную операцию сдвига , заданную формулой

$T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )$

где $(b_{0},b_{1},\dots )$ представляет собой бесконечную строку двоичных цифр. Учитывая такую ​​строку, напишите

$x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.$

В результате $x$ в действительное число единичном интервале $0\leq x\leq 1.$ Смена $T$ индуцирует гомоморфизм , также называемый $T$, на единичном интервале. С $T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),$ это можно легко увидеть $T(x)=2x{\bmod {1}}.$ Для дважды бесконечной последовательности битов $\Omega =2^{\mathbb {Z} },$ индуцированный гомоморфизм есть отображение Бейкера .

Тогда диадическая последовательность — это просто последовательность

$(x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )$

То есть, $x_{n}=T^{n}(x).$

Набор Кантора

Обратите внимание, что сумма

$y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}$

дает функцию Кантора в ее традиционном определении. Это одна из причин, почему набор $\{H,T\}^{\mathbb {N} }$ иногда называют множеством Кантора .

Скорость потери информации и чувствительная зависимость от начальных условий

Одной из отличительных черт хаотической динамики является потеря информации в процессе моделирования. Если мы начнем с информации о первых s битах начальной итерации, то после m смоделированных итераций ( m < s ) у нас останется только s − m бит информации. Таким образом, мы теряем информацию с экспоненциальной скоростью — один бит за итерацию. После s итераций наша симуляция достигла фиксированной нулевой точки, независимо от истинных значений итерации; таким образом, мы понесли полную потерю информации. Это иллюстрирует чувствительную зависимость от начальных условий — отображение усеченного начального условия экспоненциально отклонялось от отображения истинного начального условия. А поскольку наше моделирование достигло фиксированной точки, почти для всех начальных условий оно не будет качественно правильно описывать динамику как хаотическую.

Эквивалентом концепции потери информации является концепция получения информации. На практике некоторый реальный процесс может генерировать последовательность значений ( x _n ) с течением времени, но мы можем наблюдать эти значения только в усеченной форме. Предположим, например, что x ₀ = 0,1001101, но мы наблюдаем только усеченное значение 0,1001. Наш прогноз для x ₁ составляет 0,001. Если мы подождем, пока реальный процесс сгенерирует истинное значение x ₁ 0,001101, мы сможем наблюдать усеченное значение 0,0011, которое более точно, чем наше предсказанное значение 0,001. Вот мы и получили прирост информации в один бит.

Связь с картой палаток и логистической картой

Диадическое преобразование топологически полусопряжено единичной высоты палаточной карте . Напомним, что карта палатки единичной высоты имеет вид

$x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}$

Сопряжение явно задается формулой

$S(x)=\sin \pi x$

так что

$f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S$

То есть, $f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).$ Это стабильно при итерации, так как

$f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S$

Это также сопряжено с хаотичным случаем r = 4 логистической карты . Случай r = 4 логистической карты: $z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})$; это связано с картой битового сдвига в переменной x следующим образом:

$z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).$

Существует также полусопряженность между диадическим преобразованием (здесь называемым картой удвоения угла) и квадратичным полиномом . Здесь карта удваивает углы, измеренные в поворотах . То есть карта задается

$\theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .$

Периодичность и непериодичность

Из-за простоты динамики, когда итерации рассматриваются в двоичной записи, легко классифицировать динамику на основе начального условия:

Если начальное условие иррационально (как и почти все точки единичного интервала), то динамика непериодическая — это следует непосредственно из определения иррационального числа как числа с неповторяющимся двоичным разложением. Это хаотический случай.

Если x ₀ является рациональным, образ x ₀ содержит конечное число различных значений в пределах [0, 1), а прямая орбита x в ₀ конечном итоге является периодической с периодом, равным периоду двоичного разложения x ₀ . В частности, если начальное условие представляет собой рациональное число с конечным двоичным расширением из k бит, то после k итераций итерации достигают фиксированной точки 0; если начальное условие представляет собой рациональное число с k -битным переходным процессом ( k ≥ 0), за которым следует q -битная последовательность ( q > 1), которая повторяется бесконечно, то после k итераций итерации достигают цикла длины q . Таким образом, возможны циклы любой длины.

Например, передняя орбита 24 ноября:

${\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,$

который достиг цикла периода 2. Таким образом, внутри любого подинтервала [0, 1), каким бы маленьким он ни был, существует бесконечное количество точек, орбиты которых в конечном итоге являются периодическими, и бесконечное количество точек, орбиты которых никогда не являются периодическими. Эта чувствительная зависимость от начальных условий является характеристикой хаотических карт .

Периодичность посредством битовых сдвигов

Периодические и непериодические орбиты легче понять, не работая с картой. $T(x)=2x{\bmod {1}}$ напрямую, а скорее с битового сдвига картой $T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )$ определенный в канторовом пространстве $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$.

То есть гомоморфизм

$x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}$

По сути, это утверждение о том, что множество Кантора может быть отображено в действительные числа. Это сюръекция : каждое двоичное рациональное имеет не одно, а два различных представления в канторовом множестве. Например,

$0.1000000\dots =0.011111\dots$

Это всего лишь бинарная версия знаменитой проблемы 0,999... = 1 . В общем случае удвоенные представления верны: для любой заданной начальной последовательности конечной длины $b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}$ длины $k$, у одного есть

$b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots$

Начальная последовательность $b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}$ соответствует непериодической части орбиты, после которой итерация устанавливается до всех нулей (эквивалентно всем единицам).

Выраженные в виде битовых строк периодические орбиты карты можно рассматривать как рациональные числа. То есть после первоначальной «хаотичной» последовательности $b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}$, периодическая орбита превращается в повторяющуюся строку $b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}$ длины $m$. Нетрудно видеть, что такие повторяющиеся последовательности соответствуют рациональным числам. Письмо

$y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}$

тогда явно есть

$\sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}$

Учитывая исходную неповторяющуюся последовательность, мы явно имеем рациональное число. Фактически, каждое рациональное число можно выразить таким образом: начальная «случайная» последовательность, за которой следует циклическое повторение. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными числами.

Это явление заслуживает внимания, поскольку нечто подобное происходит во многих хаотических системах. Например, геодезические на компактных многообразиях могут иметь периодические орбиты, которые ведут себя таким образом.

Однако имейте в виду, что рациональные числа представляют собой набор нулевой меры в действительных числах. Почти все орбиты не являются периодическими! Апериодические орбиты соответствуют иррациональным числам. Это свойство справедливо и в более общей ситуации. Открытым остается вопрос, в какой степени поведение периодических орбит ограничивает поведение системы в целом. Такие явления, как диффузия Арнольда, позволяют предположить, что общий ответ — «не очень».

Определение плотности

Вместо того, чтобы рассматривать орбиты отдельных точек под действием карты, не менее полезно изучить, как карта влияет на плотности на единичном интервале. То есть представьте, что вы посыпаете пылью единичный интервал; в некоторых местах он плотнее, чем в других. Что происходит с этой плотностью при итерации?

Писать $\rho :[0,1]\to \mathbb {R}$ как эта плотность, так что $x\mapsto \rho (x)$. Чтобы получить действие $T$ на этой плотности нужно найти все точки $y=T^{-1}(x)$ и напиши

$\rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}$

Знаменатель в приведенном выше примере является определителем Якобиана преобразования, здесь это производная просто $T$ и так $T^{\prime }(y)=2$. Кроме того, очевидно, что в прообразе есть только две точки. $T^{-1}(x)$, это $y=x/2$ и $y=(x+1)/2.$ Собрав все это вместе, получаем

$\rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)$

Условно такие карты обозначаются ${\mathcal {L}}$ так что в этом случае напишите

$\left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)$

Карта ${\mathcal {L}}_{T}$ является линейным оператором , как легко видеть, что ${\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)$ и ${\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)$ для всех функций $f,g$ на единичном интервале, и все константы $a$.

Если рассматривать линейный оператор, то наиболее очевидный и актуальный вопрос: каков его спектр ? Одно собственное значение очевидно: если $\rho (x)=1$ для всех $x$ тогда, очевидно, есть ${\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho$ поэтому однородная плотность инвариантна относительно преобразования. Фактически это наибольшее собственное значение оператора ${\mathcal {L}}_{T}$, это собственное значение Фробениуса – Перрона . Однородная плотность, по сути, есть не что иное, как инвариантная мера диадического преобразования.

Чтобы изучить спектр ${\mathcal {L}}_{T}$ более подробно, нужно сначала ограничиться подходящим пространством функций (на единичном интервале) для работы. Это может быть пространство измеримых по Лебегу функций , или, возможно, пространство интегрируемых с квадратом функций, или, возможно, даже просто полиномов . Работать с любым из этих пространств на удивление сложно, хотя спектр получить можно.

Борелевское пространство

получится огромное количество упрощений. Если вместо этого работать с пространством Кантора, $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$и функции $\rho :\Omega \to \mathbb {R} .$ Рекомендуется проявлять некоторую осторожность, так как карта $T(x)=2x{\bmod {1}}$ определяется на единичном интервале прямой вещественных чисел , предполагая естественную топологию действительных чисел. Напротив, карта $T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )$ определяется в канторовом пространстве $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$, которому по соглашению присваивается совсем другая топология — топология продукта . Существует потенциальное столкновение топологий; необходимо соблюдать некоторую осторожность. Однако, как было показано выше, существует гомоморфизм канторового множества в действительные числа; к счастью, он отображает открытые множества в открытые множества и, таким образом, сохраняет понятие непрерывности .

Для работы с набором Кантора $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$, для него необходимо обеспечить топологию; по соглашению это топология продукта . Присоединив дополнения к множеству, его можно расширить до борелевского пространства , то есть до сигма-алгебры . Топология представляет собой набор цилиндров . Набор цилиндров имеет типовую форму.

$(*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )$

где $*$ являются произвольными битовыми значениями (не обязательно одинаковыми), а $b_{k},b_{m},\dots$ представляют собой конечное число конкретных битовых значений, разбросанных по бесконечной битовой строке. Это открытые множества топологии. Канонической мерой в этом пространстве является мера Бернулли для честного подбрасывания монеты. Если в строке произвольных позиций указан только один бит, мера равна 1/2. Если указаны два бита, размер равен 1/4 и так далее. Можно стать хитрее: учитывая реальное число $0<p<1$ можно определить меру

$\mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}$

если есть $n$ головы и $m$ хвосты в последовательности. Мера с $p=1/2$ предпочтительнее, так как сохраняется картой

$(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.$

Так, например, $(0,*,\cdots )$ отображает интервал $[0,1/2]$ и $(1,*,\dots )$ отображает интервал $[1/2,1]$ и оба этих интервала имеют меру 1/2. Сходным образом, $(*,0,*,\dots )$ отображает интервал $[0,1/4]\cup [1/2,3/4]$ которое по-прежнему имеет меру 1/2. То есть вложение выше сохраняет меру.

Альтернатива — написать

$(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]$

сохраняющее меру $\mu _{p}.$ То есть оно отображается так, что мера на единичном интервале снова является мерой Лебега.

Оператор Фробениуса–Перрона

Обозначим совокупность всех открытых множеств на канторовом множестве через ${\mathcal {B}}$ и рассмотрим набор ${\mathcal {F}}$ всех произвольных функций $f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .$ Смена $T$ вызывает толчок вперед

$f\circ T^{-1}$

определяется $\left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).$ Это опять какая-то функция ${\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .$ Таким образом, карта $T$ вызывает другую карту ${\mathcal {L}}_{T}$ на пространстве всех функций ${\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .$ То есть, учитывая некоторые $f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R}$, один определяет

${\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}$

Этот линейный оператор называется оператором переноса или оператором Рюэля–Фробениуса–Перрона . Наибольшее собственное значение — это собственное значение Фробениуса–Перрона , и в данном случае оно равно 1. Соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой: в данном случае это мера Бернулли . Снова, ${\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho$ когда $\rho (x)=1.$

Спектр

Чтобы получить спектр ${\mathcal {L}}_{T}$, необходимо предоставить подходящий набор базисных функций для пространства ${\mathcal {F}}.$ Одним из таких вариантов является ограничение ${\mathcal {F}}$ множеству всех полиномов. В этом случае оператор имеет дискретный спектр , а собственными функциями являются (что любопытно) полиномы Бернулли ! (Это совпадение названий, по-видимому, не было известно Бернулли.)

Действительно, можно легко убедиться, что

${\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}$

где $B_{n}$ являются полиномами Бернулли . Это следует из того, что полиномы Бернулли подчиняются тождеству

${\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)$

Обратите внимание, что $B_{0}(x)=1.$

Другая основа обеспечивается базисом Хаара , а функции, охватывающие пространство, — это вейвлеты Хаара . В этом случае находится непрерывный спектр , состоящий из единичного круга на комплексной плоскости . Данный $z\in \mathbb {C}$ на единичном диске, так что $|z|<1$, функции

$\psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x$

подчиняться

${\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}$

для $k\in \mathbb {Z} .$ Это полная основа, поскольку каждое целое число можно записать в виде $(2k+1)2^{n}.$ Полиномы Бернулли восстанавливаются установкой $k=0$ и $z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots$

Полную основу можно дать и другими способами; их можно записать в терминах дзета-функции Гурвица . Еще одну полную основу обеспечивает функция Такаги . Это фрактальная функция, дифференцируемая в никуда . Собственные функции имеют явно вид

${\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)$

где $s(x)$ это треугольная волна . У одного снова есть

${\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.$

Все эти различные основы могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. В этом смысле они эквивалентны.

Фрактальные собственные функции демонстрируют явную симметрию относительно фрактального группоида модулярной группы ; Более подробно это развито в статье о функции Такаги (кривая бланманже). Возможно, это не сюрприз; множество Кантора имеет точно такой же набор симметрий (как и цепные дроби ). Затем это элегантно ведет к теории эллиптических уравнений и модулярных форм .

Связь с моделью Изинга

Гамильтониан одномерной Изинга с нулевым полем модели $2N$ спины с периодическими граничными условиями можно записать как

$H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.$

Сдача в аренду $C$ быть подходящей константой нормализации и $\beta$ — обратная температура системы, статистическая сумма для этой модели имеет вид

$Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.$

Мы можем реализовать ренормгруппу, интегрируя все остальные спины. При этом обнаруживается, что $Z$ также можно приравнять к функции раздела для меньшей системы, но $N$ вращается,

$Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},$

при условии, что мы заменим $C$ и $\beta g$ с перенормированными значениями ${\mathcal {R}}[C]$ и ${\mathcal {R}}[\beta g]$ удовлетворяющие уравнениям

${\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},$

$e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).$

Предположим теперь, что мы позволяем $\beta g$ быть сложным и что $\operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n$ для некоторых $n\in \mathbb {Z}$. В этом случае мы можем ввести параметр $t\in [0,1)$ связанный с $\beta g$ через уравнение

$e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},$

и полученное преобразование ренормгруппы для $t$ будет именно диадическая карта:

${\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.$

См. также

• Процесс Бернулли
• Схема Бернулли
• Модель Гилберта – Шеннона – Ридса , случайное распределение перестановок, заданное путем применения карты удвоения к набору из n равномерно случайных точек на единичном интервале.

Ссылки

• Дин Дж. Дрибе, Полностью хаотические карты и нарушенная симметрия времени , (1999) Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды ISBN   0-7923-5564-4
• Линас Вепстас, Карта Бернулли, оператор Гаусса-Кузмина-Вирсинга и дзета Римана , (2004)