Интеграл Римана

Интеграл как площадь области под кривой.

Последовательность сумм Римана по регулярному разбиению интервала. Число сверху — это общая площадь прямоугольников, которая сходится к интегралу функции.

Раздел не обязательно должен быть обычным, как показано здесь. Аппроксимация работает до тех пор, пока ширина каждого подразделения стремится к нулю.

В разделе математики, как реальный анализ , интеграл Римана , созданный Бернхардом Риманом , был первым строгим определением интеграла функции известном на интервале . Он был представлен преподавателям Геттингенского университета в 1854 году, но опубликован в журнале только в 1868 году. Для многих функций и практических приложений интеграл Римана можно оценить с помощью фундаментальной теоремы исчисления , аппроксимировать путем численного интегрирования или смоделировать с помощью интегрирования Монте-Карло .

Обзор

Пусть f — неотрицательная вещественная функция на интервале [ a , b ] , и пусть S — область плоскости под графиком функции f и над интервалом [ a , b ] . См. рисунок вверху справа. Эту область можно выразить в обозначениях построителя множеств как

$$S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.$$

Нас интересует измерение площади S . После того, как мы ее измерили, мы обозначим площадь обычным способом через

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

Основная идея интеграла Римана заключается в использовании очень простых приближений для площади S . Принимая все лучшие и лучшие приближения, мы можем сказать, что «в пределе» мы получаем ровно площадь S под кривой.

Когда f ( x ) может принимать отрицательные значения, интеграл равен площади со знаком между графиком f и осью x : то есть площадь над осью x минус площадь под осью x .

Определение

Разделы интервала

Разбиение интервала [ a , b ] представляет собой конечную последовательность чисел вида

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b$$

Каждый [ x _i , x _{i + 1} ] называется подинтервалом разбиения. Сетка есть или норма раздела определяется как длина самого длинного подинтервала, то

$$\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].$$

P Размеченное разбиение ( x , t ) интервала [ a , b ] представляет собой разбиение вместе с выбором точки выборки внутри каждого подинтервала: то есть числа t ₀ , ..., t _{n − 1} с т _я ∈ [ Икс _я , Икс _{я + 1} ] для каждого я . Сетка тегированного раздела такая же, как и у обычного раздела.

Предположим, что два раздела P ( x , t ) и Q ( y , s ) являются разделами интервала [ a , b ] . Мы говорим, что x , t ) , если для каждого целого числа Q ( y , s ) является уточнением P ( i , при этом i ∈ [ 0 , n ] , существует целое число r ( i ) такое, что x _i = y _{r ( i )} и такой, что t _i = s _j для некоторого j с j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)] . То есть помеченный раздел разбивает некоторые подинтервалы и добавляет точки выборки, где это необходимо, «уточняя» точность разделения.

Мы можем превратить набор всех тегированных разделов в направленный набор , сказав, что один тегированный раздел больше или равен другому, если первый является уточнением второго.

Сумма Римана

Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ] . f Сумма Римана относительно t разбиения с тегами x ₀ , ..., x _n вместе с , ... ₀ , t _{n − 1} равна

$$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).$$

Каждый член суммы представляет собой произведение значения функции в данной точке на длину интервала. Следовательно, каждый терм представляет собой (со знаком) площадь прямоугольника с высотой f ( t _i ) и шириной x _{i + 1} − x _i . Сумма Римана — это площадь (со знаком) всех прямоугольников.

Близкими понятиями являются нижняя и верхняя суммы Дарбу . Они похожи на суммы Римана, но теги заменяются нижней и верхней границей (соответственно) f на каждом подинтервале:

$${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}$$

Если f непрерывно, то нижняя и верхняя суммы Дарбу для раздела без тегов равны сумме Римана для этого раздела, где теги выбираются как минимум или максимум (соответственно) f на каждом подинтервале. (Когда f является разрывным на подинтервале, может не быть метки, которая достигает нижней или верхней границы на этом подинтервале.) Интеграл Дарбу , который похож на интеграл Римана, но основан на суммах Дарбу, эквивалентен интегралу Римана.

Интеграл Римана

Грубо говоря, интеграл Римана — это предел сумм Римана функции по мере того, как разбиения становятся тоньше. Если предел существует, то функция называется интегрируемой (или, точнее, интегрируемой по Риману ). Сумма Римана может быть сколь угодно близкой к интегралу Римана, если сделать разбиение достаточно тонким.

Одним из важных требований является то, что сетка разделов должна становиться все меньше и меньше, чтобы она имела нулевой предел. Если бы это было не так, то мы не получили бы хорошего приближения функции на определенных подинтервалах. На самом деле этого достаточно, чтобы определить интеграл. Точнее, мы говорим, что интеграл Римана от f существует и равен s, если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого помеченного разбиения x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1 ,} сетка которого меньше δ , мы имеем

$$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$$

К сожалению, это определение очень сложно использовать. Это помогло бы разработать эквивалентное определение интеграла Римана, с которым было бы легче работать. Сейчас мы разовьем это определение, а затем докажем эквивалентность. Наше новое определение гласит, что интеграл Римана от f существует и равен s, если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует разбиение с тегами y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} такое, что для любого разбиения с тегами x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1,} которое является уточнением y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} , мы имеем

$$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$$

Оба из них означают, что в конечном итоге сумма Римана f относительно любого разбиения оказывается в ловушке вблизи s . Поскольку это верно, независимо от того, насколько точно мы требуем, чтобы суммы были пойманы в ловушку, мы говорим, что суммы Римана сходятся к s . Эти определения на самом деле являются частным случаем более общей концепции — сети .

Как мы уже говорили ранее, эти два определения эквивалентны. Другими словами, s работает в первом определении тогда и только тогда, когда s работает во втором определении. Чтобы показать, что из первого определения следует второе, начните с ε и выберите δ, удовлетворяющее условию. Выберите любой тегированный раздел, сетка которого меньше δ . Его сумма Римана находится в пределах ε от s , и любое уточнение этого разбиения также будет иметь сетку меньше δ , поэтому сумма Римана уточнения также будет находиться в пределах ε от s .

Чтобы показать, что из второго определения следует первое, проще всего использовать интеграл Дарбу . Во-первых, показывается, что второе определение эквивалентно определению интеграла Дарбу; об этом см. статью об интеграле Дарбу . Теперь мы покажем, что интегрируемая по Дарбу функция удовлетворяет первому определению. Зафиксируйте ε и выберите разбиение y ₀ , ..., y _m такое, что нижняя и верхняя суммы Дарбу по этому разбиению находятся в пределах ε /2 от значения s интеграла Дарбу. Позволять

$$r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.$$

Если r = 0 , то f — нулевая функция, которая, очевидно, интегрируется как по Дарбу, так и по Риману с целым нулем. Поэтому будем считать, что r > 0 . Если m > 1 , то выбираем δ такое, что

$$\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}$$

Если m = 1 , то мы выбираем δ меньше единицы. Выберите размеченный раздел x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} с сеткой меньше δ . Мы должны показать, что сумма Римана находится в пределах ε от s .

Чтобы увидеть это, выберите интервал [ x _i , x _{i + 1} ] . интервал содержится в пределах некоторого [ yj _Если , yj _{этот +1} ] , то

$$m_{j}<f(t_{i})<M_{j}$$

где m _j и M _j нижняя и верхняя грань на [ yj , _yj — соответственно + _{f 1} ] . Если бы все интервалы обладали этим свойством, то это завершило бы доказательство, потому что каждый член суммы Римана был бы ограничен соответствующим членом в суммах Дарбу, и мы выбрали суммы Дарбу близкими к s . Это тот случай, когда m = 1 , поэтому доказательство в этом случае закончено.

Поэтому можно предположить, что m > 1 . В этом случае возможно, что одно из [ x _i , x _{i + 1} ] не содержится ни в одном из [ y _j , y _{j + 1} ] . Вместо этого он может растягиваться на два интервала, определяемых y ₀ , ..., y _m . (Он не может соответствовать трем интервалам, поскольку предполагается, что δ меньше длины любого одного интервала.) В символах может случиться, что

$$y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.$$

(Можно предположить, что все неравенства строгие, потому что в противном случае мы находимся в предыдущем случае в силу нашего предположения о длине δ .) Это может произойти не более m − 1 раз.

Чтобы справиться с этим случаем, мы оценим разницу между суммой Римана и суммой Дарбу, разделив разбиение x ₀ , ..., x _n на y _{j + 1} . Член f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) в сумме Римана распадается на два члена:

$$f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).$$

Предположим, ограничения общности , что t _i ∈ [ yj _, ] yj _{без 1} . + Затем

$$m_{j}<f(t_{i})<M_{j},$$

поэтому этот член ограничен соответствующим членом суммы Дарбу для y _j . Чтобы связать другой термин, обратите внимание, что

$$x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},$$

Отсюда следует, что для некоторого (даже любого) t ^*
_я ∈ [ y _{j + 1} , Икс _{я + 1} ] ,

$$\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.$$

Поскольку это происходит не более m − 1 раз, расстояние между суммой Римана и суммой Дарбу не превышает ε /2 . Следовательно, расстояние между суммой Римана и s не превосходит ε .

Примеры

Позволять $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ — функция, которая принимает значение 1 в каждой точке. Любая сумма Римана f на [0, 1] будет иметь значение 1, поэтому интеграл Римана от f на [0, 1] равен 1.

Позволять $I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$ — индикаторная функция рациональных чисел в [0, 1] ; то есть, $I_{\mathbb {Q} }$ принимает значение 1 для рациональных чисел и 0 для иррациональных чисел. Эта функция не имеет интеграла Римана. Чтобы доказать это, мы покажем, как строить разбиения с тегами, суммы Римана которых сколь угодно близки как к нулю, так и к единице.

Для начала пусть x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} будут тегированным разделом (каждый t _i находится между x _i и x _{i + 1} ). Выберите ε > 0 . t i _в уже выбрано, и мы не можем изменить значение f этих точках. Но если мы разрежем перегородку на мелкие кусочки вокруг каждого t _i , мы сможем минимизировать влияние t _i . Затем, тщательно выбирая новые теги, мы можем добиться того, чтобы значение суммы Римана оказалось в пределах ε от нуля или единицы.

Наш первый шаг — разрезать перегородку. Существует n t i _, и мы хотим, чтобы их общий эффект был меньше ε . Если мы ограничим каждый из них интервалом длины меньше ε / n , то вклад каждого t _i в сумму Римана будет не менее 0 · ε / n и не более 1 · ε / n . Это делает общую сумму не менее нуля и не более ε . Итак, пусть δ будет положительным числом, меньшим, чем ε / n . Если случится так, что два из t _i находятся в пределах δ друг от друга, выберите δ меньше. Если случается, что какой-то t _i находится в пределах δ от некоторого x _j и t _i не равен x _j , выберите δ меньше. Поскольку существует лишь конечное число и _ti x j _, мы всегда можем выбрать δ достаточно малым.

Теперь мы добавим два разреза в разбиение для каждого t _i . Один из разрезов будет в точке t _i − δ /2 , а другой — в точке t _i + δ /2 . Если один из них выходит за пределы интервала [0, 1], мы его опускаем. t _i будет тегом, соответствующим подинтервалу

$$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$$

Если t _i находится непосредственно над одним из x _j , то мы позволяем t _i быть тегом для обоих интервалов:

$$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$$

Нам еще предстоит выбрать теги для остальных подинтервалов. Мы будем выбирать их двумя разными способами. Первый способ — всегда выбирать рациональную точку , чтобы сумма Римана была как можно больше. Это сделает значение суммы Римана не менее 1 − ε . Второй способ — всегда выбирать иррациональную точку, чтобы сумма Римана была как можно меньше. В результате значение суммы Римана не превысит ε .

Поскольку мы начали с произвольного разбиения и в итоге оказались настолько близки, насколько нам хотелось, к нулю или единице, неверно говорить, что мы в конечном итоге оказались в ловушке вблизи некоторого числа s , поэтому эта функция не интегрируема по Риману. Однако оно интегрируемо по Лебегу . В смысле Лебега ее интеграл равен нулю, так как функция почти всюду равна нулю . Но это факт, который находится за пределами интеграла Римана.

Есть и еще худшие примеры. $I_{\mathbb {Q} }$ эквивалентна (т. е. почти всюду равна) функции, интегрируемой по Риману, но существуют неинтегрируемые по Риману ограниченные функции, которые не эквивалентны ни одной интегрируемой по Риману функции. Например, пусть C — множество Смита–Вольтерры–Кантора , а I _C — его индикаторная функция. Поскольку C не измеримо по Жордану , I _C не интегрируемо по Риману. Более того, ни одна функция g, эквивалентная IC _, не является интегрируемой по Риману: g , как и I _C , должна быть равна нулю на плотном множестве, так что, как и в предыдущем примере, любая сумма Римана g имеет уточнение, находящееся в пределах ε от 0 для любого положительное число ε . Но если интеграл Римана от g существует, то он должен равняться интегралу Лебега от I _C , который равен 1/2 . Следовательно, g не интегрируема по Риману.

Похожие концепции

Интеграл Римана принято определять как интеграл Дарбу . Это связано с тем, что интеграл Дарбу технически проще и потому, что функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она интегрируема по Дарбу.

В некоторых книгах по математическому анализу не используются общие разделы с тегами, а ограничиваются определенными типами разделов с тегами. Если тип разделения слишком сильно ограничен, некоторые неинтегрируемые функции могут оказаться интегрируемыми.

Одним из популярных ограничений является использование «левых» и «правых» сумм Римана. В левой сумме Римана t _i = x _i для всех i , а в правой сумме Римана t _i = x _{i + 1} для всех i . Само по себе это ограничение не создает проблемы: мы можем уточнить любое разбиение таким образом, чтобы оно стало левой или правой суммой, разделив его в каждый момент времени t _i . Говоря более формальным языком, набор всех левых сумм Римана и набор всех правых сумм Римана является конфинальным в наборе всех помеченных разбиений.

Еще одно популярное ограничение — использование регулярных подразделений интервала. Например, n- е регулярное подразделение [0, 1] состоит из интервалов

$$\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].$$

Опять же, само по себе это ограничение не создает проблемы, но рассуждения, необходимые для того, чтобы увидеть этот факт, более сложны, чем в случае левых и правых сумм Римана.

Однако объединять эти ограничения так, чтобы использовать только левые или правые суммы Римана на правильно разделенных интервалах, опасно. Если заранее известно, что функция интегрируема по Риману, то этот метод даст правильное значение интеграла. Но в этих условиях индикаторная функция $I_{\mathbb {Q} }$ будет казаться интегрируемой на [0, 1] с интегралом, равным единице: каждая конечная точка каждого подинтервала будет рациональным числом, поэтому функция всегда будет оцениваться с рациональными числами и, следовательно, всегда будет казаться равной единице. Проблема с этим определением становится очевидной, когда мы пытаемся разделить интеграл на две части. Следующее уравнение должно выполняться:

$$\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.$$

Если мы используем регулярные подразделения и левые или правые суммы Римана, то два члена слева будут равны нулю, поскольку каждая конечная точка, кроме 0 и 1, будет иррациональной, но, как мы видели, член справа будет равен 1.

Как определено выше, интеграл Римана позволяет избежать этой проблемы, отказываясь интегрировать $I_{\mathbb {Q} }.$ Интеграл Лебега определяется так, что все эти интегралы равны 0.

Свойства

Линейность

Интеграл Римана представляет собой линейное преобразование; то есть, если f и g интегрируемы по Риману на [ a , b ] , а α и β — константы, то

$$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$

Поскольку интеграл Римана от функции является числом, это делает интеграл Римана линейным функционалом в векторном пространстве функций, интегрируемых по Риману.

Интегрируемость

Ограниченная функция на компактном интервале [ a , b ] интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду (множество ее точек разрыва имеет нулевую меру в смысле меры Лебега ). Это Теорема Лебега-Витали (о характеризации функций, интегрируемых по Риману). Это было независимо доказано Джузеппе Витали и Анри Лебегом в 1907 году и использует понятие нулевой меры , но не использует ни общую меру, ни интеграл Лебега.

Условие интегрируемости можно доказать различными способами: один из которых изображен ниже.

showДоказательство

The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition. One direction can be proven using the oscillation definition of continuity: For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n. If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length). For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable. We now prove the converse direction using the sets Xε defined above. For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed: For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε. Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. Since Xε is compact, there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k. The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k − 1 and possibly for i = k, k + 1 as well). We now show that for every ε > 0, there are upper and lower sums whose difference is less than ε, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a partition of [a, b] as follows: Denote ε1 = ε / 2(b − a) and ε2 = ε / 2(M − m), where m and M are the infimum and supremum of f on [a, b]. Since we may choose intervals {I(ε1)i} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than ε2. Each of the intervals {J(ε1)i} has an empty intersection with Xε1, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than ε1. These neighborhoods consist of an open cover of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of J(ε1)i (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with J(ε1)i). We take the edge points of the subintervals for all J(ε1)i − s, including the edge points of the intervals themselves, as our partition. Thus the partition divides [a, b] to two kinds of intervals: Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some J(ε1)i). In each of these, f oscillates by less than ε1. Since the total length of these is not larger than b − a, they together contribute at most ε 1(b − a) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition. The intervals {I(ε)i}. These have total length smaller than ε2, and f oscillates on them by no more than M − m. Thus together they contribute less than ε 2(M − m) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition. In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than ε, as required.

В частности, любое не более чем счетное множество имеет нулевую меру Лебега , и, следовательно, ограниченная функция (на компактном интервале) с конечным или счетным числом разрывов интегрируема по Риману. Другим достаточным критерием интегрируемости по Риману по [ a , b ] , но который не включает понятие меры, является существование правого (или левого) предела в каждой точке из [ a , b ) (или ( а , б ] ).

Индикаторная функция ограниченного множества интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда это множество измеримо по Жордану . Интеграл Римана можно интерпретировать с точки зрения теории меры как интеграл по жордановой мере.

Если вещественная функция монотонна на интервале [ a , b ], она интегрируема по Риману, поскольку ее набор разрывов не более чем счетен и, следовательно, имеет нулевую меру Лебега. Если вещественная функция на [ a , b ] интегрируема по Риману, она интегрируема по Лебегу . То есть интегрируемость по Риману является более сильным (то есть более трудным для выполнения) условием, чем интегрируемость по Лебегу. Обратное неверно; не все функции, интегрируемые по Лебегу, интегрируемы по Риману.

Теорема Лебега-Витали не подразумевает, что все типы разрывов имеют одинаковый вес на препятствии, что действительнозначная ограниченная функция может быть интегрируема по Риману на [ a , b ] . Фактически, некоторые разрывы совершенно не влияют на интегрируемость функции по Риману — следствие классификации разрывов функции.

Если fn _— последовательность равномерно сходящаяся на [ a , b ] с пределом f Риману всех fn _{, то интегрируемость по} влечет интегрируемость по Риману f , и

$$\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.$$

Однако теорема Лебега о монотонной сходимости (о монотонном поточечном пределе) не справедлива для интегралов Римана. Таким образом, при интегрировании по Риману брать пределы под знаком интеграла гораздо труднее логически обосновать, чем при интегрировании по Лебегу.

Обобщения

Интеграл Римана легко распространить на функции со значениями в евклидовом векторном пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ для любого n . Интеграл определяется покомпонентно; другими словами, если f = ( f ₁ , ..., f _n ) , то

$$\int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).$$

В частности, поскольку комплексные числа представляют собой действительное векторное пространство , это позволяет интегрировать комплексные функции.

Интеграл Римана определяется только на ограниченных интервалах и плохо распространяется на неограниченные интервалы. Простейшим возможным расширением является определение такого интеграла как предела , другими словами, как несобственного интеграла :

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

Это определение несет в себе некоторые тонкости, например, тот факт, что оно не всегда эквивалентно вычислению главного значения Коши.

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.$$

Например, рассмотрим знаковую функцию f ( x ) = sn( x ), которая равна 0 при x = 0 , 1 для x > 0 и −1 для x < 0 . По симметрии,

$$\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0$$

всегда, независимо . от Но есть много способов расширить интервал интегрирования, чтобы заполнить реальную линию, и другие способы могут дать разные результаты; другими словами, многомерный предел не всегда существует. Мы можем вычислить

$${\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}$$

В общем случае этот несобственный интеграл Римана не определен. Даже стандартизация способа приближения интервала к реальной линии не работает, поскольку приводит к тревожно нелогичным результатам. Если мы согласимся (например), что несобственный интеграл всегда должен быть равен

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,$$

тогда интеграл от перевода f ( x − 1) равен −2, поэтому это определение не инвариантно относительно сдвигов, что является крайне нежелательным свойством. Фактически, эта функция не только не имеет несобственного интеграла Римана, но и ее интеграл Лебега еще и не определен (он равен ∞ − ∞ ).

К сожалению, несобственный интеграл Римана недостаточно мощный. Наиболее серьезная проблема состоит в том, что не существует широко применимых теорем коммутации несобственных интегралов Римана с пределами функций. В таких приложениях, как ряд Фурье, важно иметь возможность аппроксимировать интеграл функции, используя интегралы аппроксимации функции. Для собственных интегралов Римана стандартная теорема утверждает, что если f _n — последовательность функций, сходящихся равномерно к f на компактном множестве [ a , b ] , то

$$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

На некомпактных интервалах, таких как реальная линия, это неверно. Например, возьмем f _n ( x ) равным n ⁻¹ на [0, n ] и нуле в другом месте. Для всех n имеем:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.$$

Последовательность ( f _n ) равномерно сходится к нулевой функции, и, очевидно, интеграл от нулевой функции равен нулю. Следовательно,

$$\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.$$

Это показывает, что для интегралов на неограниченных интервалах равномерная сходимость функции недостаточно сильна, чтобы можно было пройти предел через знак интеграла. Это делает интеграл Римана непригодным для применения в приложениях (даже несмотря на то, что интеграл Римана присваивает обеим частям правильное значение), поскольку другого общего критерия замены предела и интеграла Римана не существует, а без такого критерия трудно аппроксимировать интегралы формулами аппроксимируя их подынтегральные выражения.

Лучшим путем является отказ от интеграла Римана в пользу интеграла Лебега . Определение интеграла Лебега, очевидно, не является обобщением интеграла Римана, но нетрудно доказать, что каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема по Лебегу и что значения двух интегралов совпадают, когда они оба определены. Более того, функция f, определенная на ограниченном интервале, интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и множество точек, в которых f разрывна, имеет нулевую меру Лебега.

Интеграл, который на самом деле является прямым обобщением интеграла Римана, — это интеграл Хенстока–Курцвейля .

Другой способ обобщения интеграла Римана — заменить множители x _{k + 1} − x _k в определении суммы Римана чем-то другим; грубо говоря, это дает интервалу интегрирования другое понятие длины. Именно этот подход использует интеграл Римана – Стилтьеса .

В исчислении многих переменных интегралы Римана для функций из $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ являются кратными интегралами .

Сравнение с другими теориями интеграции

Интеграл Римана непригоден для многих теоретических целей. Некоторые технические недостатки интегрирования Римана можно устранить с помощью интеграла Римана-Стилтьеса , а большинство из них исчезают с помощью интеграла Лебега , хотя последний не обеспечивает удовлетворительной обработки несобственных интегралов . Калибровочный интеграл является обобщением интеграла Лебега и в то же время ближе к интегралу Римана. Эти более общие теории допускают интегрирование более «зубчатых» или «сильно осциллирующих» функций, интеграл Римана которых не существует; но теории дают то же значение, что и интеграл Римана, когда он действительно существует.

В образовательных учреждениях интеграл Дарбу предлагает более простое определение, с которым легче работать; его можно использовать для введения интеграла Римана. Интеграл Дарбу определяется всякий раз, когда определяется интеграл Римана, и всегда дает один и тот же результат. И наоборот, калибровочный интеграл является простым, но более мощным обобщением интеграла Римана и побудил некоторых преподавателей выступать за то, чтобы он заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления.

См. также

• Область
• Первообразная
• Интеграция Лебега

Ссылки

• Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN   0-486-63519-8 .
• Апостол, Том (1974), Математический анализ , Аддисон-Уэсли

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с интегралом Римана, на Викискладе?
• «Интеграл Римана» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]