Гиперциклический оператор

В математике , особенно в функциональном анализе , гиперциклический оператор в топологическом векторном пространстве X — это непрерывный линейный оператор T : X → X такой, что существует вектор x ∈ X, для которого выполняется последовательность { T ^н x : n = 0, 1, 2, …} плотно во всем пространстве X . Другими словами, наименьшее замкнутое инвариантное подмножество, содержащее x, — это все пространство. Такой x тогда называется гиперциклическим вектором . пространствах нет гиперциклического оператора В конечномерных , но свойство гиперцикличности в пространствах бесконечной размерности не является редким явлением: многие операторы гиперцикличны.

Гиперцикличность — это частный случай более широких понятий топологической транзитивности (см. топологическое смешивание ) и универсальности . Универсальность в целом включает в себя набор отображений одного топологического пространства в другое (вместо последовательности степеней одного оператора, отображающего из X в X ), но имеет значение, аналогичное гиперцикличности. Примеры универсальных объектов были открыты уже в 1914 году Юлиусом Палом, в 1935 году Юзефом Марцинкевичем или Маклейном в 1952 году. Однако только в 1980-х годах гиперциклические операторы начали изучаться более интенсивно.

Примеры

Примером гиперциклического оператора является двукратный оператор обратного сдвига на ℓ ² пространство последовательности , то есть оператор, который принимает последовательность

( а ₁ , а ₂ , а ₃ , …) ∈ ℓ ²

в последовательность

(2 а ₂ , 2 а ₃ , 2 а ₄ , …) ∈ ℓ ².

Это было доказано в 1969 году Ролевичем.

Известные результаты

В каждом бесконечномерном сепарабельном пространстве Фреше существует гиперциклический оператор. С другой стороны, не существует гиперциклического оператора ни в конечномерном пространстве, ни в несепарабельном пространстве.
Если x — гиперциклический вектор, то T ^нx также является гиперциклическим, поэтому всегда существует плотный набор гиперциклических векторов.
Более того, набор гиперциклических векторов является связным множеством G _δ , когда X является метризуемым пространством , и всегда содержит плотное векторное пространство с точностью до {0}.
Чарльз Рид ( 1988 ) построил оператор на ℓ ¹, такой, что все ненулевые векторы являются гиперциклическими, что дает контрпример к проблеме инвариантного подпространства (и даже проблеме инвариантного подмножества ) в классе банаховых пространств. Проблема, существует ли такой оператор (иногда называемый гипертранзитивным или орбитально-транзитивным ) в сепарабельном гильбертовом пространстве, все еще остается открытой (по состоянию на 2022 год).

Ссылки

Баяр, Фредерик; Матерон, Этьен (2009), Динамика линейных операторов , Кембриджские трактаты по математике, том. 179, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-51496-5 , МР 2533318
Бозами, Бернар (1988), Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 42, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-70521-1 , МР 0967989
Рид, CJ (1988), «Проблема инвариантного подпространства для класса банаховых пространств, 2: гиперциклические операторы», Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1–40, doi : 10.1007/BF02765019 , ISSN 0021-2172 , МР 0959046 , S2CID 123651876
Гросс-Эрдманн, Карл-Госвин (1999), «Универсальные семейства и гиперциклические операторы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 36 (3): 345–381, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00788- 0 , ISSN 1088-9485 , МР 1685272
Гросс-Эрдманн, Карл-Госвин; Перис Мангийо, Альфред (2011), Линейный хаос , Universitext, Лондон: Springer, doi : 10.1007/978-1-4471-2170-1 , ISBN 978-1-4471-2169-5 , МР 2919812

См. также

Топологическое смешивание