Лемма Фату

Не путать с теоремой Фату .

В математике лемма Фату устанавливает неравенство, интеграл Лебега нижнего предела последовательности функций связывающее . с нижним пределом интегралов этих функций Лемма Пьера названа в честь Фату .

Лемму Фату можно использовать для доказательства теоремы Фату–Лебега Лебега и теоремы о доминируемой сходимости .

Стандартное заявление

Далее, $\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ обозначает $\sigma$-алгебра Бореля устанавливает $[0,+\infty ]$.

Теорема — лемма Фату. Учитывая пространство меры $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ и набор $X\in {\mathcal {F}},$ позволять $\{f_{n}\}$ быть последовательностью $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримые неотрицательные функции $f_{n}:X\to [0,+\infty ]$. Определите функцию $f:X\to [0,+\infty ]$ к $f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),$ для каждого $x\in X$. Затем $f$ является $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримый, -и

$\int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,$

где интегралы и нижний предел могут быть бесконечными .

Лемма Фату остается верной, если ее предположения верны. $\mu$-почти везде. Другими словами, достаточно того, что существует нулевое множество $N$ такие, что значения $\{f_{n}(x)\}$ неотрицательны для каждого ${x\in X\setminus N}.$ Чтобы убедиться в этом, заметим, что интегралы, фигурирующие в лемме Фату, не изменятся, если мы заменим каждую функцию на $N$.

Доказательство

Лемма Фату не требует теоремы о монотонной сходимости , но последнюю можно использовать для быстрого и естественного доказательства. Доказательство непосредственно из определений интегралов приведено ниже.

С помощью теоремы о монотонной сходимости

позволять $\textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)$. Затем:

1. последовательность $\{g_{n}(x)\}_{n}$ любых поточечно не убывает при x и
2. $g_{n}\leq f_{n}$, $\forall n\in \mathbb {N}$.

С

$f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)$,

а нижняя и верхняя границы измеримых функций измеримы, то мы видим, что $f$ измерима.

По теореме о монотонной сходимости и свойству (1) суп и интеграл можно поменять местами:

${\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}$

где на последнем шаге использовалось свойство (2).

Из «первоначальных принципов»

Чтобы продемонстрировать, что теорема о монотонной сходимости не «скрыта», в приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь, и того факта, что функции $f$ и $g_{n}$ измеримы.

Обозначим через $\operatorname {SF} (f)$ набор простых $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримые функции $s:X\to [0,\infty )$ такой, что $0\leq s\leq f$ на $X$.

Монотонность —

• Если $f\leq g$ везде на $X,$ затем

$\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .$

• Если $X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}$ и $X_{1}\subseteq X_{2},$ затем

$\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .$

• Если f неотрицательно и $S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}$, где $S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S$ представляет собой неубывающую цепочку $\mu$-измеримые множества, тогда

$\int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}$

Доказательство

1. Поскольку $f\leq g,$ у нас есть

$\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).$

По определению интеграла Лебега и свойств супремума

$\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .$

2. Пусть ${\mathbf {1} }_{X_{1}}$ быть индикаторной функцией множества $X_{1}.$ Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

$\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu$

если мы заметим, что для каждого $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ за пределами $X_{1}.$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$ подразумевает

$\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .$

3. Прежде всего отметим, что утверждение справедливо, если f является индикаторной функцией множества в силу монотонности мер . В силу линейности отсюда также сразу следует утверждение о простых функциях.

Поскольку любая простая функция, поддерживаемая на Sn _, является простой и поддерживается на X , мы должны иметь

$\int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}$.

Обратное: предположим, что g ∈ SF( f ) с $\textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }$ Судя по вышеизложенному,

$\int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}$

Теперь переходим к основной теореме

Шаг 1 — $g_{n}=g_{n}(x)$ является $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримый, для каждого $n\geq 1$, как есть $f$.

Доказательство

Напомним, что отрезки порождают борелевскую σ - алгебру . Таким образом, достаточно показать, что для каждого $t\in [-\infty ,+\infty ]$, что $g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}$. Теперь заметьте, что

${\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}$

Каждый набор справа взят из ${\mathcal {F}}$, замкнутый относительно счетных пересечений. Таким образом, левая часть также является членом ${\mathcal {F}}$.

Аналогично достаточно убедиться, что $f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}$, для каждого $t\in [-\infty ,+\infty ]$. Поскольку последовательность $\{g_{n}(x)\}$ точечное неуменьшение,

$f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}$.

Шаг 2 — Учитывая простую функцию $s\in \operatorname {SF} (f)$ и реальное число $t\in (0,1)$, определять

$B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.$

Затем $B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}$, $B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}$, и $\textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}$.

Доказательство

Шаг 2а. Чтобы доказать первое утверждение, запишите s как взвешенную сумму индикаторных функций непересекающихся множеств :

$s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}$.

Затем

$B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}$.

Поскольку прообраз $g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}$ множества Бореля $[t\cdot c_{i},+\infty ]$ под измеримой функцией $g_{k}$ измеримо, и $\sigma$-алгебры замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.

Шаг 2б. Для доказательства второго утверждения заметим, что для каждого $k$ и каждый $x\in X$, $g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).$

Шаг 2в. Для доказательства третьего утверждения предположим, что для противоречия существует

$x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})$

Затем $g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})$, для каждого $k$. Принимая предел как $k\to \infty$,

$f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).$

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $s\leq f$.

Шаг 3 — Из шага 2 и монотонности,

$\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .$

Шаг 4 — Для каждого $s\in \operatorname {SF} (f)$,

$\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu$.

Доказательство

Действительно, используя определение $B_{k}^{s,t}$, неотрицательность $g_{k}$, и монотонность интеграла Лебега имеем

$\forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu$.

В соответствии с шагом 4, т.к. $k\to \infty$ неравенство становится

$t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu$.

Принимая предел как $t\uparrow 1$ урожайность

$\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu$,

по мере необходимости.

Шаг 5. Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному в шаге 4, и учтем, что $g_{n}\leq f_{n}$:

${\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}$

Доказательство завершено.

Примеры строгого неравенства

Оборудуйте пространство $S$ с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега .

• Пример вероятностного пространства : пусть $S=[0,1]$ обозначаем единичный интервал . Для каждого натурального числа $n$ определять

$f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

• Пример с равномерной сходимостью : Пусть $S$ обозначают множество всех действительных чисел . Определять

$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Эти последовательности $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ сходиться на $S$ поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждый $f_{n}$ имеет цельный.

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности f ₁ , f ₂ , . . . функций необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Обозначим через S полупрямую [0,∞) с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

$f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Эта последовательность равномерно сходится на S к нулевой функции, а предел 0 достигается за конечное число шагов: для каждого x ≥ 0, если n > x , то f _n ( x ) = 0. Однако каждая функция f _n имеет целое число −1. Вопреки лемме Фату, эта величина строго меньше интеграла от предела (0).

Как обсуждается в разделе «Расширения и вариации леммы Фату» ниже, проблема заключается в том, что не существует равномерной интегрируемой границы последовательности снизу, а 0 является равномерной границей сверху.

Обратная лемма Фату

Пусть f ₁ , f ₂ , . . . — последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных в пространстве с мерой ( S , Σ , µ ). существует неотрицательная интегрируемая функция g на S такая, что fn _Если ⩽ g для всех n , то

$\limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .$

Примечание. Здесь g интегрируемый означает, что g измеримо и что $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$.

Эскиз доказательства

Применим линейность интеграла Лебега и лемму Фату к последовательности $g-f_{n}.$ С $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,$ эта последовательность определена $\mu$-почти везде и неотрицательен.

Расширения и вариации леммы Фату.

Интегрируемая нижняя граница

Пусть f ₁ , f ₂ , . . . быть последовательностью расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных в пространстве с мерой ( S , Σ , µ ). существует интегрируемая функция g на S такая, что fn _Если ≥ − g для всех n , то

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

Доказательство

Примените лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной f _n + g .

Поточечная сходимость

Если в предыдущей настройке последовательность f ₁ , f ₂ , . . . сходится поточечно к функции f µ - почти всюду на S , то

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

Доказательство

Обратите внимание, что f почти всюду должна согласовываться с нижним пределом функций f _n и что значения подынтегральной функции на множестве нулевой меры не влияют на значение интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение также справедливо, если последовательность f ₁ , f ₂ , . . . сходится по мере к функции f .

Доказательство

Существует подпоследовательность такая, что

$\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

Поскольку эта подпоследовательность также сходится по мере к f , существует дополнительная подпоследовательность, которая почти всюду сходится к f поточечно , следовательно, к этой подподпоследовательности применима предыдущая вариация леммы Фату.

Лемма Фату с варьирующимися мерами.

Во всех приведенных выше формулировках леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере ц. Предположим, что µ _n — последовательность мер на измеримом пространстве ( S , Σ ) такая, что (см. Сходимость мер )

$\forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)$.

Тогда, когда f _n неотрицательных интегрируемых функций и f является их нижним поточечным пределом, мы имеем

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.$

показывать Доказательство

We will prove something a bit stronger here. Namely, we will allow fn to converge μ-almost everywhere on a subset E of S. We seek to show that $\int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,.$ Let $K=\{x\in E|f_{n}(x)\rightarrow f(x)\}$. Then μ(E-K)=0 and $\int _{E}f\,d\mu =\int _{E-K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E-K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .$ Thus, replacing E by E-K we may assume that fn converge to f pointwise on E. Next, note that for any simple function φ we have $\int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.$ Hence, by the definition of the Lebesgue Integral, it is enough to show that if φ is any non-negative simple function less than or equal to f, then $\int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}$ Let a be the minimum non-negative value of φ. Define $A=\{x\in E|\phi (x)>a\}$ We first consider the case when $\int _{E}\phi \,d\mu =\infty$. We must have that μ(A) is infinite since $\int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),$ where M is the (necessarily finite) maximum value of that φ attains. Next, we define $A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.$ We have that $A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .$ But An is a nested increasing sequence of functions and hence, by the continuity from below μ, $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty .$. Thus, $\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .$. At the same time, $\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,$ proving the claim in this case. The remaining case is when $\int _{E}\phi \,d\mu <\infty$. We must have that μ(A) is finite. Denote, as above, by M the maximum value of φ and fix ε>0. Define $A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\phi (x)~\forall k\geq n\}.$ Then An is a nested increasing sequence of sets whose union contains A. Thus, A-An is a decreasing sequence of sets with empty intersection. Since A has finite measure (this is why we needed to consider the two separate cases), $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A-A_{n})=0.$ Thus, there exists n such that $\mu (A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n.$ Therefore, since $\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A-A_{k})=\mu (A-A_{k}),$ there exists N such that $\mu _{k}(A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq N.$ Hence, for $k\geq N$ $\int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.$ At the same time, $\int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.$ Hence, $(1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.$ Combining these inequalities gives that $\int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).$ Hence, sending ε to 0 and taking the liminf in n, we get that $\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,$ completing the proof.

Лемма Фату для условных ожиданий

В теории вероятностей , изменив обозначения, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин X ₁ , X ₂ , . . . определенный в вероятностном пространстве $\scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$; интегралы превращаются в ожидания . Кроме того, существует еще версия для условных ожиданий .

Стандартная версия

Пусть X ₁ , X ₂ , . . . быть последовательностью неотрицательных случайных величин в вероятностном пространстве. $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и пусть $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ быть под -σ-алгеброй . Затем

$\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$   почти наверняка .

Примечание. Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда четко определено, конечное ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство стандартной версии леммы Фату, приведенной выше, однако теорему монотонной сходимости для условных ожиданий необходимо применить .

Пусть X обозначает нижний предел X _n . Для каждого натурального числа k поточечно определим случайную величину

$Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.$

Тогда последовательность Y ₁ , Y ₂ , . . . возрастает и поточечно сходится к X .Для k ⩽ n имеем Yk _, ⩽ Xn _так что

$\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$ почти наверняка

монотонностью условного ожидания , следовательно

$\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$ почти наверняка,

потому что счетное объединение исключительных множеств с нулевой вероятностью снова является нулевым множеством .Используя определение X , его представление как поточечный предел Y _k , теорему монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверняка

${\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}$

Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части.

Пусть X ₁ , X ₂ , . . . быть последовательностью случайных величин в вероятностном пространстве $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и пусть $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ быть под -σ-алгеброй . Если отрицательные части

$X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },$

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что для ε > 0 существует c > 0 такое, что

$\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}$,

затем

$\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]$ почти наверняка.

Примечание: на съемочной площадке, где

$X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}$

удовлетворяет

$\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,$

левая часть неравенства считается плюс бесконечностью. Условное ожидание нижнего предела может быть неточно определено в этом наборе, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечность.

Доказательство

Пусть ε > 0. В силу равномерной интегрируемости по условному математическому ожиданию существует c > 0 такое, что

$\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.$

С

$X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},$

где х ⁺ := max{ x ,0} обозначает положительную часть реального x , монотонность условного ожидания (или вышеуказанное соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий подразумевают

$\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]$ почти наверняка.

С

$(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},$

у нас есть

$\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon$ почти наверняка,

следовательно

$\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon$ почти наверняка.

Из этого следует утверждение.

Ссылки

• Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 321–22 . ISBN  0-521-49756-6 .
• Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Лондон: Кольер Макмиллан. ISBN  0-02-404151-3 .
• Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Лебег Интегрирование и мера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 93–118. ISBN  0-521-08728-7 .