Функция фигового дерева

При изучении динамических систем термин функция Фейгенбаума использовался для описания двух разных функций, введенных физиком Митчеллом Фейгенбаумом :

• решение функционального уравнения Фейгенбаума-Цвитановича; и
• масштабирующая функция, описывающая покрытия аттрактора логистической карты

Идея

Удвоение периода — путь к хаосу

На логистической карте

$x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),$ ( 1 )

у нас есть функция $f_{r}(x)=rx(1-x)$, и мы хотим изучить, что происходит, когда мы повторяем карту много раз. Карта может попасть в фиксированную точку, фиксированный цикл или хаос. Когда карта попадает в стабильный фиксированный цикл длины $n$, мы обнаружим, что график $f_{r}^{n}$ и график $x\mapsto x$ пересекается в $n$ точек, а наклон графика $f_{r}^{n}$ ограничен $(-1,+1)$ на этих перекрестках.

Например, когда $r=3.0$, у нас есть единственное пересечение с наклоном, ограниченным $(-1,+1)$, что указывает на то, что это стабильная одиночная фиксированная точка.

Как $r$ увеличивается до предела $r=3.0$, точка пересечения разделяется на две, что означает удвоение периода. Например, когда $r=3.4$, имеется три точки пересечения: средняя нестабильна, а две другие стабильны.

Как $r$ подходы $r=3.45$, аналогично происходит еще одно удвоение периода. Удвоения периода происходят все чаще и чаще, пока в определенном $r\approx 3.56994567$, удвоения периода становятся бесконечными, а карта становится хаотичной. Это путь удвоения периода к хаосу .

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=2.7$. Перед периодом удвоения происходит бифуркация. Орбита сходится к неподвижной точке $x_{f2}$.

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=3$. Наклон касательной в фиксированной точке $x_{f2}$. равно 1, и происходит бифуркация удвоения периода.

Отношения между $x_{n+2}$ и $x_{n}$ когда $a=3.3$. Фиксированная точка $x_{f2}$ становится неустойчивым, распадаясь на устойчивый цикл периодического 2.

Когда $r=3.0$, у нас есть единственное пересечение с наклоном ровно $+1$, что указывает на то, что он вот-вот подвергнется периоду удвоения.

Когда $r=3.4$, имеется три точки пересечения: средняя нестабильна, а две другие стабильны.

Когда $r=3.45$, имеется три точки пересечения, средняя из которых неустойчива, а две другие имеют точный наклон $+1$, что указывает на то, что он вот-вот подвергнется еще одному периоду удвоения.

Когда $r\approx 3.56994567$, существует бесконечно много пересечений, и мы пришли к хаосу по пути удвоения периода .

Предел масштабирования

Подход к пределу масштабирования как $r$ подходы $r^{*}=3.5699\cdots$ снизу.

В момент хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку мы повторяем удвоения периода $f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots$, графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сжались к середине и повернуты на 180 градусов, сходясь во фрактал.

Глядя на изображения, можно заметить, что в точке хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, кривая $f_{r^{*}}^{\infty }$ похоже на фрактал. Кроме того, поскольку мы повторяем удвоения периода $f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots$, графики кажутся похожими друг на друга, за исключением того, что они сморщены к середине и повернуты на 180 градусов.

Это подсказывает нам предел масштабирования: если мы неоднократно удваиваем функцию, то увеличиваем ее на $\alpha$ для определенной константы $\alpha$: $$f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))$$тогда в пределе мы получим функцию $g$ это удовлетворяет $g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))$. Кроме того, по мере того, как интервалы удвоения периода становятся все короче и короче, отношение между двумя интервалами удвоения периода сходится к пределу, первая константа Фейгенбаума $\delta =4.6692016\cdots$.

Продолжительность: 3 секунды. 0:03

За неправильные значения масштабного коэффициента $\alpha$, отображение не сходится к пределу, но когда $\alpha =2.5029\dots$, оно сходится.

В момент хаоса $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку мы повторяем итерацию функционального уравнения $f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))$ с $\alpha =2.5029\dots$, мы обнаруживаем, что отображение сходится к пределу.

Константа $\alpha$ можно найти численно, перепробовав множество возможных значений. При неправильных значениях карта не сходится к пределу, но при $\alpha =2.5029\dots$, оно сходится. Это вторая константа Фейгенбаума.

Хаотический режим

В хаотическом режиме $f_{r}^{\infty }$, предел итераций карты, становится хаотичными темными полосами, перемежающимися нехаотичными яркими полосами.

В хаотическом режиме $f_{r}^{\infty }$, предел итераций карты, становится хаотичными темными полосами, перемежающимися нехаотичными яркими полосами.

Другие ограничения масштабирования

Когда $r$ подходы $r\approx 3.8494344$, у нас есть другой подход к хаосу, основанный на удвоении периода, но на этот раз с периодами 3, 6, 12, ... Здесь снова те же константы Фейгенбаума. $\delta ,\alpha$. Предел ${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$ это тоже та же функция. Это пример универсальности .

Продолжительность: 12 секунд. 0:12

Логистическая карта приближается к пределу масштабирования хаоса, удвояющего период $r^{*}=3.84943\dots$ снизу. В пределе это имеет ту же форму, что и форма $r^{*}=3.5699\cdots$, поскольку все пути удвоения периода к хаосу одинаковы (универсальность).

Мы также можем рассмотреть путь к хаосу с утроением периода, выбрав последовательность $r_{1},r_{2},\dots$ такой, что $r_{n}$ является самым низким значением за период. $3^{n}$ окно бифуркационной диаграммы. Например, у нас есть $r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots$, с пределом $r_{\infty }=3.854077963\dots$. Здесь другая пара констант Фейгенбаума. $\delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots$. И $f_{r}^{\infty }$сходится к фиксированной точке $$f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))$$В качестве другого примера, период-4-pling имеет пару констант Фейгенбаума, отличных от констант удвоения периода, даже несмотря на то, что период-4-pling достигается двумя удвоениями периода. Подробно определите $r_{1},r_{2},\dots$ такой, что $r_{n}$ является самым низким значением за период. $4^{n}$ окно бифуркационной диаграммы. Тогда у нас есть $r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots$, с пределом $r_{\infty }=3.96155658717\dots$. Здесь другая пара констант Фейгенбаума. $\delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots$.

В общем, каждый путь к хаосу, умножающий период, имеет свою собственную пару констант Фейгенбаума. На самом деле их обычно больше одного. Например, для периода 7-pling существует как минимум 9 различных пар констант Фейгенбаума.

В целом, ${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$, и соотношение становится точным, когда оба числа увеличиваются до бесконечности: $\lim \delta /\alpha ^{2}=2/3$.

Функциональное уравнение Фейгенбаума-Цвитановича

Это функциональное уравнение возникает при исследовании одномерных отображений, которые в зависимости от параметра проходят каскад удвоения периода. Открыт Митчеллом Фейгенбаумом и Предрагом Цвитановичем . уравнение является математическим выражением универсальности удвоения периода. Он задает функцию g и параметр α соотношением

$g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))$

с начальными условиями $${\begin{cases}g(0)=1,\\g'(0)=0,\\g''(0)<0.\end{cases}}$$Для частного вида решения с квадратичной зависимостью решениявблизи x = 0, α = 2,5029... является одной из констант Фейгенбаума .

Степенной ряд $g$ примерно $$g(x)=1-1.52763x^{2}+0.104815x^{4}+0.026705x^{6}+O(x^{8})$$

Перенормировка

Функция Фейгенбаума может быть получена с помощью аргумента перенормировки .

Функция Фейгенбаума удовлетворяет $$g(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{F^{\left(2^{n}\right)}(0)}}F^{\left(2^{n}\right)}\left(xF^{\left(2^{n}\right)}(0)\right)$$для любой карты на реальной линии $F$ в начале хаоса.

Функция масштабирования

Масштабирующая функция Фейгенбаума обеспечивает полное описание аттрактора логистической карты в конце каскада удвоения периода. Аттрактор представляет собой канторово множество , и, как и канторово множество средней трети, его можно покрыть конечным набором сегментов, каждый из которых больше минимального размера d _n . При фиксированном d _n множество отрезков образует покрытие ∆ _n аттрактора. Отношение сегментов двух последовательных обложек Δ _n и Δ _n+1 можно расположить так, чтобы аппроксимировать функцию σ , масштабирующую функцию Фейгенбаума.

См. также

• Логистическая карта
• Функция презентации

Библиография

• Фейгенбаум, М. (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Бибкод : 1978JSP....19...25F . CiteSeerX   10.1.1.418.9339 . дои : 10.1007/BF01020332 . МР   0501179 . S2CID   124498882 .
• Фейгенбаум, М. (1979). «Универсальные метрические свойства нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 21 (6): 669–706. Бибкод : 1979JSP....21..669F . CiteSeerX   10.1.1.418.7733 . дои : 10.1007/BF01107909 . МР   0555919 . S2CID   17956295 .
• Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1980). «Переход к апериодическому поведению в турбулентных системах» . Связь в математической физике . 77 (1): 65–86. Бибкод : 1980CMaPh..77...65F . дои : 10.1007/BF01205039 . S2CID   18314876 .
• Эпштейн, Х.; Ласку, Дж. (1981). «Аналитические свойства функции Фейгенбаума» . Коммун. Математика. Физ . 81 (3): 437–453. Бибкод : 1981CMaPh..81..437E . дои : 10.1007/BF01209078 . S2CID   119924349 .
• Фейгенбаум, Митчелл Дж. (1983). «Универсальное поведение в нелинейных системах». Физика . 7Д (1–3): 16–39. Бибкод : 1983PhyD....7...16F . дои : 10.1016/0167-2789(83)90112-4 . Связанные как порядок в хаосе, материалы Международной конференции по порядку и хаосу, состоявшейся в Центре нелинейных исследований, Лос-Аламос, Нью-Мексико, 87545, США, 24–28 мая 1982 г. , под ред. Дэвид Кэмпбелл, Харви Роуз; Северная Голландия Амстердам ISBN   0-444-86727-9 .
• Лэнфорд III, Оскар Э. (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 6 (3): 427–434. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . МР   0648529 .
• Кампанино, М.; Эпштейн, Х.; Рюэль, Д. (1982). «О функциональном уравнении Фейгенбаума $g\circ g(\lambda x)+\lambda g(x)=0$". Топология . 21 (2): 125–129. doi : 10.1016/0040-9383(82)90001-5 . МР   0641996 .
• Лэнфорд III, Оскар Э. (1984). «Более короткое доказательство существования неподвижной точки Фейгенбаума». Коммун. Математика. Физ . 96 (4): 521–538. Бибкод : 1984CMaPh..96..521L . CiteSeerX   10.1.1.434.1465 . дои : 10.1007/BF01212533 . S2CID   121613330 .
• Эпштейн, Х. (1986). «Новые доказательства существования функций Фейгенбаума» (PDF) . Коммун. Математика. Физ . 106 (3): 395–426. Бибкод : 1986CMaPh.106..395E . дои : 10.1007/BF01207254 . S2CID   119901937 .
• Экманн, Жан-Пьер ; Виттвер, Питер (1987). «Полное доказательство гипотезы Фейгенбаума». Дж. Стат. Физ . 46 (3/4): 455. Бибкод : 1987JSP....46..455E . дои : 10.1007/BF01013368 . МР   0883539 . S2CID   121353606 .
• Стивенсон, Джон; Ван, Юн (1991). «Связи между решениями уравнения Фейгенбаума» . Прил. Математика. Летт . 4 (3): 37–39. дои : 10.1016/0893-9659(91)90031-П . МР   1101871 .
• Стивенсон, Джон; Ван, Юн (1991). «Связи между собственными функциями, связанными с решениями уравнения Фейгенбаума» . Прил. Математика. Летт . 4 (3): 53–56. дои : 10.1016/0893-9659(91)90035-T . МР   1101875 .
• Бриггс, Кейт (1991). «Точный расчет констант Фейгенбаума» . Математика. Комп . 57 (195): 435–439. Бибкод : 1991MaCom..57..435B . дои : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 . МР   1079009 .
• Цыгвинцев Алексей Владимирович; Местел, Бен Д.; Обалдестин, Эндрю Х. (2002). «Цепные дроби и решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича» . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 334 (8): 683–688. дои : 10.1016/S1631-073X(02)02330-0 .
• Матар, Ричард Дж. (2010). «Представление функции удвоения периода Фейгенбаума в ряд Чебышева». arXiv : 1008.4608 [ math.DS ].
• Варин, вице-президент (2011). «Спектральные свойства оператора удвоения периода» . Препринт ИПМ . 9 . arXiv : 1202.4672 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Фейгенбаума» . Математический мир .