Теорема о доминируемой сходимости

В меры теории теорема Лебега о доминируемой сходимости дает мягкое достаточное условие , при котором пределы и интегралы последовательности функций можно менять местами. Более технически это говорит о том, что если последовательность функций ограничена по абсолютному значению интегрируемой функцией и почти всюду поточечно сходится к функции , то сходимость последовательности в $L_{1}$ до своего точечного предела, и, в частности, интеграл от предела является пределом интегралов. Его мощь и полезность — два основных теоретических преимущества интегрирования Лебега перед интегрированием Римана .

Помимо частого появления в математическом анализе и уравнениях в частных производных, он широко используется в теории вероятностей , поскольку дает достаточное условие сходимости ожидаемых значений величин случайных .

Заявление

Теорема Лебега о доминируемой сходимости. Позволять $(f_{n})$ быть последовательностью комплекснозначных измеримых функций в пространстве с мерой. $(S,\Sigma ,\mu )$. Предположим, что последовательность поточечно сходится к функции $f$ т.е.

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$

существует для каждого $x\in S$. Предположим, кроме того, что последовательность $f_{n}$ доминирует некоторая интегрируемая функция $g$ в том смысле, что

$|f_{n}(x)|\leq g(x)$

по всем пунктам $x\in S$ и все $n$ в наборе индексов. Затем $f_{n},f$ интегрируемы (в смысле Лебега ) и

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu$.

На самом деле у нас есть более сильные,

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0$

Замечание 1. Утверждение $g$ интегрируема» означает, что измеримая функция $g$ интегрируема ли по Лебегу; то есть с тех пор $g\geq 0$.

$\int _{S}g\,d\mu <\infty .$

Замечание 2. Сходимость последовательности и доминирование $g$ можно расслабиться, чтобы держать только $\mu$- почти всюду, т.е. кроме, быть может, измеримого множества $Z$ из $\mu$-мера $0$. Фактически мы можем изменить функции $f_{n}$ (отсюда и его точечный предел $f$) быть 0 на $Z$ без изменения значения интегралов. (Если мы настаиваем, например, на определении $f$ поскольку предел, когда бы он ни существовал, мы можем получить неизмеримое подмножество внутри $Z$ где сходимость нарушается, если пространство с мерой не является полным , и поэтому $f$ может быть неизмеримо. Однако нет ничего плохого в игнорировании ограничения внутри нулевого набора. $Z$). Таким образом, мы можем рассмотреть $f_{n}$ и $f$ как определено, за исключением набора $\mu$-мера 0.

Замечание 3. Если $\mu (S)<\infty$, условие существования доминирующей интегрируемой функции $g$ можно ослабить до равномерной интегрируемости последовательности ( fn _Витали ), см. теорему о сходимости .

Замечание 4. Пока $f$ интегрируема по Лебегу, она, вообще говоря, не интегрируема по Риману . Например, упорядочите рациональные числа в $[0,1]$, и пусть $f_{n}$ быть определены на $[0,1]$ принять значение 1 для первых n рациональных чисел и 0 в противном случае. Затем $f$ — функция Дирихле на $[0,1]$, который не интегрируем по Риману, но интегрируем по Лебегу.

Замечание 5. Более сильную версию теоремы о доминируемой сходимости можно переформулировать так: если последовательность измеримых комплексных функций $f_{n}$ почти всюду поточечно сходится к функции $f$ и почти всюду ограничен по абсолютной величине интегрируемой функцией, то $f_{n}\to f$ в банаховом пространстве $L_{1}(S,\mu )$

Доказательство

Без ограничения общности можно предположить, что f вещественно, поскольку можно разбить f на действительную и мнимую части (помните, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся как ее действительные, так и мнимые аналоги) и применить неравенство треугольника в конце.

Теорема Лебега о доминируемой сходимости является частным случаем теоремы Фату–Лебега . Однако ниже приводится прямое доказательство, в котором используется лемма Фату в качестве основного инструмента .

Поскольку f является поточечным пределом последовательности ( fn _{, следовательно, она} ) измеримых функций, над которыми доминирует g , она также измерима и доминируется g интегрируема. Кроме того (они понадобятся позже),

$|f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g$

для всех n и

$\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.$

Второе из них тривиально верно (по самому определению f ). Используя линейность и монотонность интеграла Лебега ,

$\left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.$

По обратной лемме Фату (именно здесь мы используем тот факт, что | f − f _n | ограничено сверху интегрируемой функцией)

$\limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,$

откуда следует, что предел существует и обращается в нуль, т.е.

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

Наконец, поскольку

$\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

у нас есть это

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .$

Теперь теорема следующая.

Если предположения выполняются только µ-почти всюду, то существует µ-нулевое множество N ∈ Σ такое, что функции f _n 1 _{S \ N} удовлетворяют предположениям всюду на S . Тогда функция f ( x ), определенная как поточечный предел f _n ( x ) для x ∈ S \ N и как f ( x ) = 0 для x ∈ N , измерима и является поточечным пределом этой модифицированной функциональной последовательности. На значения этих интегралов не влияют эти изменения подынтегральных выражений на этом µ-нулевом множестве N , поэтому теорема продолжает оставаться в силе.

ДКП выполняется, даже если f _n сходится к f по мере (конечная мера) и доминирующая функция почти всюду неотрицательна.

Обсуждение предположений

предположения, что в последовательности доминирует некоторое интегрируемое g Нельзя обойтись без . Это можно увидеть следующим образом: определите f _n ( x ) = n для x в интервале (0, 1/ n ] и в противном случае f _n ( x ) = 0. Любой g , который доминирует в последовательности, также должен доминировать над поточечной супремумом h. = суп _п ж _п Обратите внимание, что

$\int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty$

расходимостью гармонического ряда . Следовательно, монотонность интеграла Лебега говорит нам о том, что не существует интегрируемой функции, которая доминировала бы в последовательности на [0,1]. Прямой расчет показывает, что для этой последовательности интегрирование и поточечный предел не коммутируют:

$\int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,$

потому что поточечный предел последовательности — это нулевая функция . Обратите внимание, что последовательность ( fn _{теорема} ) не является даже равномерно интегрируемой , следовательно, о сходимости Витали также неприменима.

Теорема об ограниченной сходимости

Одним из следствий теоремы о доминируемой сходимости является теорема об ограниченной сходимости , которая утверждает, что если ( f _n ) является последовательностью равномерно ограниченных комплекснозначных измеримых функций , которая сходится поточечно в ограниченном пространстве с мерой ( S , Σ, µ) (т. е. одна в которой µ( S ) конечно) к функции f , то предел f является интегрируемой функцией и

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.$

Замечание: Поточечная сходимость и равномерная ограниченность последовательности могут быть ослаблены так, чтобы выполнялись только µ- почти всюду пространство с мерой ( S , Σ, µ) полно , при условии, что или f выбрана как измеримая функция, которая согласуется µ-почти всюду с µ -почти всюду существующий поточечный предел.

Доказательство

Поскольку последовательность равномерно ограничена, существует вещественное число M такое, что | ж _п ( Икс )| ≤ M для всех x ∈ S и для всех n . Определим g ( x ) = M для всех x ∈ S . Тогда в последовательности доминирует g . Более того, g интегрируема, поскольку это постоянная функция на множестве конечной меры. Следовательно, результат следует из теоремы о доминируемой сходимости.

Если предположения выполняются только µ-почти всюду, то существует µ-нулевое множество N ∈ Σ такое, что функции f _n 1 _{S \ N} удовлетворяют предположениям всюду на S .

Доминирующая сходимость в L ^п -пространства (следствие)

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ быть мерой пространства , $1\leq p<\infty$ действительное число и $(f_{n})$ последовательность ${\mathcal {A}}$-измеримые функции $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

Предположим, что последовательность $(f_{n})$ сходится $\mu$-почти везде до ${\mathcal {A}}$-измеримая функция $f$, и в нем преобладает $g\in L^{p}$ (ср. пространство Lp ), т. е. для всякого натурального числа $n$ у нас есть: $|f_{n}|\leq g$, µ-почти всюду.

Тогда все $f_{n}$ а также $f$ находятся в $L^{p}$ и последовательность $(f_{n})$ сходится к $f$ в смысле $L^{p}$, то есть:

$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.$

Идея доказательства: применить исходную теорему к функциональной последовательности $h_{n}=|f_{n}-f|^{p}$ с доминирующей функцией $(2g)^{p}$.

Расширения

Теорема о доминируемой сходимости применима также к измеримым функциям со значениями в банаховом пространстве , при этом доминирующая функция по-прежнему неотрицательна и интегрируема, как указано выше. Предположение о сходимости почти всюду можно ослабить, потребовав лишь сходимости по мере .

Теорема о доминируемой сходимости применима также к условным ожиданиям.

См. также

• Сходимость случайных величин , Сходимость в среднем
• Теорема о монотонной сходимости (не требует доминирования интегрируемой функции, но вместо этого предполагает монотонность последовательности)
• Лемма Шеффе
• Равномерная интегрируемость
• Теорема Витали о сходимости (обобщение теоремы о доминируемой сходимости Лебега)

Ссылки

• Бартл, Р.Г. (1995). Элементы интегрирования и мера Лебега . Уайли Интерсайенс. ISBN  9780471042228 .
• Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN  9780024041517 .
• Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Лебег Интегрирование и мера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 93–118. ISBN  0-521-08728-7 .
• Уильямс, Д. (1991). Вероятность с мартингалами . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40605-6 .
• Зиткович, Гордан (осень 2013 г.). «Лекция 10: Условное ожидание» (PDF) . Проверено 25 декабря 2020 г.