Расширенная строка действительных чисел

Эта статья о расширении действительных чисел с помощью +∞ и −∞ . О расширении одной точкой на бесконечности см. Проективно расширенная действительная линия .

Расширенные действительные числа: а) аффинно расширенные действительные числа и б) проективно расширенные действительные числа

В математике расширенная система действительных чисел. получается из счисления действительной системы $\mathbb {R}$ добавив два элемента бесконечности : $+\infty$ и $-\infty ,$ где бесконечности рассматриваются как действительные числа. Это полезно при описании алгебры на бесконечностях и различных предельных поведениях в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . Расширенную действительную систему счисления обозначают ${\overline {\mathbb {R} }}$ или $[-\infty ,+\infty ]$ или $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$ Это Дедекиндом – МакНилом пополнение действительных чисел .

Когда значение ясно из контекста, символ $+\infty$ часто пишется просто как $\infty .$

Существует также проективно расширенная действительная линия , где $+\infty$ и $-\infty$ не различаются, поэтому бесконечность обозначается только $\infty$.

Мотивация

Ограничения

Часто бывает полезно описать поведение функции . $f$ как аргумент $x$ или значение функции $f$ в некотором смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию $f$ определяется

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при $y=0.$ Геометрически при движении все дальше вправо по $x$-ось, значение ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ приближается к 0 . Это предельное поведение похоже на предел функции ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ в котором действительное число $x$ подходы $x_{0},$ за исключением того, что не существует действительного числа, которому $x$ подходы.

Соединяя элементы $+\infty$ и $-\infty$ к $\mathbb {R} ,$ это позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для $\mathbb {R} .$

Чтобы сделать вещи совершенно формальными, определение последовательности Коши $\mathbb {R}$ позволяет определить $+\infty$ как набор всех последовательностей $(a_{n})$ рациональных чисел таких, что каждое $M\in \mathbb {R}$ связан с соответствующим $N\in \mathbb {N}$ для чего $a_{n}>M$ для всех $n>N.$ Определение $-\infty$ можно построить аналогично.

Измерение и интегрирование

В теории меры часто полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из исчисления. Например, при назначении меры $\mathbb {R}$ что согласуется с обычной длиной интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, таких как

$f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}$

Без разрешения функциям принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Расширенная система действительных чисел ${\overline {\mathbb {R} }}$, определяемый как $[-\infty ,+\infty ]$ или $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$, можно превратить в полностью упорядоченное множество , определив $-\infty \leq a\leq +\infty$ для всех $a\in {\overline {\mathbb {R} }}.$ При такой топологии порядка ${\overline {\mathbb {R} }}$ обладает желаемым свойством компактности : подмножество каждое ${\overline {\mathbb {R} }}$ имеет высшую и низшую (нижняя грань пустого множества равна $+\infty$, а его верхняя грань равна $-\infty$). Более того, в топологии этой ${\overline {\mathbb {R} }}$ гомеоморфен ​ единичному интервалу $[0,1].$ Таким образом, топология метризуема , соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая являлась бы расширением обычной метрики на $\mathbb {R} .$

В этой топологии множество $U$ это район ​ $+\infty$ тогда и только тогда, когда оно содержит множество $\{x:x>a\}$ для некоторого действительного числа $a.$ Понятие о окрестности $-\infty$ можно определить аналогично. Используя эту характеристику окрестностей расширенной реальности, пределы с $x$ склонен к $+\infty$ или $-\infty$, и пределы "равны" $+\infty$ и $-\infty$, свести к общему топологическому определению пределов - вместо специального определения в действительной системе счисления.

Арифметические операции

Арифметические операции $\mathbb {R}$ может быть частично распространено на ${\overline {\mathbb {R} }}$ следующее:

$${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}$$

О возведении в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь, $a+\infty$ означает оба $a+(+\infty )$ и $a-(-\infty ),$ пока $a-\infty$ означает оба $a-(+\infty )$ и $a+(-\infty ).$

Выражения $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ и $\pm \infty /\pm \infty$ (называемые неопределенными формами ) обычно оставляют неопределенными . Эти правила созданы по образцу законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятности или меры $0\times \pm \infty$ часто определяется как $0.$

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение $1/0$ обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для любой действительной ненулевой последовательности $f$ который сходится к $0,$ обратная ​ последовательность $1/f$ в конечном итоге содержится в каждой окрестности $\{\infty ,-\infty \},$ неправда , что последовательность $1/f$ должен сам сходиться либо к $-\infty$ или $\infty .$ Другими словами, если непрерывная функция $f$ достигает нуля при определенном значении $x_{0},$ тогда это не обязательно так $1/f$ имеет тенденцию либо $-\infty$ или $\infty$ в пределе как $x$ имеет тенденцию $x_{0}.$ Это относится к пределам тождественной функции $f(x)=x$ когда $x$ имеет тенденцию $0,$ и из $f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)$ (для последней функции ни $-\infty$ ни $\infty$ является пределом $1/f(x),$ даже если только положительные значения $x$ считаются).

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить $1/0=+\infty .$ Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами $a_{n}$ часто определяется как величина, обратная пределу -супремуму последовательности $\left(|a_{n}|^{1/n}\right)$. Таким образом, если позволить $1/0$ принять значение $+\infty ,$ то можно использовать эту формулу независимо от того, равна ли предельная верхняя грань $0$ или нет.

Алгебраические свойства

Используя эти определения, ${\overline {\mathbb {R} }}$ не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае с $\mathbb {R} .$ Однако у него есть несколько удобных свойств:

• $a+(b+c)$ и $(a+b)+c$ либо равны, либо оба не определены.
• $a+b$ и $b+a$ либо равны, либо оба не определены.
• $a\cdot (b\cdot c)$ и $(a\cdot b)\cdot c$ либо равны, либо оба не определены.
• $a\cdot b$ и $b\cdot a$ либо равны, либо оба не определены
• $a\cdot (b+c)$ и $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ равны, если оба определены.
• Если $a\leq b$ и если оба $a+c$ и $b+c$ определены, то $a+c\leq b+c.$
• Если $a\leq b$ и $c>0$ и если оба $a\cdot c$ и $b\cdot c$ определены, то $a\cdot c\leq b\cdot c.$

В целом все законы арифметики справедливы. ${\overline {\mathbb {R} }}$— пока определены все встречающиеся выражения.

Разное

Некоторые функции могут быть постоянно расширены до ${\overline {\mathbb {R} }}$ принимая ограничения. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:

$\exp(-\infty )=0,$

$\ln(0)=-\infty ,$

$\tanh(\pm \infty )=\pm 1,$

$\arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.$

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция $1/x^{2}$ может непрерывно расширяться до ${\overline {\mathbb {R} }}$ (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение $+\infty$ для $x=0,$ и $0$ для $x=+\infty$ и $x=-\infty .$ С другой стороны, функция $1/x$ может не быть непрерывно продолжена, так как функция приближается $-\infty$ как $x$ подходы $0$ снизу и $+\infty$ как $x$ подходы $0$ сверху, т. е. функция, не сходящаяся к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к одному и тому же элементу области как со стороны положительного, так и со стороны отрицательного значения.

Похожая, но другая система действительных линий, проективно расширенная действительная линия , не делает различия между $+\infty$ и $-\infty$ (т.е. бесконечность беззнаковая). В результате функция может иметь предел $\infty$ на проективно расширенной действительной прямой, тогда как в расширенной действительной системе счисления только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции $1/x$ в $x=0.$ С другой стороны, на проективно продолженной вещественной прямой $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}$ и $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}$ соответствуют только пределу справа и одному слева соответственно, при этом полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции $e^{x}$ и $\arctan(x)$ нельзя сделать непрерывным в $x=\infty$ на проективно продолженной вещественной прямой.

См. также

• Деление на ноль
• Расширенная сложная плоскость
• Расширенные натуральные числа
• Несобственный интеграл
• Бесконечность
• Бревенчатое полукольцо
• Серия (математика)
• Проективно расширенная действительная линия
• Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей запятой § Бесконечности и плавающая запятая IEEE.

Дальнейшее чтение

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN  0-12-050257-7 , МР   1669668
• Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа» . Математический мир .