Интеграл Хенстока – Курцвейла

В математике интеграл Хенстока -Курцвейла или обобщенный интеграл Римана или калибровочный интеграл , также известный как (узкий) интеграл Данжуа (произносится [dɑ̃ˈʒwa] ), интеграл Люзина или интеграл Перрона , но не следует путать с более общим широким интегралом Данжуа. ряда неэквивалентных определений интеграла функции – одно из . Это обобщение интеграла Римана и в некоторых ситуациях более общее, чем интеграл Лебега . В частности, функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция и ее абсолютное значение интегрируемы по Хенстоку – Курцвейлю.

Этот интеграл был впервые определен Арно Данжуа (1912). Денжуа интересовало определение, которое позволило бы интегрировать такие функции, как

$$f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).$$

Эта функция имеет особенность в точке 0 и не интегрируема по Лебегу. Однако кажется естественным вычислить его интеграл, за исключением интервала [− ε , δ ], и тогда положить ε , δ → 0 .

Пытаясь создать общую теорию, Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, что весьма усложняло определение. Другие определения были даны Николаем Лузиным (с использованием вариаций понятия абсолютной непрерывности ) и Оскаром Перроном , который интересовался непрерывными основными и второстепенными функциями. Потребовалось некоторое время, чтобы понять, что интегралы Перрона и Данжуа на самом деле идентичны.

Позже, в 1957 году, чешский математик Ярослав Курцвейл открыл новое определение этого интеграла, элегантно похожее по своей природе на калибровочным первоначальное определение Римана, которое Курцвейл назвал интегралом . В 1961 году Ральф Хенсток независимо представил аналогичный интеграл, расширивший теорию, сославшись на свои исследования расширений Уорда к интегралу Перрона. Благодаря этим двум важным вкладам он теперь широко известен как интеграл Хенстока-Курцвейла . Простота определения Курцвейла побудила некоторых преподавателей выступить за то, чтобы этот интеграл заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления .

Определение

Следуя Бартлу (2001) , учитывая помеченный раздел P из [ a , b ] , то есть $$a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b$$вместе с тегом каждого подинтервала, определяемым как точка $$t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],$$мы определяем сумму Римана для функции $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ быть $$\sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.$$где $\Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.$ Это сумма длин каждого подинтервала ( $\Delta u_{i}$), умноженный на функцию, вычисляемую в теге этого подинтервала ( $f(t_{i})$) .

Учитывая положительную функцию $$\delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),$$которое мы называем калибровкой , мы говорим, что помеченное разбиение P является $\delta$-хорошо, если $$(\forall i\in \{1,\dots ,n\})\ (\ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]).$$

Теперь мы определяем число I как интеграл Хенстока–Курцвейла от f , если для каждого ε > 0 существует калибровка $\delta$ такой, что всякий раз, P когда $\delta$-хорошо, у нас есть $$\left\vert I-\sum _{P}f\right\vert <\varepsilon .$$

Если такой I существует, мы говорим, что f интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлю на [ a , b ] .

Теорема Кузена утверждает, что для любой калибровки $\delta$, такой $\delta$-тонкий раздел P существует, поэтому это условие не может быть удовлетворено просто так . Интеграл Римана можно рассматривать как частный случай, когда мы допускаем только постоянные калибровки.

Характеристики

Пусть f : [ a , b ] → R — любая функция.

Учитывая a < c < b , f интегрируемо по Хенстоку-Курцвейлу на [ a , b ] тогда и только тогда, когда оно интегрируемо по Хенстоку-Курцвейлу как на [ a , c ], так и на [ c , b ] ; в этом случае ( Бартл 2001 , 3.7), $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$$

Интегралы Хенстока – Курцвейла линейны : при данных суммируемых функциях f , g и действительных числах α , β выражение αf + βg интегрируемо ( Бартл 2001 , 3.1); например, $$\int _{a}^{b}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$

Если f интегрируема по Риману или Лебегу, то она также интегрируема по Хенстоку – Курцвейлю, и вычисление этого интеграла дает один и тот же результат для всех трех формулировок. Важная теорема Хака ( Бартл 2001 , 12.8) утверждает, что $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx$$

всякий раз, когда существует какая-либо часть уравнения, а также симметрично для нижней границы интегрирования. Это означает, что если f « неправильно интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлу», то оно правильно интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлю; в частности, несобственные интегралы Римана или Лебега таких типов, как $$\int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx$$

также являются собственными интегралами Хенстока–Курцвейля. Изучать «несобственный интеграл Хенстока – Курцвейла» с конечными границами не имело бы смысла. Однако имеет смысл рассматривать несобственные интегралы Хенстока–Курцвейля с бесконечными границами, такие как $$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

Для многих типов функций интеграл Хенстока–Курцвейля не более общий, чем интеграл Лебега. Например, если f ограничено : , компактной опорой следующие условия эквивалентны

• f интегрируемо по Хенстоку–Курцвейлу,
• f интегрируемо по Лебегу,
• f измерима по Лебегу .

В общем, каждая интегрируемая функция Хенстока – Курцвейла измерима, и f интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда и f , и | ж | интегрируемы по Хенстоку–Курцвейлу. Это означает, что интеграл Хенстока – Курцвейля можно рассматривать как « неабсолютно сходящуюся версию интеграла Лебега». Это также означает, что интеграл Хенстока – Курцвейла удовлетворяет соответствующим версиям теоремы о монотонной сходимости (без требования, чтобы функции были неотрицательными) и теореме о доминируемой сходимости (где условие доминирования ослаблено до g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤ h ( x ) для некоторых интегрируемых g , h ).

Если F дифференцируемо F всюду (или со счетным числом исключений), производная F ′ интегрируема по Хенстоку–Курцвейлу, а ее неопределенный интеграл Хенстока–Курцвейля равен . (Обратите внимание, что F ′ не обязательно должна быть интегрируемой по Лебегу.) Другими словами, мы получаем более простую и удовлетворительную версию второй фундаментальной теоремы исчисления : каждая дифференцируемая функция с точностью до константы является интегралом своей производной: $$F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.$$

И наоборот , теорема дифференцирования Лебега продолжает выполняться для интеграла Хенстока-Курцвейля: если f интегрируемо по Хенстоку-Курцвейлю на [ a , b ] и

$$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,$$

тогда F ′( x ) = f ( x ) почти всюду в [ a , b ] (в частности, F дифференцируемо почти всюду).

Пространство всех интегрируемых по Хенстоку–Курцвейлю функций часто наделено нормой Алексевича , относительно которой оно бочоночное , но неполное .

Утилита

Калибровочный интеграл имеет повышенную полезность по сравнению с интегралом Римана в том смысле, что калибровочный интеграл любой функции f : [ a , b ] → R , которая имеет постоянное значение c, за исключением, возможно, счетного числа точек. $C=\{c_{i}:i\in \mathbb {N} \}$ можно рассчитать. Рассмотрим, например, кусочную функцию $$f(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and rational,}}\\1,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and irrational}}\end{cases}}$$что равно единице минус функция Дирихле на отрезке.

Эту функцию невозможно проинтегрировать с помощью интеграла Римана, поскольку невозможно сделать интервалы $[u_{i-1},u_{i}]$ достаточно мал, чтобы инкапсулировать изменяющиеся значения f ( x ) с характером отображения $\delta$-тонкие тегированные разделы.

Значение описанного выше типа интеграла равно $c(b-a)$, где c — постоянное значение функции, а a, b — конечные точки функции. Чтобы продемонстрировать это, позвольте $\varepsilon >0$ дать и позволить $D=\{(z_{j},J_{j}):1\leq j\leq n\}$ быть $\delta$-тонкий тегированный раздел $[0,1]$ с тегами $z_{j}$ и интервалы $J_{j}$, и пусть $f(t)$ — кусочная функция, описанная выше. Учтите, что $$\left|\sum f(z_{j})l(J_{j})-1(1-0)\right|=\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|$$где $l(J_{j})$ представляет длину интервала $J_{j}$. Обратите внимание, что эта эквивалентность устанавливается потому, что суммирование последовательных разностей длин всех интервалов $J_{j}$ равна длине интервала (или $(1-0)$).

По определению калибровочного интеграла мы хотим показать, что приведенное выше уравнение меньше любого заданного $\varepsilon$. Это приводит к двум случаям:

Случай 1: $z_{j}\notin C$ (Все теги $D$ иррациональны ) :

Если ни один из тегов отмеченного раздела $D$ рациональны то , $f(z_{j})$ всегда будет 1 по определению $f(t)$, значение $f(z_{j})-1=0$. Если этот член равен нулю, то для любой длины интервала будет верно следующее неравенство: $$\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \varepsilon ,$$

Итак, в данном случае 1 — это интеграл от $f(t)$.

Случай 2: $z_{k}=c_{k}$ (Некоторые теги $D$ рационально):

Если тег $D$ рационально, то функция, вычисленная в этой точке, будет равна 0, что является проблемой. Поскольку мы знаем $D$ является $\delta$-хорошо, неравенство $$\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \left|\sum [f(z_{j})-1]l(\delta (c_{k}))\right|$$ выполняется, поскольку длина любого интервала $J_{j}$ короче своего покрытия по определению бытия $\delta$-отлично. Если мы сможем построить датчик $\delta$ из правой части неравенства, то мы можем показать, что выполняются критерии существования интеграла.

Для этого позвольте $\gamma _{k}=\varepsilon /[f(c_{k})-c]2^{k+2}$ и установите наши датчики покрытия $\delta (c_{k})=(c_{k}-\gamma _{k},c_{k}+\gamma _{k})$, что делает $$\left|\sum [f(z_{j})-c]l(J_{j})\right|<\varepsilon /2^{k+1}.$$

Из этого у нас есть это $$\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq 2\sum \varepsilon /2^{k+1}=\varepsilon$$

Потому что $$2\sum 1/2^{k+1}=1$$ как геометрический ряд . Это указывает на то, что в данном случае 1 является интегралом от $f(t)$.

Поскольку случаи 1 и 2 являются исчерпывающими, это показывает, что интеграл от $f(t)$ равно 1, и все свойства из приведенного выше раздела сохраняются.

Интеграл МакШейна

интеграл Лебега Аналогичным образом можно представить и на прямой.

Если мы возьмем определение интеграла Хенстока–Курцвейла сверху и отбросим условие

$$t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],$$

тогда мы получим определение интеграла МакШейна , которое эквивалентно интегралу Лебега. Обратите внимание, что условие

$$\forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]$$

по-прежнему применимо, и технически мы также требуем ${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$ для ${\textstyle f(t_{i})}$ быть определены.

См. также

• Интеграл Пфеффера
• Основная ценность Коши
• Интеграл конечной части Адамара

Ссылки

Общий

• Бартл, Роберт Г. (2001). Современная теория интеграции . Аспирантура по математике . Том. 32. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0845-0 .
• Современная теория интеграции в 21 веке
• Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1999). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-32148-4 .
• Челидзе, В.Г.; Джваршешвили, А.Г. (1989). Теория интеграла Данжуа и некоторые приложения . Серия реального анализа. Том. 3. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-02-0021-3 .
• Дас, АГ (2008). Римана, Лебега и обобщенные интегралы Римана . Издательство Нароса. ISBN  978-81-7319-933-2 .
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике. Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3805-1 .
• Хенсток, Ральф (1988). Лекции по теории интеграции . Серия реального анализа. Том. 1. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-9971-5-0450-2 .
• Курцвейл, Ярослав (2000). Интеграция Хенстока-Курцвейла: ее связь с топологическими векторными пространствами . Серия реального анализа. Том. 7. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-02-4207-7 .
• Курцвейл, Ярослав (2002). Интегрирование между интегралом Лебега и интегралом Хенстока–Курцвейля: его связь с локально выпуклыми векторными пространствами . Серия реального анализа. Том. 8. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-238-046-3 .
• Лидер Соломон (2001). Интеграл Курцвейла–Хенстока и его дифференциалы . Серия «Чистая и прикладная математика». КПР. ISBN  978-0-8247-0535-0 .
• Ли, Пэн-Йи (1989). Ланьчжоуские лекции по интеграции Хенстока . Серия реального анализа. Том. 2. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-9971-5-0891-3 .
• Ли, Пэн-Йи; Выборный, Рудольф (2000). Интеграл: простой подход по Курцвейлу и Хенстоку . Серия лекций Австралийского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-77968-5 .
• Маклеод, Роберт М. (1980). Обобщенный интеграл Римана . Карус Математические монографии. Том. 20. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN  978-0-88385-021-3 .
• Шварц, Чарльз В. (2001). Введение в калибровочные интегралы . Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-02-4239-8 .
• Шварц, Чарльз В.; Курц, Дуглас С. (2004). Теории интеграции: интегралы Римана, Лебега, Хенстока-Курцвейла и МакШейна . Серия реального анализа. Том. 9. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-256-611-9 .

Внешние ссылки

Ниже приведены дополнительные ресурсы в Интернете для получения дополнительной информации:

• «Интеграл Курцвейла-Хенстока» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Введение в калибровочный интеграл
• Открытое предложение: заменить интеграл Римана калибровочным интегралом в учебниках по математическому анализу, подписанных Бартлом, Хенстоком, Курцвейлом, Шехтером, Швабиком и Выборным.