Интегральное правило Лейбница

Эта статья о интегральном правиле. Информацию о тесте сходимости для чередующихся рядов см. в разделе « Тест чередующихся рядов» .

В исчислении для интегральное правило Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , гласит, что для интеграла вида $$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$$где $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ а подынтегральные выражения являются функциями, зависящими от $x,$ производная этого интеграла выражается как $${\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}$$где частная производная ${\tfrac {\partial }{\partial x}}$ указывает на то, что внутри интеграла учитывается только изменение $f(x,t)$ с $x$ учитывается при взятии производной.

В частном случае, когда функции $a(x)$ и $b(x)$ константы $a(x)=a$ и $b(x)=b$ со значениями, которые не зависят от $x,$ это упрощается до: $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

Если $a(x)=a$ является постоянным и $b(x)=x$, что является еще одной распространенной ситуацией (например, при доказательстве формулы повторного интегрирования Коши ), интегральное правило Лейбница принимает вид: $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$$

Этот важный результат при определенных условиях может быть использован для замены интегральных операторов и операторов в частных производных и особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований . Примером такой функции является производящая момент функция в теории вероятностей , вариация преобразования Лапласа , которую можно дифференцировать для генерации моментов величины случайной . Применимо ли интегральное правило Лейбница, по существу, является вопросом об обмене пределами .

Общий вид: дифференцирование под знаком интеграла.

Теорема — Пусть $f(x,t)$ быть такой функцией, что обе $f(x,t)$ и его частная производная $f_{x}(x,t)$ непрерывны в $t$ и $x$ в каком-то регионе $xt$-самолет, в том числе $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}.$ Предположим также, что функции $a(x)$ и $b(x)$ оба непрерывны и оба имеют непрерывные производные для $x_{0}\leq x\leq x_{1}.$ Тогда для $x_{0}\leq x\leq x_{1},$$${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$$

Правую часть также можно записать, используя обозначения Лагранжа, как: ${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Более сильные версии теоремы требуют только того, чтобы частная производная существовала почти всюду , а не чтобы она была непрерывной. Эта формула представляет собой общую форму интегрального правила Лейбница и может быть получена с использованием фундаментальной теоремы исчисления . (Первая) фундаментальная теорема исчисления — это частный случай приведенной выше формулы, где $a(x)=a\in \mathbb {R}$ является постоянным, $b(x)=x,$ и $f(x,t)=f(t)$ не зависит от $x.$

Если и верхний, и нижний пределы принять за константы, то формула принимает вид операторного уравнения: $${\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}$$где $\partial _{x}$ является частной производной по $x$ и ${\mathcal {I}}_{t}$ – интегральный оператор относительно $t$ в течение фиксированного интервала . То есть это связано с симметрией вторых производных , но включает в себя не только производные, но и интегралы. Этот случай также известен как правило интеграла Лейбница.

Следующие три основные теоремы о замене пределов по существу эквивалентны:

• замена производной и интеграла (дифференцирование под знаком интеграла, т. е. правило интеграла Лейбница);
• изменение порядка частных производных;
• изменение порядка интегрирования (интегрирование под знаком интеграла, т. е. теорема Фубини ).

Трехмерный случай, зависящий от времени

См. также: § Высшие измерения.

Рисунок 1: Векторное поле F ( r , t ), определенное во всем пространстве, и поверхность Σ, ограниченная кривой ∂Σ, движущейся со скоростью v , по которой поле интегрируется.

Интегральное правило Лейбница для двумерной поверхности , движущейся в трехмерном пространстве, имеет вид

$${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$$

где:

• F ( r , t ) — векторное поле в пространственной позиции r в момент времени t ,
• Σ — поверхность, ограниченная замкнутой кривой ∂Σ ,
• d A — векторный элемент поверхности Σ ,
• d s – векторный элемент кривой ∂Σ ,
• v — скорость движения области Σ ,
• ∇⋅ — векторная дивергенция ,
• × — векторное векторное произведение ,
• Двойные интегралы — это поверхностные интегралы по поверхности Σ , а линейный интеграл — по ограничивающей кривой ∂Σ .

Высшие измерения

Интегральное правило Лейбница можно распространить на многомерные интегралы. В двух и трех измерениях это правило более известно из области гидродинамики как транспортная теорема Рейнольдса : $${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$$

где $F(\mathbf {x} ,t)$ — скалярная функция, D ( t ) и ∂ D ( t ) обозначают изменяющуюся во времени связную область R ³ и его граница соответственно $\mathbf {v} _{b}$ — эйлерова скорость границы (см. лагранжевы и эйлеровы координаты ), а d Σ = n dS — единичная нормальная компонента поверхностного элемента .

Общая формулировка интегрального правила Лейбница требует понятий дифференциальной геометрии , в частности, дифференциальных форм , внешних производных , клиновых произведений и внутренних произведений . С помощью этих инструментов правило интеграла Лейбница в n измерениях имеет вид $${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},$$где Ω( t ) — изменяющаяся во времени область интегрирования, ω — p -форма, $\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}$ – векторное поле скорости, $i_{\mathbf {v} }$ обозначает интерьерное изделие с $\mathbf {v}$, d _x ω — внешняя производная ω и только по пространственным переменным ${\dot {\omega }}$ — производная по времени от ω .

Если мы перейдем в пространство-время $M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}$ мы можем ввести поле скоростей пространства-времени $\Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v}$ поверхности $\Omega (t)$ и внешняя производная пространства-времени $d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega$, так что тождество можно переписать как общее утверждение о производных Ли : $${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega .$$Здесь дифференциальная форма $\omega$ имеет только пространственные компоненты.Действительно, по волшебной формуле Картана производная Ли упрощается до $${\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}$$который после интегрирования по $\Omega (t)$ и используя обобщенную теорему Стокса о втором члене, соответствуют трем слагаемым в приведенной выше формуле.

Утверждение теории меры

Позволять $X$ быть открытым подмножеством $\mathbf {R}$, и $\Omega$ быть мерой пространства . Предполагать $f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $f(x,\omega )$ является интегрируемой по Лебегу функцией $\omega$ для каждого $x\in X$.
2. Почти для всех $\omega \in \Omega$ , частная производная $f_{x}$ существует для всех $x\in X$.
3. Существует интегрируемая функция $\theta \colon \Omega \to \mathbf {R}$ такой, что $|f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )$ для всех $x\in X$ и почти каждый $\omega \in \Omega$.

Тогда для всех $x\in X$, $${\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .$$

Доказательство основано на теореме о доминируемой сходимости и теореме о среднем значении (подробности ниже).

Доказательства

Доказательство базовой формы

Сначала мы докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b .

Мы используем теорему Фубини, чтобы изменить порядок интегрирования. Для каждых x и h , таких, что h > 0 и оба x и x + h находятся в пределах [ x ₀ , x ₁ ] , мы имеем: $$\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы корректно определены, поскольку $f_{x}(x,t)$ непрерывен в замкнутом прямоугольнике $[x_{0},x_{1}]\times [a,b]$ и, следовательно, там также равномерно непрерывен; таким образом, его интегралы по dt или dx непрерывны по другой переменной, а также интегрируются по ней (по сути, это связано с тем, что для равномерно непрерывных функций можно пройти предел через знак интегрирования, как подробно описано ниже).

Поэтому: $${\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}$$

Где мы определили: $$F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx$$(здесь мы можем заменить x ₀ на любую другую точку между x ₀ и x )

F дифференцируема с производной ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$, поэтому мы можем принять предел, при котором h приближается к нулю. Для левой стороны этот предел составляет: $${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$$

Для правой части получим: $$F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$И таким образом мы доказываем желаемый результат: $${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt$$

Другое доказательство с использованием теоремы ограниченной сходимости.

Если рассматриваемые интегралы являются интегралами Лебега , мы можем использовать теорему ограниченной сходимости (справедливую для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать, что предел можно пройти через знак интеграла.

Обратите внимание, что это доказательство более слабое в том смысле, что оно показывает только то, что f _x ( x , t ) интегрируемо по Лебегу, но не то, что оно интегрируемо по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f ( x , t ) интегрируема по Риману, то и f _x ( x , t ) также интегрируема (и, следовательно, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Позволять

$$u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.$$ ( 1 )

По определению производной

$$u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.$$ ( 2 )

Подставьте уравнение ( 1 ) в уравнение ( 2 ). Разница двух интегралов равна интегралу разности, а 1/ h является константой, поэтому $${\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}$$

Теперь мы покажем, что предел можно пройти через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход предела под знаком интеграла справедлив по теореме об ограниченной сходимости (следствию теоремы о доминируемой сходимости ). Для каждого δ > 0 рассмотрим разностный коэффициент $$f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.$$При t фиксированном теорема о среднем значении подразумевает, что существует z в интервале [ x , x + δ ] такой, что $$f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).$$Непрерывность f _x ( x , t ) и компактность области вместе означают, что f _x ( x , t ) ограничено. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем значении дает равномерное (независимое от $t$) связанный $f_{\delta }(x,t)$. Разностные коэффициенты сходятся поточечно к частной производной f _x в предположении, что частная производная существует.

Приведенные выше рассуждения показывают, что для каждой последовательности { δ _n } → 0 последовательность $\{f_{\delta _{n}}(x,t)\}$ равномерно ограничен и поточечно сходится к f _x . Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций на множестве конечной меры равномерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом справедлив. В частности, предел и интеграл можно поменять местами для каждой последовательности { δ _n } → 0. Следовательно, предел при δ → 0 можно передать через знак интеграла.

Форма переменных лимитов

Для непрерывной действительнозначной функции g одной действительной переменной и вещественнозначных дифференцируемых функций $f_{1}$ и $f_{2}$ одной действительной переменной, $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$$

Это следует из правила цепочки и Первой фундаментальной теоремы исчисления . Определять $$G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,$$и $$\Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.$$(Нижний предел просто должен быть некоторым числом в области $g$)

Затем, $G(x)$ можно записать в виде композиции : $G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)$. Тогда правило цепочки подразумевает, что $$G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).$$Согласно Первой фундаментальной теореме исчисления , $\Gamma '(x)=g(x)$. Следовательно, подставив этот результат выше, получим искомое уравнение: $$G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.$$

Примечание. Эта форма может быть особенно полезна, если дифференцируемое выражение имеет форму: $$\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt$$Потому что $h(x)$ не зависит от пределов интегрирования, его можно вывести из-под знака интеграла, а приведенную выше форму можно использовать с правилом произведения , т.е. $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)$$

Общая форма с переменными пределами

Набор $$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$где a и b являются функциями α , которые демонстрируют приращения Δa и Δb соответственно , когда α увеличивается на Δα . Затем, $${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$$

Форма теоремы о среднем значении , ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$, где a < ξ < b , может быть применено к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ , приведенной выше, что приводит к $$\Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Разделите на Δ α и пусть Δ α → 0. Обратите внимание на ξ ₁ → a и ξ ₂ → b . Мы можем передать предел через знак интеграла: $$\lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,$$снова по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница: $${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.$$

Альтернативное доказательство общей формы с переменными пределами с использованием цепного правила.

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть получена как следствие базовой формы интегрального правила Лейбница, правила цепочки многих переменных и первой фундаментальной теоремы исчисления . Предполагать $f$ определяется в прямоугольнике в $x-t$ самолет, для $x\in [x_{1},x_{2}]$ и $t\in [t_{1},t_{2}]$. Кроме того, предположим $f$ и частная производная ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ обе являются непрерывными функциями на этом прямоугольнике. Предполагать $a,b$ являются дифференцируемыми действительными функциями, определенными на $[x_{1},x_{2}]$, со значениями в $[t_{1},t_{2}]$ (т.е. для каждого $x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]$). Теперь установите $$F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]$$и $$G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]$$

Тогда по свойствам определенных интегралов можно написать $$G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))$$

Поскольку функции $F,a,b$ все дифференцируемы (см. замечание в конце доказательства), по правилу цепочки многих переменных следует, что $G$ дифференцируема, а ее производная определяется формулой: $$G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)$$Теперь заметим, что для каждого $x\in [x_{1},x_{2}]$, и для каждого $y\in [t_{1},t_{2}]$, у нас это есть ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$, поскольку при взятии частной производной по $x$ из $F$, мы держим $y$ зафиксировано в выражении ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$; таким образом, применяется базовая форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Далее, согласно первой фундаментальной теореме исчисления , мы имеем, что ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$; потому что при взятии частной производной по $y$ из $F$, первая переменная $x$ фиксировано, поэтому фундаментальную теорему действительно можно применить.

Подставив эти результаты в уравнение для $G'(x)$ выше дает: $${\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}$$по желанию.

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: применение правила цепочки к $G$ требует, чтобы $F$ уже быть дифференцируемым . Здесь мы используем наши предположения о $f$. Как уже говорилось выше, частные производные $F$ задаются формулами ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ и ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$. С ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ непрерывен, его интеграл также является непрерывной функцией, и поскольку $f$ также является непрерывным, эти два результата показывают, что обе частные производные $F$ являются непрерывными. Поскольку непрерывность частных производных влечет за собой дифференцируемость функции, $F$ действительно дифференцируемо.

Трехмерная, зависящая от времени форма

См. также: § Высшие измерения.

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центроида. $\mathbf {C} (t)$. Функция $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$ можно записать как $$\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$с $\mathbf {I}$ независимая от времени. Переменные перемещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом координат в точке $\mathbf {C} (t)$. Тогда для жестко перемещающейся поверхности пределы интегрирования не зависят от времени, поэтому: $${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),$$где пределы интегрирования, ограничивающие интеграл областью Σ, больше не зависят от времени, поэтому дифференцирование проходит через интегрирование и воздействует только на подынтегральную функцию: $${\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),$$со скоростью движения поверхности, определяемой выражением $$\mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).$$

Это уравнение выражает материальную производную поля, то есть производную по системе координат, прикрепленной к движущейся поверхности. Найдя производную, переменные можно вернуть в исходную систему отсчета. Мы замечаем, что (см. статью о Curl ) $$\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,$$и эта теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл ротора по Σ к линейному интегралу по ∂Σ : $${\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .$$

Знак линейного интеграла основан на правиле правой руки выбора направления линейного элемента d s . Чтобы установить этот знак, например, предположим, что поле F направлено в положительном направлении z , а поверхность Σ является частью плоскости xy с периметром ∂Σ. Мы принимаем нормаль к Σ в положительном направлении z . Положительный обход ∂Σ тогда осуществляется против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z ). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, Σ перемещается в положительном направлении x со скоростью v . Элемент границы Σ, параллельный оси y , скажем d s , выметает область v t × d s за время t . Если мы проинтегрируем границу ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s будет указывать в отрицательном направлении z на левой стороне ∂Σ (где d s указывает вниз) и в положительном направлении z справа. сторона ∂Σ (где d s направлена ​​вверх), что имеет смысл, поскольку Σ движется вправо, увеличивая площадь справа и теряя ее слева. Исходя из этого, поток F возрастает справа от ∂Σ и убывает слева. Однако скалярное произведение v × F ⋅ d s = - F × v ⋅ d s = - F ⋅ v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v является константой, $${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,$$что является указанным результатом. Это доказательство не учитывает возможность деформации поверхности при движении.

Альтернативный вывод

Лемма. У одного есть: $${\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).$$

Доказательство. Из доказательства основной теоремы исчисления :

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}$$и $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}$$

Предположим, что a и b постоянны, и что f ( x ) включает параметр α , который является постоянным при интегрировании, но может меняться, образуя разные интегралы. Предположим, что f ( x , α ) является непрерывной функцией x и α в компактном множестве {( x , α ) : α ₀ ⩽ α ⩽ α ₁ и a ⩽ x ⩽ b }, и что частная производная f _α ( x , α ) существует и непрерывна. Если определить: $$\varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,$$затем $\varphi$ можно дифференцировать по α , дифференцируя под знаком интеграла, т. е. $${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$$

По теореме Гейне-Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε > 0 существует ∆ α такое, что для всех значений x в [ a , b ] $$|f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .$$

С другой стороны, $${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}$$

Следовательно, φ ( α ) — непрерывная функция.

Аналогично, если ${\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )$ существует и непрерывен, то для всех ε > 0 существует ∆ α такой, что: $$\forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .$$

Поэтому, $${\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,$$где $$|R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).$$

Теперь ε → 0 при Δ α → 0, поэтому $$\lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.$$

Именно эту формулу мы и намеревались доказать.

Теперь предположим $$\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),$$где a и b — функции от α , которые увеличивают Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Затем, $${\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}$$

Форма теоремы о среднем значении , ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$ где a < ξ < b , можно применить к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ , приведенной выше, в результате чего $$\Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).$$

Разделив на Δ α , положив Δ α → 0, отметив ξ ₁ → a и ξ ₂ → b и используя приведенный выше вывод для $${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx$$урожайность $${\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.$$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Примеры

Пример 1: Фиксированные лимиты

Рассмотрим функцию $$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.$$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке ( x , α ) = (0, 0), а функция φ ( α ) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ ( α ) приближается к ± π /2 при α → 0 ^± .

Если продифференцировать φ ( α ) по α под знаком интеграла, получим $${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},$$что, конечно, верно для всех значений α , кроме α = 0. Это можно проинтегрировать (относительно α ), чтобы найти $$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}$$

Пример 2: Переменные пределы

Пример с переменными лимитами: $${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}$$

Приложения

Вычисление определенных интегралов

Формула $${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt$$может быть полезен при вычислении некоторых определенных интегралов. При использовании в этом контексте интегральное правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла также известно как трюк Фейнмана для интегрирования.

Пример 3

Учитывать $$\varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.$$

Сейчас, $${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}$$

Как $x$ варьируется от $0$ к $\pi$, у нас есть $${\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Следовательно, $$\left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Поэтому,

$${\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Интеграция обеих сторон в отношении $\alpha$, мы получаем: $$\varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

$C_{1}=0$ следует из оценки $\varphi (0)$: $$\varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.$$

Чтобы определить $C_{2}$ таким же образом нам нужно будет заменить значение $\alpha$ больше 1 дюйма $\varphi (\alpha )$. Это несколько неудобно. Вместо этого мы заменяем ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}$, где $|\beta |<1$. Затем, $${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}$$

Поэтому, $C_{2}=0$

Определение $\varphi (\alpha )$ теперь завершено: $$\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}$$

Вышеизложенное обсуждение, конечно, не применимо, когда $\alpha =\pm 1$, поскольку условия дифференцируемости не выполняются.

Пример 4

$$I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.$$

Сначала посчитаем: $${\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}$$

Пределы интегрирования, независимые от $a$, у нас есть: $${\frac {\partial J}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx$$

С другой стороны: $${\frac {\partial J}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

Тогда приравнивание этих двух отношений дает $$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.$$

Аналогичным образом, преследуя ${\frac {\partial J}{\partial b}}$ урожайность $$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.$$

Добавление двух результатов затем дает $$I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),$$который вычисляет $I$ по желанию.

Этот вывод может быть обобщен. Обратите внимание: если мы определим $$I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,$$можно легко показать, что $$(1-n)I_{n}={\frac {\partial I_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial I_{n-1}}{\partial b}}$$

Данный $I_{1}$, эту интегральную формулу приведения можно использовать для вычисления всех значений $I_{n}$ для $n>1$. Интегралы типа $I$ и $J$ также может быть решено с помощью замены Вейерштрасса .

Пример 5

Здесь мы рассматриваем интеграл $$I(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .$$

Дифференцируя под интегралом по $\alpha$, у нас есть $${\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}$$

Поэтому: $$I(\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

Но ${\textstyle I{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0}$ по определению так ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$ и $$I(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.$$

Пример 6

Здесь мы рассматриваем интеграл $$\int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .$$

Введем новую переменную φ и перепишем интеграл в виде $$f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .$$

Когда φ = 1, это равно исходному интегралу. Однако этот более общий интеграл можно дифференцировать по $\varphi$: $${\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .$$

Теперь зафиксируем φ и рассмотрим векторное поле на $\mathbb {R} ^{2}$ определяется $\mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))$. Далее выберем положительно ориентированную параметризацию единичной окружности $S^{1}$ данный $\mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}$, $\mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )$, так что $\mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. Тогда окончательный интеграл, приведенный выше, равен точно $${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}$$линейный интеграл от $\mathbf {F}$ над $S^{1}$. По теореме Грина это равно двойному интегралу $$\iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,$$где $D$ представляет собой закрытый единичный диск . Его подынтегральная функция тождественно 0, поэтому $df/d\varphi$ также тождественно равен нулю. Это означает, что f ( φ ) постоянна. Константу можно определить путем оценки $f$ в $\varphi =0$: $$f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .$$

Следовательно, исходный интеграл также равен $2\pi$.

Другие проблемы, которые нужно решить

Существует бесчисленное множество других интегралов, которые можно решить, используя технику дифференцирования под знаком интеграла. Например, в каждом из следующих случаев исходный интеграл можно заменить аналогичным интегралом, имеющим новый параметр $\alpha$: $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}$$

Первый интеграл, интеграл Дирихле , абсолютно сходится при положительном α, но сходится лишь условно, когда $\alpha =0$. Поэтому дифференцирование под знаком интеграла легко обосновать, когда $\alpha >0$, но доказав, что полученная формула остается справедливой, когда $\alpha =0$ требует некоторой тщательной работы.

Бесконечная серия

Теоретико-мерная версия дифференцирования под знаком интеграла также применима к суммированию (конечному или бесконечному), интерпретируя суммирование как счетную меру . Примером применения является тот факт, что степенные ряды дифференцируемы по радиусу сходимости.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Интегральное правило Лейбница используется при выводе уравнения Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении .

В популярной культуре

Дифференцирование под знаком интеграла упоминается в покойного физика Ричарда Фейнмана бестселлере «Конечно, вы шутите, мистер Фейнман!» в главе «Другой ящик с инструментами». Он описывает, как изучал его в старшей школе по старому тексту «Продвинутое исчисление» (1926) Фредерика С. Вудса (который был профессором математики в Массачусетском технологическом институте ). Эту технику не часто преподавали, когда Фейнман позже получил формальное образование в области математического анализа , но, используя эту технику, Фейнман смог решить сложные в других отношениях задачи интеграции по прибытии в аспирантуру Принстонского университета :

Одна вещь, которой я так и не научился, — это контурная интеграция . Я научился вычислять интегралы различными методами, показанными в книге, которую дал мне мой школьный учитель физики г-н Бадер. Однажды он сказал мне остаться после уроков. «Фейнман, — сказал он, — ты слишком много говоришь и слишком много шумишь. Я знаю почему. Тебе скучно. Поэтому я дам тебе книгу. Подойди туда, сзади, в угол». , и изучите эту книгу, и когда вы узнаете все, что в этой книге, вы сможете снова говорить». Поэтому на каждом уроке физики я не обращал внимания на то, что происходит с законом Паскаля, или на то, что они там делали. Я сидел сзади с этой книгой: «Продвинутое исчисление» Вудса. изучал «Исчисление для практиков» Бадер знал, что я немного , поэтому он дал мне настоящие работы — это было для младших или старших курсов колледжа. Там были ряды Фурье , функции Бесселя , определители , эллиптические функции — всевозможные замечательные вещи, о которых я ничего не знал. В этой книге также показано, как различать параметры под знаком интеграла — это определенная операция. Оказывается, в университетах этому малому учат; они не подчеркивают это. Но я понял, как использовать этот метод, и использовал этот чертов инструмент снова и снова. Поскольку я был самоучкой по этой книге, у меня были своеобразные методы вычисления интегралов. В результате, когда ребята из Массачусетского технологического института или В Принстоне возникли проблемы с выполнением определенного интеграла, потому что они не могли сделать это стандартными методами, которым их учили в школе. Если бы это была контурная интеграция, они бы ее нашли; если бы это было простое расширение серии, они бы его нашли. Потом я приходил и пробовал дифференцировать под знаком интеграла, и часто это срабатывало. Таким образом, я получил отличную репутацию специалиста по интегралам только потому, что мой набор инструментов отличался от всех остальных, и они опробовали на нем все свои инструменты, прежде чем передать мне задачу.

См. также

• Правило цепочки
• Дифференцирование интегралов
• Правило Лейбница (правило обобщенного произведения)
• Транспортная теорема Рейнольдса , обобщение правила Лейбница.

Дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Одиночные интегралы: правило Лейбница; численное интегрирование» . Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Уайли. стр. 155–165 . ISBN  0-471-04934-4 .
• Каплан, Уилфред (1973). «Интегралы в зависимости от параметра — правило Лейбница». Расширенное исчисление (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 285–288.

Внешние ссылки

• Харрон, Роб. «Правило Лейбница» (PDF) . МАТ-203 .