Несобственный интеграл

Несобственный интеграл Римана первого рода, где область в плоскости, подразумеваемая интегралом, бесконечна по горизонтали. Площадь такой области, которую представляет интеграл, может быть конечной (как здесь) или бесконечной.

Несобственный интеграл Римана второго рода, где подразумеваемая область бесконечна по вертикали. Область может иметь как конечную (как здесь), так и бесконечную площадь.

В математическом анализе несобственный интеграл — это расширение понятия определенного интеграла на случаи, которые нарушают обычные предположения для такого рода интеграла. В контексте интегралов Римана (или, что то же самое, интегралов Дарбу ) это обычно предполагает неограниченность либо множества, по которому берется интеграл, либо подынтегральной функции (интегрируемой функции), либо того и другого. Оно может также включать ограниченные, но не замкнутые множества или ограниченные, но не непрерывные функции . Хотя несобственный интеграл обычно записывается символически, как и стандартный определенный интеграл, на самом деле он представляет собой предел определенного интеграла или сумму таких пределов; поэтому говорят, что несобственные интегралы сходятся или расходятся. Если правильный определенный интеграл (который ретронимически можно назвать правильным интегралом ) вычисляется так, как если бы он был несобственным, результат будет тот же.

В простейшем случае вещественной функции одной переменной, интегрированной в смысле Римана (или Дарбу) на одном интервале, несобственные интегралы могут иметь любую из следующих форм:

1. $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$
2. $\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx$
3. $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx$
4. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$, где $f(x)$ неопределенно или прерывисто где-то на $[a,b]$

Первые три формы несобственны, поскольку интегралы берутся по неограниченному интервалу. (Они могут быть неправильными и по другим причинам, как объяснено ниже.) Такой интеграл иногда описывается как принадлежащий к «первому» типу или виду, если подынтегральная функция в остальном удовлетворяет предположениям интегрирования. Интегралы четвертой формы, несобственные, поскольку $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту где-то на интервале $[a,b]$ можно охарактеризовать как принадлежащий ко «второму» типу или виду. Интегралы, сочетающие в себе аспекты обоих типов, иногда описываются как относящиеся к «третьему» типу или виду.

В каждом приведенном выше случае несобственный интеграл необходимо переписать с использованием одного или нескольких пределов, в зависимости от того, что делает интеграл несобственным. Например, в случае 1, если $f(x)$ непрерывна на всем интервале $[a,\infty )$, затем

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

За предел справа принимается определение интегральной записи слева.

Если $f(x)$ является непрерывным только $(a,\infty )$ и не в $a$ сам по себе, то обычно это переписывается как

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,$

на любой выбор $c>a$. Здесь оба предела должны сходиться к конечному значению, чтобы можно было сказать, что несобственный интеграл сходится. Это требование позволяет избежать неоднозначного случая сложения положительных и отрицательных бесконечностей (т.е. $\infty -\infty$« неопределенная форма »). В качестве альтернативы можно использовать повторяющийся предел или одиночный предел, основанный на основном значении Коши .

Если $f(x)$ постоянно включен $[a,d)$ и $(d,\infty )$, с разрывом любого рода в $d$, затем

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,$

на любой выбор $c>d$. Предыдущие замечания о неопределенных формах, повторяющихся пределах и главном значении Коши также применимы и здесь.

Функция $f(x)$ может иметь больше разрывов, и в этом случае потребуется еще больше пределов (или более сложное выражение главного значения).

Случаи 2–4 рассматриваются аналогично. См. примеры ниже.

Несобственные интегралы также можно оценивать в контексте комплексных чисел, в более высоких измерениях и в других теоретических основах, таких как интегрирование Лебега или интегрирование Хенстока-Курцвейля . Интегралы, которые считаются неправильными в одной системе, могут не быть неправильными в других.

Примеры

Исходное определение интеграла Римана неприменимо к такой функции, как $1/{x^{2}}$ на отрезке [1, ∞) , поскольку в этом случае область интегрирования неограничена . Однако интеграл Римана часто можно расширить за счет непрерывности , определив вместо этого несобственный интеграл как предел.

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.$

Узкое определение интеграла Римана также не охватывает функцию ${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$ на интервале [0, 1] . Проблема здесь в том, что подынтегральная функция неограничена в области интегрирования. Другими словами, определение интеграла Римана требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральная функция были ограничены . Однако несобственный интеграл действительно существует, если понимать его как предел

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.$

Несобственный интеграл
$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$
имеет неограниченные интервалы как для домена, так и для диапазона.

Иногда интегралы могут иметь две особенности, в которых они несобственны. Рассмотрим, например, функцию 1/(( x + 1) √ x ), проинтегрированную от 0 до ∞ (показано справа). На нижней границе области интегрирования, когда x стремится к 0, функция переходит в ∞ , а верхняя граница сама равна ∞ , хотя функция стремится к 0. Таким образом, это дважды несобственный интеграл. Проинтегрировав, скажем, от 1 до 3, обычной суммы Римана достаточно, чтобы получить результат π /6. Для интегрирования от 1 до ∞ сумма Римана невозможна. Однако любая конечная верхняя граница, скажем, t (при t > 1 ), дает четко определенный результат: 2 arctan( √ t ) − π/2 . Оно имеет конечный предел, когда t стремится к бесконечности, а именно π /2. Точно так же интеграл от 1/3 до 1 также позволяет получить сумму Римана, что по совпадению снова дает π /6. Замена 1/3 произвольным положительным значением s (при s < 1 ) одинаково безопасна и дает π/2 - 2 arctan( √ s ) . Оно также имеет конечный предел при стремлении s к нулю, а именно π /2. Объединив пределы двух фрагментов, результат этого несобственного интеграла:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}$

Этот процесс не гарантирует успеха; предел может не существовать или может быть бесконечным. Например, на ограниченном интервале от 0 до 1 интеграл от 1/ x не сходится; и на неограниченном интервале от 1 до ∞ интеграл от 1/ √ x не сходится.

Несобственный интеграл
$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=6$
сходится, поскольку существуют как левый, так и правый пределы, хотя подынтегральная функция неограничена вблизи внутренней точки.

Также может случиться так, что подынтегральная функция не ограничена вблизи внутренней точки, и в этом случае интеграл необходимо разделить в этой точке. Чтобы интеграл в целом сходился, предельные интегралы с обеих сторон должны существовать и быть ограниченными. Например:

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}$

Но аналогичный интеграл

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

не может быть присвоено значение таким образом, поскольку интегралы выше и ниже нуля в области целочисления не сходятся независимо. (Однако см. главное значение Коши .)

Сходимость интеграла

Несобственный интеграл сходится, если существует определяющий его предел. Так, например, говорят, что несобственный интеграл

$\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx$

существует и равен L если интегралы по пределу существуют для всех достаточно больших t и значение предела равно L. ,

Также возможно, что несобственный интеграл будет стремиться к бесконечности. В этом случае можно присвоить интегралу значение ∞ (или −∞). Например

$\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .$

Однако другие несобственные интегралы могут просто не расходиться ни в каком конкретном направлении, например

$\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,$

которого не существует, даже как расширенное действительное число . Это называется дивергенцией за счет колебаний.

Ограничением метода неправильного интегрирования является то, что предел необходимо принимать по отношению к одной конечной точке за раз. Так, например, несобственный интеграл вида

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx$

может быть определен путем принятия двух отдельных пределов; к которому

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

при условии, что двойной предел конечен. Его также можно определить как пару различных несобственных интегралов первого рода:

$\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx$

где c — любая удобная точка, с которой можно начать интегрирование. Это определение также применимо, когда один из этих интегралов бесконечен или оба, если они имеют одинаковый знак.

Примером несобственного интеграла, у которого обе конечные точки бесконечны, является интеграл Гаусса. ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$. Пример, который оценивается до бесконечности: ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$. Но нельзя однозначно определить даже другие интегралы такого рода, например ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$, поскольку двойной предел бесконечен и метод двух интегралов

$\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx$

дает неопределенную форму , $\infty -\infty$. Однако в этом случае можно определить несобственный интеграл в смысле главного значения Коши :

$\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.$

При определении несобственного интеграла необходимо ответить на следующие вопросы:

• Существует ли предел?
• Можно ли вычислить лимит?

Первый вопрос — это вопрос математического анализа . Второй вопрос можно решить с помощью методов исчисления, а также, в некоторых случаях, с помощью контурного интегрирования , преобразования Фурье и других более продвинутых методов.

Виды интегралов

Существует более одной теории интеграции . С точки зрения исчисления, интегральная теория Римана обычно считается теорией по умолчанию. При использовании несобственных интегралов может иметь значение, какая теория интегрирования используется.

• Для интеграла Римана (или интеграла Дарбу эквивалентного ему ) несобственное интегрирование необходимо как для неограниченных интервалов (поскольку нельзя разделить интервал на конечное число подинтервалов конечной длины), так и для неограниченных функций с конечным интегралом (поскольку если предположить, что он неограничен сверху, то верхний интеграл будет бесконечным, а нижний — конечным).
• Интеграл Лебега по-разному относится к неограниченным областям и неограниченным функциям, так что часто интеграл, который существует только как несобственный интеграл Римана, будет существовать как (собственный) интеграл Лебега, например ${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$. С другой стороны, существуют также интегралы, которые имеют несобственный интеграл Римана, но не имеют (собственного) интеграла Лебега, например ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$. Теория Лебега не видит в этом недостатка: с точки зрения теории меры , ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$ и не может быть определено удовлетворительно. Однако в некоторых ситуациях может быть удобно использовать несобственные интегралы Лебега, как, например, при определении главного значения Коши . Интеграл Лебега более или менее важен в теоретической трактовке преобразования Фурье с повсеместным использованием интегралов по всей действительной линии.
• Для интеграла Хенстока-Курцвейля несобственное интегрирование не является необходимым , и это рассматривается как сильная сторона теории: она охватывает все интегрируемые по Лебегу и несобственные интегрируемые по Риману функции.

Несобственные интегралы Римана и интегралы Лебега

Рисунок 1

Рисунок 2

В некоторых случаях интеграл

$\int _{a}^{c}f(x)\ dx$

может быть определен как интеграл ( например, интеграл Лебега ) без ссылки на предел

$\lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

но иначе его невозможно вычислить. Это часто происходит, когда функция f, интегрированная от a до c, имеет вертикальную асимптоту в точке c или если c = ∞ (см. рисунки 1 и 2). В таких случаях несобственный интеграл Римана позволяет вычислить интеграл Лебега функции. В частности, имеет место следующая теорема ( Апостол 1974 , теорема 10.33):

• Если функция f интегрируема по Риману на [ a , b ] для любого b ≥ a и частичные интегралы

$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

ограничены при b → ∞, то несобственные интегралы Римана

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx$

оба существуют. Более того, f интегрируема по Лебегу на [ a , ∞), и ее интеграл Лебега равен ее несобственному интегралу Римана.

Например, интеграл

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}$

можно интерпретировать альтернативно как несобственный интеграл

$\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},$

или вместо этого его можно интерпретировать как интеграл Лебега по множеству (0, ∞). Поскольку оба этих вида интеграла согласуются, можно свободно выбрать первый метод вычисления значения интеграла, даже если в конечном итоге хочется рассматривать его как интеграл Лебега. Таким образом, несобственные интегралы явно являются полезным инструментом для получения действительных значений интегралов.

Однако в других случаях интеграл Лебега между конечными концами может даже не быть определен, поскольку интегралы от положительной и отрицательной частей f оба бесконечны, но несобственный интеграл Римана все еще может существовать. Такие случаи представляют собой «собственно несобственные» интегралы, т. е. их значения не могут быть определены, кроме как в таких пределах. Например,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx$

нельзя интерпретировать как интеграл Лебега, поскольку

$\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .$

Но $f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ тем не менее, интегрируема между любыми двумя конечными концами, и ее интеграл между 0 и ∞ обычно понимается как предел интеграла:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Особенности

Можно говорить об особенностях несобственного интеграла, имея в виду те точки расширенной действительной числовой прямой, в которых применяются пределы.

Основная ценность Коши

Основная статья: Основная ценность Коши

Рассмотрим разницу значений двух пределов:

$\lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,$

$\lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.$

Первое является главным значением Коши нечетко определенного выражения.

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Аналогично, мы имеем

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,$

но

$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$

Первое является основным значением нечетко определенного выражения.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Все перечисленные пределы являются случаями неопределенной формы. $\infty -\infty$.

Эти патологии не затрагивают «интегрируемые по Лебегу» функции, то есть функции, интегралы от которых по модулю конечны.

Суммируемость

Несобственный интеграл может расходиться в том смысле, что определяющий его предел может не существовать. В этом случае существуют более сложные определения предела, которые могут дать сходящееся значение несобственного интеграла. Это так называемые методы суммирования .

Одним из методов суммирования, популярным в анализе Фурье , является метод суммирования Чезаро . Интеграл

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$

суммируема по Цезарю ( C , α ), если

$\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx$

существует и конечен ( Титчмарш 1948 , §1.15). Значение этого предела, если он существует, представляет собой (C, α) сумму интеграла.

Интеграл является (C, 0) суммируемым именно тогда, когда он существует как несобственный интеграл. Однако существуют интегралы, суммируемые (C, α) при α > 0, которые не сходятся как несобственные интегралы (в смысле Римана или Лебега). Одним из примеров является интеграл

$\int _{0}^{\infty }\sin x\,dx$

который не может существовать как несобственный интеграл, но является (C, α ) суммируемым для любого α > 0. Это целая версия ряда Гранди .

Многомерные несобственные интегралы

Несобственный интеграл можно определить и для функций нескольких переменных. Определение немного отличается в зависимости от того, требуется ли интегрирование в неограниченной области, например $\mathbb {R} ^{2}$, или интегрирует функцию с особенностями, например $f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)$.

Несобственные интегралы по произвольным областям

Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любому компактному кубу вида $[-a,a]^{n}$, для $a>0$, то несобственный интеграл от f по $\mathbb {R} ^{n}$ определяется как предел

$\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,$

при условии, что он существует.

Функция в произвольной области A в $\mathbb {R} ^{n}$ расширяется до функции ${\tilde {f}}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ на ноль вне A :

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}$

Интеграл Римана функции в ограниченной области A тогда определяется как интеграл расширенной функции ${\tilde {f}}$ над кубом $[-a,a]^{n}$ содержащий А :

$\int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.$

В более общем смысле, если A неограничен, то несобственный интеграл Римана по произвольной области в $\mathbb {R} ^{n}$ определяется как предел:

$\int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.$

Несобственные интегралы с особенностями

Если f — неотрицательная функция, неограниченная в области A , то несобственный интеграл f определяется путем усечения f на некоторой границе M , интегрирования полученной функции и последующего достижения предела, когда M стремится к бесконечности. Это для $M>0$, набор $f_{M}=\min\{f,M\}$. Затем определите

$\int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}$

при условии, что этот предел существует.

Функции как с положительными, так и с отрицательными значениями

Эти определения применимы к неотрицательным функциям. Более общую функцию f можно разложить как разность ее положительной части $f_{+}=\max\{f,0\}$ и отрицательная часть $f_{-}=\max\{-f,0\}$, так

$f=f_{+}-f_{-}$

с $f_{+}$ и $f_{-}$ обе неотрицательные функции. Функция f имеет несобственный интеграл Римана, если каждый из $f_{+}$ и $f_{-}$ имеет один, и в этом случае значение этого несобственного интеграла определяется выражением

$\int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.$

Чтобы существовать в этом смысле, несобственный интеграл обязательно сходится абсолютно, поскольку

$\int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.$

Библиография

• Апостол, Т (1974), Математический анализ , Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-00288-1 .
• Апостол, Т (1967), Исчисление, Vol. 1 (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья .
• Аутар Кау, Эгву Калу (2008), Численные методы с приложениями (1-е изд.), autarkaw.com
• Титчмарш, Э. (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN  978-0-8284-0324-5 .
• Купер, Джеффри (2005), Рабочий анализ , Gulf Professional
• Горпаде, Судхир; Лимай, Балмохан (2010), Курс многомерного исчисления и анализа , Springer

Внешние ссылки

• Численные методы решения несобственных интегралов в Институте целостных численных методов