Теорема Фату–Лебега

В математике теорема Фату-Лебега устанавливает цепочку неравенств, интегралы ( в смысле Лебега ) нижнего и верхнего предела последовательности связывающих функций с нижним и верхним пределом интегралов этих функций. Теорема названа в честь Пьера Фату и Анри Леона Лебега .

Если последовательность функций сходится поточечно , неравенства превращаются в равенства и теорема сводится к теореме Лебега о доминируемой сходимости .

Формулировка теоремы

Пусть f ₁ , f ₂ , ... обозначают последовательность вещественнозначных функций , измеримых определенных в пространстве с мерой ( S , Σ , µ ). Если существует интегрируемая по Лебегу функция g на S , которая доминирует в последовательности по модулю, то есть | ж _п | ≤ g для всех натуральных чисел n , то все f _n, а также нижний и верхний пределы f n _{интегрируемы} и

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \,.$

Здесь нижний и верхний пределы f n _{берутся} поточечно. Интеграл от модуля этих предельных функций ограничен сверху интегралом от g .

Поскольку среднее неравенство (для последовательностей действительных чисел) всегда верно, направления остальных неравенств легко запомнить.

Доказательство

Все f _n, а также нижний и верхний предел f n _{измеримы} и по абсолютной величине доминируют g , следовательно, интегрируемы.

С использованием линейность интеграла Лебега и применение леммы Фату к неотрицательным функциям $f_{n}+g$ мы получаем $$\int _{X}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu +\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}\liminf _{n\to \infty }(f_{n}+g)\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}(f_{n}+g)\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu +\int _{X}g\,d\mu .$$ Отмена конечного(!) $\int _{X}g\,d\mu$ члене мы получаем первое неравенство. Второе неравенство – это элементарное неравенство между $\liminf$ и $\limsup$. Последнее неравенство получается путем применения обратной леммы Фату , т.е. применения леммы Фату к неотрицательным функциям $g-f_{n}$, и снова (с точностью до знака) сокращая конечное $\int _{X}g\,d\mu$ срок.

Наконец, поскольку $\limsup _{n}|f_{n}|\leq g$,

$\max {\bigl (}{\biggl |}\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu {\biggr |},{\Bigl |}\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu {\Bigr |}{\bigr )}\leq \int _{S}\max {\bigl (}{\Bigl |}\liminf _{n\to \infty }f_{n}{\Bigr |},{\Bigl |}\limsup _{n\to \infty }f_{n}{\Bigr |}{\bigr )}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}g\,d\mu$

монотонностью интеграла Лебега .

Ссылки

• Темы реального и функционального анализа , Джеральд Тешль , Венский университет.

Внешние ссылки

• «Теорема Фату-Лебега» . ПланетаМатематика .