Список преобразований Лапласа

Ниже приводится список преобразований Лапласа для многих распространенных функций одной переменной. ^[1] — Преобразование Лапласа это интегральное преобразование , которое преобразует функцию положительной действительной переменной $t$ (часто времени) в функцию комплексной переменной $s$ (комплексной угловой частоты ).

Характеристики

Преобразование Лапласа функции $f(t)$ можно получить, используя формальное определение преобразования Лапласа. Однако некоторые свойства преобразования Лапласа можно использовать для более простого получения преобразования Лапласа некоторых функций.

Линейность

Для функций $f$ и $g$ и для скаляра $a$ , преобразование Лапласа удовлетворяет

{\mathcal {L}}\{af(t)+bg(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}+b{\mathcal {L}}\{g(t)\}

и поэтому рассматривается как линейный оператор.

Сдвиг времени

Преобразование Лапласа $f(t-a)u(t-a)$ является $e^{-as}F(s)$ .

Сдвиг частоты

$F(s-a)$ — преобразование Лапласа $e^{at}f(t)$ .

Пояснительные примечания

Одностороннее преобразование Лапласа принимает в качестве входных данных функцию, временная область которой является неотрицательными действительными числами, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны ступенчатой функции Хевисайда , $u (t)$ .

Записи таблицы, включающие задержку $τ,$ должны быть причинно-следственными (это означает, что $τ > 0$ ). Причинная система — это система, в которой импульсный отклик $h (t)$ равен нулю в течение всего времени $t$ до момента $t = 0$ . В общем, область конвергенции каузальных систем не такая же, как у антикаузальных систем .

В таблице ниже используются следующие функции и переменные:

$δ$ представляет собой дельта-функцию Дирака .
$u (t)$ представляет ступенчатую функцию Хевисайда . В литературе это может обозначаться другими обозначениями, в том числе $1(t)$ или $H(t)$ .
$Γ(z)$ представляет гамма-функцию .
$γ$ — постоянная Эйлера–Машерони .
$т$ — действительное число . Обычно он представляет время , хотя может представлять любое независимое измерение.
$s$ — параметр комплексной частотной области, а $Re(s)$ — его действительная часть .
$n$ — целое число .
$α, τ и ω$ — действительные числа.
$q$ — комплексное число.

Стол

Функция	Временной интервал $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$	Лапласа $-домен$ $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$	Область конвергенции	Ссылка
единичный импульс	$\delta (t)$	$1$	все $с$	инспекция
задержанный импульс	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$	$Re(s) > 0$	сдвиг во времени единичный импульс ^[2]
единичный шаг	$u(t)$	${1 \over s}$	$Re(s) > 0$	интегрировать единичный импульс
задержанный единичный шаг	$u(t-\tau )$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	$Re(s) > 0$	сдвиг во времени единичный шаг ^[3]
рампа	$t\cdot u(t)$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$Re(s) > 0$	интегрировать блок импульс дважды
$n-$ ная степень (для целого числа $n$ )	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	$Re(s) > 0$ ( $п > -1$ )	Интегрированный блок шаг $n$ раз
$q$ -я степень (для комплексного $q$ )	$t^{q}\cdot u(t)$	${\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}$	$Re(s) > 0$ $Re(q) > -1$	^[4]^[5]
$n-$ й корень	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	$Re(s) > 0$	Установите $q = 1/ n$ выше.
$n-$ я степень со сдвигом частоты	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$Re(s) > - а$	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты
с задержкой $в n-$ й степени со сдвигом частоты	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$Re(s) > - а$	Интегрировать единичный шаг, применить частотный сдвиг, применить сдвиг времени
экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t}u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	$Re(s) > - а$	Сдвиг частоты единичный шаг
двусторонний экспоненциальный распад (только для двустороннего преобразования)	$e^{-\alpha \|t\|}$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	$- α < Re(s) < α$	Сдвиг частоты единичный шаг
экспоненциальный подход	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$Re(s) > 0$	Единичный шаг минус экспоненциальное затухание
их	$\sin(\omega t)\cdot u(t)$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$Re(s) > 0$	^[6]
косинус	$\cos(\omega t)\cdot u(t)$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$Re(s) > 0$	^[6]
гиперболический синус	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$Re(s) > \| а \|$	^[7]
гиперболический косинус	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$Re(s) > \| а \|$	^[7]
экспоненциально затухающий синусоидальная волна	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$Re(s) > - а$	^[6]
экспоненциально затухающий косинусоидальная волна	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$Re(s) > - а$	^[6]
натуральный логарифм	$\ln(t)\cdot u(t)$	${\frac {-\ln(s)-\gamma }{s}}$	$Re(s) > 0$	^[7]
Функция Бесселя первого рода, порядка n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	$Re(s) > 0$ ( $п > -1$ )	^[7]
Функция ошибки	$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {e^{s^{2}/4}}{s}}\!\left(1-\operatorname {erf} \left({\frac {s}{2}}\right)\right)$	$Re(s) > 0$	^[7]

См. также

Список преобразований Фурье

Ссылки

^ Дистефано, Джей Джей; Стубберуд, Арканзас; Уильямс, И.Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерки Шаума (2-е изд.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN 978-0-07-017052-0
^ Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, С.Дж. (2010), Математические методы в физике и технике (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
^ Липшуц, С.; Шпигель, MR; Лю, Дж. (2009), «Глава 33: Преобразования Лапласа», Математический справочник формул и таблиц , Серия схем Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, стр. 192, ИСБН 978-0-07-154855-7
^ Липшуц, С.; Шпигель, MR; Лю, Дж. (2009), «Глава 33: Преобразования Лапласа», Математический справочник формул и таблиц , Серия схем Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, стр. 183, ISBN 978-0-07-154855-7
^ «Преобразование Лапласа» . Вольфрам Математический мир . Проверено 30 апреля 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, стр. 227, ISBN 978-0-07-007013-4
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, с. 88, ISBN 978-0-04-512021-5

[1] Дистефано, Джей Джей; Стубберуд, Арканзас; Уильямс, И.Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерки Шаума (2-е изд.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN 978-0-07-017052-0

[riley-2] Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, С.Дж. (2010), Математические методы в физике и технике (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3

[3] Липшуц, С.; Шпигель, MR; Лю, Дж. (2009), «Глава 33: Преобразования Лапласа», Математический справочник формул и таблиц , Серия схем Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, стр. 192, ИСБН 978-0-07-154855-7

[4] Липшуц, С.; Шпигель, MR; Лю, Дж. (2009), «Глава 33: Преобразования Лапласа», Математический справочник формул и таблиц , Серия схем Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, стр. 183, ISBN 978-0-07-154855-7

[5] «Преобразование Лапласа» . Вольфрам Математический мир . Проверено 30 апреля 2016 г.

[bracewell-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, стр. 227, ISBN 978-0-07-007013-4

[williams-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, с. 88, ISBN 978-0-04-512021-5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]