Теорема о монотонной сходимости

В математической области реального анализа теорема о монотонной сходимости представляет собой любую из ряда связанных теорем, доказывающих хорошую сходимость монотонных последовательностей , то есть последовательностей, которые являются невозрастающими или неубывающими . В своей простейшей форме он говорит, что неубывающая ограниченная сверху последовательность действительных чисел $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K$ сходится к своей наименьшей верхней границе, своему супремуму . Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится к своей наибольшей нижней границе, своей нижней грани . В частности, бесконечные суммы неотрицательных чисел сходятся к супремуму частичных сумм тогда и только тогда, когда частичные суммы ограничены.

Для сумм неотрицательных возрастающих последовательностей $0\leq a_{i,1}\leq a_{i,2}\leq \cdots$, там говорится, что взятие суммы и супремума можно поменять местами.

В более продвинутой математике теорема о монотонной сходимости обычно относится к фундаментальному результату теории меры Лебега , и Беппо Леви который гласит, что для последовательностей неотрицательных поточечно возрастающих измеримых функций $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots$, взяв интеграл и супремум, можно поменять местами, и результат будет конечным, если любой из них конечен.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Ограниченные сверху монотонные неубывающие последовательности сходятся в действительных числах, поскольку в них существуют супремумы. Обратите внимание, что это предложение неверно, если рассматривать его в рациональных числах.

Предложение

(A) Для неубывающей и ограниченной сверху последовательности действительных чисел

$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K<\infty ,$

предел $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ существует и равен своему супремуму :

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}a_{n}\leq K.$

(B) Для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности действительных чисел

$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq L>-\infty ,$

предел $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ существует и равен своей нижней грани :

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n}a_{n}\geq L$.

Доказательство

Позволять $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ быть набором значений $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. По предположению, $\{a_{n}\}$ непусто и ограничено сверху $K$. По имеющим наименьшую верхнюю границу , свойству действительных чисел, ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ существует и $c\leq K$. Теперь для каждого $\varepsilon >0$, существует $N$ такой, что $c\geq a_{N}>c-\varepsilon$, поскольку в противном случае $c-\varepsilon$ является строго меньшей верхней границей $\{a_{n}\}$, что противоречит определению супремума $c$. Тогда с тех пор $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ не убывает, и $c$ является верхней границей для каждого $n>N$, у нас есть

$|c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}=|c-a_{N}|<\varepsilon .$

Следовательно, по определению $\lim _{n\to \infty }a_{n}=c=\sup _{n}a_{n}$.

Доказательство части (Б) аналогично или следует из (А) путем рассмотрения $\{-a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$.

Теорема

Если $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является монотонной последовательностью действительных чисел , т. е. если $a_{n}\leq a_{n+1}$ для каждого $n\geq 1$ или $a_{n}\geq a_{n+1}$ для каждого $n\geq 1$, то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограничена .

Доказательство

• «Если»-направление: Доказательство следует непосредственно из предложения.
• Направление «только если»: согласно (ε, δ)-определению предела каждая последовательность $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ с конечным пределом $L$ обязательно ограничено.

Сходимость монотонного ряда

Существует вариант приведенного выше предложения, в котором мы допускаем неограниченные последовательности в расширенных действительных числах, действительные числа с $\infty$ и $-\infty$ добавлен.

${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$

В расширенных действительных числах каждое множество имеет верхнюю грань (соответственно нижнюю грань ), которая, конечно, может быть $\infty$ (соответственно $-\infty$), если множество неограничено. Важным применением расширенных действительных чисел является то, что любой набор неотрицательных чисел $a_{i}\geq 0,i\in I$ имеет четко определенный порядок суммирования, независимую сумму

$\sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,\ |J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

где ${\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}$ являются верхними расширенными неотрицательными действительными числами. Для ряда неотрицательных чисел

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},$

поэтому эта сумма совпадает с суммой ряда, если оба определены. В частности, сумма ряда неотрицательных чисел не зависит от порядка суммирования.

Теорема (монотонная сходимость неотрицательных сумм)

Позволять $a_{i,k}\geq 0$ быть последовательностью неотрицательных действительных чисел, индексированных натуральными числами. $i$ и $k$. Предположим, что $a_{i,k}\leq a_{i,k+1}$ для всех $i,k$. Затем

$\sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.$

Примечание Супремы и суммы могут быть конечными или бесконечными, но левая часть конечна тогда и только тогда, когда правая часть конечна.

доказательство : Поскольку $a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}$ у нас есть $\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}$ так $\sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}$. И наоборот, мы можем поменять местами sup и sum для конечных сумм, так что $\sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}$ следовательно $\sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}$.

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел $a_{i,k}\geq 0$ такой, что

• строки слабо возрастают и каждая ограничена $a_{i,k}\leq K_{i}$ где границы суммируемы $\sum _{i}K_{i}<\infty$

затем

• для каждого столбца неубывающие суммы столбцов $\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum K_{i}$ ограничены, следовательно, сходятся, а предел сумм столбцов равен сумме «предельного столбца». $\sup _{k}a_{i,k}$ какой элемент является супремумом по строке.

В качестве примера рассмотрим расширение

$\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}$

Теперь установите

$a_{i,k}={\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}={\frac {1}{i!}}\cdot {\frac {k}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\cdot \cdots {\frac {k-i+1}{k}}.$

для $i\leq k$ и $a_{i,k}=0$ для $i>k$, затем $0\leq a_{i,k}\leq a_{i,k+1}$ с $\sup _{k}a_{i,k}={\frac {1}{i!}}<\infty$ и

$\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}$.

Правая часть представляет собой неубывающую последовательность $k$, поэтому

$\lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sup _{k}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e$.

Лемма Беппо Леви

Следующий результат является обобщением приведенной выше теоремы о монотонной сходимости неотрицательных сумм на положения теории меры. Это краеугольный камень теории меры и интегрирования, имеющий множество приложений, являются лемма Фату и теорема о доминируемой сходимости прямым следствием которого . Это заслуга Беппо Леви , который в 1906 году доказал небольшое обобщение более раннего результата Анри Лебега .

Позволять $\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ обозначает $\sigma$-алгебра борелевских множеств на расширенных сверху неотрицательных действительных числах $[0,+\infty ]$. По определению, $\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ содержит набор $\{+\infty \}$ и все борелевские подмножества $\mathbb {R} _{\geq 0}.$

Теорема (теорема о монотонной сходимости неотрицательных измеримых функций)

Позволять $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры , и $X\in \Sigma$ измеримый набор. Позволять $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — точечная неубывающая последовательность $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$- измеримые неотрицательные функции, т.е. каждая функция $f_{k}:X\to [0,+\infty ]$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримо и для каждого ${k\geq 1}$ и каждый ${x\in X}$,

$0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .$

Тогда поточечная верхняя грань

$\sup _{k}f_{k}:x\mapsto \sup _{k}f_{k}(x)$

это $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримая функция и

$\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\sup _{k}f_{k}\,d\mu .$

Замечание 1. Интегралы и супремумы могут быть конечными или бесконечными, но левая часть конечна тогда и только тогда, когда конечна правая часть.

Замечание 2. В условиях теоремы

1. $\textstyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)$
2. $\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

(Заметим, что вторая цепочка равенств следует из монотности интеграла (лемма 2 ниже).

Замечание 3. Теорема остается верной, если выполнены ее предположения. $\mu$-почти везде. Другими словами, достаточно того, что существует нулевое множество $N$ такая, что последовательность $\{f_{n}(x)\}$ не уменьшается для каждого ${x\in X\setminus N}.$ Чтобы понять, почему это так, начнем с наблюдения, которое позволяет последовательности $\{f_{n}\}$ точечное неубывание почти всюду приводит к его точечному пределу $f$ быть неопределенным в каком-то нулевом множестве $N$. В этом нулевом наборе $f$ тогда может быть определена произвольно, например, как ноль, или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, заметим, что, поскольку ${\mu (N)=0},$ у нас есть для каждого $k,$

$\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu$ и $\int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,$

при условии, что $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримый. (Эти равенства следуют непосредственно из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорему можно использовать для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату ; однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму. Те, кого не интересует такая независимость доказательства, могут пропустить приведенные ниже промежуточные результаты.

Промежуточные результаты

Нам понадобятся три основные леммы. В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. замечание 4),

Монотонность интеграла Лебега.

лемма 1. пусть функции $f,g:X\to [0,+\infty ]$ быть $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримый.

• Если $f\leq g$ везде на $X,$ затем

$\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .$

• Если $X_{1},X_{2}\in \Sigma$ и $X_{1}\subseteq X_{2},$ затем

$\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .$

Доказательство. Обозначим через $\operatorname {SF} (h)$ набор простых $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримые функции $s:X\to [0,\infty )$ такой, что $0\leq s\leq h$ везде на $X.$

1. Поскольку $f\leq g,$ у нас есть $\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g),$ следовательно

$\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .$

2. Функции $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}},f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}},$ где ${\mathbf {1} }_{X_{i}}$ – индикаторная функция $X_{i}$, как легко видеть, измеримы и $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}}$. Теперь примените 1 .

Интеграл Лебега как мера

Лемма 2. Пусть $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть измеримым пространством. Рассмотрим простой $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримая неотрицательная функция $s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}$. Для измеримого подмножества $S\in \Sigma$, определять

$\nu _{s}(S)=\int _{S}s\,d\mu .$

Затем $\nu _{s}$ это мера по $(\Omega ,\Sigma )$.

доказательство (лемма 2)

Писать $s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}},$с $c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}$ и измеримые множества $A_{k}\in \Sigma$. Затем

$\nu _{s}(S)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (S\cap A_{k}).$

Поскольку конечные положительные линейные комбинации счетно-аддитивных функций множества счетно-аддитивны, для доказательства счетной аддитивности $\nu _{s}$ достаточно доказать, что функция множества, определенная формулой $\nu _{A}(S)=\mu (A\cap S)$ является счетно-аддитивным для всех $A\in \Sigma$. Но это следует непосредственно из счетной аддитивности $\mu$.

Непрерывность снизу

Лемма 3. Пусть $\mu$ быть мерой, и $S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}$, где

$S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S$

— неубывающая цепь со всеми своими множествами $\mu$-измеримый. Затем

$\mu (S)=\sup _{i}\mu (S_{i}).$

доказательство (лемма 3)

Набор $S_{0}=\emptyset$, затем мы разлагаем $S=\coprod _{1\leq i}S_{i}\setminus S_{i-1}$ как счетное дизъюнктное объединение измеримых множеств и аналогично $S_{k}=\coprod _{1\leq i\leq k}S_{i}\setminus S_{i-1}$ как конечное дизъюнктное объединение. Поэтому $\mu (S_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})$, и $\mu (S)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})$ так $\mu (S)=\sup _{k}\mu (S_{k})$.

Доказательство теоремы

Набор $f=\sup _{k}f_{k}$.Обозначим через $\operatorname {SF} (f)$ набор простых $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримые функции $s:X\to [0,\infty )$ ( $\infty$ и не включен!) такой, что $0\leq s\leq f$ на $X$.

Шаг 1. Функция $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$– измеримый, а интеграл $\textstyle \int _{X}f\,d\mu$ четко определен (хотя, возможно, бесконечен)

От $0\leq f_{k}(x)\leq \infty$ мы получаем $0\leq f(x)\leq \infty$. Следовательно, мы должны показать, что $f$ является $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$-измеримый. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что $f^{-1}([0,t])$ является $\Sigma$-измеримо для всех $0\leq t\leq \infty$, поскольку интервалы $[0,t]$ сгенерировать сигма-алгебру Бореля на расширенных неотрицательных действительных числах $[0,\infty ]$ дополняя и беря счетные пересечения, дополнения и счетные объединения.

Теперь, поскольку $f_{k}(x)$ является неубывающей последовательностью, $f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t$ тогда и только тогда, когда $f_{k}(x)\leq t$ для всех $k$. Поскольку мы уже знаем, что $f\geq 0$ и $f_{k}\geq 0$ мы заключаем, что

$f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t]).$

Следовательно $f^{-1}([0,t])$ представляет собой измеримое множество, являющееся счетным пересечением измеримых множеств $f_{k}^{-1}([0,t])$.

С $f\geq 0$ интеграл корректно определен (но, возможно, бесконечен) как

$\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}\int _{X}s\,d\mu$.

Шаг 2. Имеем неравенство

$\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu$

Это эквивалентно $\int _{X}f_{k}(x)\,d\mu \leq \int _{X}f(x)\,d\mu$ для всех $k$ что следует непосредственно из $f_{k}(x)\leq f(x)$ и «монотонность интеграла» (лемма 1).

Шаг 3. Имеем обратное неравенство

$\int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$.

По определению интеграла как супремума шаг 3 эквивалентен

$\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$

для каждого $s\in \operatorname {SF} (f)$. Соблазнительно доказать $\int _{X}s\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu$ для $k>K_{s}$ достаточно большой, но это не работает, например, если $f$ сам по себе прост и $f_{k}<f$. Однако мы можем получить «эпсилон пространства», чтобы маневрировать и избежать этой проблемы. Шаг 3 также эквивалентен

$(1-\varepsilon )\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu$

для каждой простой функции $s\in \operatorname {SF} (f)$ и каждый $0<\varepsilon \ll 1$где для равенства мы использовали, что левая часть неравенства представляет собой конечную сумму. Это мы докажем.

Данный $s\in \operatorname {SF} (f)$ и $0<\varepsilon \ll 1$, определять

$B_{k}^{s,\varepsilon }=\{x\in X\mid (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.$

Мы претендуем на наборы $B_{k}^{s,\varepsilon }$ иметь следующие свойства:

1. $B_{k}^{s,\varepsilon }$ является $\Sigma$-измеримый.
2. $B_{k}^{s,\varepsilon }\subseteq B_{k+1}^{s,\varepsilon }$
3. $X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,\varepsilon }$

Предполагая утверждение, по определению $B_{k}^{s,\varepsilon }$ и «монотонность интеграла Лебега» (лемма 1) имеем

$\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu .$

Отсюда по «интегралу Лебега простой функции как меры» (лемма 2) и «непрерывности снизу» (лемма 3) получаем:

$\sup _{k}\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$

что мы и намеревались доказать. Таким образом, осталось доказать утверждение.

Объявление 1: Напишите $s=\sum _{1\leq i\leq m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}$, для неотрицательных констант $c_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$и измеримые множества $A_{i}\in \Sigma$, которые, как мы можем предположить, попарно не пересекаются и имеют объединение $\textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}$. Тогда для $x\in A_{i}$ у нас есть $(1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)$ тогда и только тогда, когда $f_{k}(x)\in [(1-\varepsilon )c_{i},\,\infty ],$ так

$B_{k}^{s,\varepsilon }=\coprod _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[(1-\varepsilon )c_{i},\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}$

которое измеримо, поскольку $f_{k}$ измеримы.

Объявление 2: Для $x\in B_{k}^{s,\varepsilon }$ у нас есть $(1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)$ так $x\in B_{k+1}^{s,\varepsilon }.$

Объявление 3: Исправьте $x\in X$. Если $s(x)=0$ затем $(1-\varepsilon )s(x)=0\leq f_{1}(x)$, следовательно $x\in B_{1}^{s,\varepsilon }$. В противном случае, $s(x)>0$ и $(1-\varepsilon )s(x)<s(x)\leq f(x)=\sup _{k}f(x)$ так $(1-\varepsilon )s(x)<f_{N_{x}}(x)$ для $N_{x}$достаточно велик, поэтому $x\in B_{N_{x}}^{s,\varepsilon }$.

Доказательство теоремы о монотонной сходимости завершено.

Ослабление предположения о монотонности

При гипотезах, аналогичных теореме Беппо Леви, можно ослабить гипотезу монотонности. Как и раньше, пусть $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры и $X\in \Sigma$. Снова, $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ будет представлять собой последовательность $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$- измеримые неотрицательные функции $f_{k}:X\to [0,+\infty ]$. Однако мы не предполагаем, что они точечно не убывают. Вместо этого мы предполагаем, что ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ сходится почти для каждого $x$, мы определяем $f$ быть поточечным пределом $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$, и мы дополнительно предполагаем, что $f_{k}\leq f$ точечно почти везде для всех $k$. Затем $f$ является $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-измеримый, -и ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ существует, и $$\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .$$

Доказательство на основе леммы Фату.

Доказательство также может быть основано на лемме Фату вместо прямого доказательства, как указано выше, поскольку лемму Фату можно доказать независимо от теоремы о монотонной сходимости. Однако теорема о монотонной сходимости в некотором смысле более примитивна, чем лемма Фату. Это легко следует из теоремы о монотонной сходимости, а доказательство леммы Фату аналогично и, возможно, немного менее естественно, чем доказательство, приведенное выше.

Как и ранее, измеримость следует из того, что ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ почти везде. Тогда замена пределов и интегралов является простым следствием леммы Фату. У одного есть $$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu$$ по лемме Фату, а затем по стандартным свойствам пределов и $\int f_{k}\,d\mu \leq \int fd\mu$ (монотонность), $$\liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .$$ Поэтому $$\int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .$$

См. также

• Бесконечная серия
• Теорема о доминируемой сходимости