Регуляризация Адамара

В математике регуляризация Адамара (также называемая конечной частью Адамара или конечной частью Адамара ) — это метод регуляризации расходящихся интегралов путем исключения некоторых расходящихся членов и сохранения конечной части, введенный Адамаром ( 1923 , книга III, глава I, 1932 ). Рисс ( 1938 , 1949 ) показал, что это можно интерпретировать как мероморфное продолжение сходящегося интеграла.

Если главного значения Коши интеграл ${\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b)$ существует, то его можно дифференцировать по $x,$ чтобы получить интеграл конечной части Адамара следующим образом: ${\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\text{for }}a<x<b).$

Обратите внимание, что символы ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {H}}$ используются здесь для обозначения главного значения Коши и интегралов конечной части Адамара соответственно.

Приведенный выше интеграл конечной части Адамара (для $a < x < b$ ) также может быть задан следующими эквивалентными определениями: ${\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},$ ${\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.$

Приведенные выше определения могут быть получены, если предположить, что функция $f (t)$ дифференцируема бесконечно много раз при $t = x для a < x < b$ , то есть предположив, что $f (t)$ может быть представлена ее рядом Тейлора относительно $t = х$ . Подробности см. в Ang ( 2013 ). (Обратите внимание, что термин $— .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ ж ( Икс ) / 2 ⁠ ( ⁠ 1 / б - Икс ⁠ - ⁠ 1 / a − x ⁠ )$ во втором эквивалентном определении, приведенном выше, отсутствует в Ang ( 2013 ), но это исправлено в списке ошибок в книге.)

Интегральные уравнения, содержащие интегралы Адамара с конечной частью (с $неизвестным f (t)$ ), называются гиперсингулярными интегральными уравнениями. Гиперсингулярные интегральные уравнения возникают при постановке многих задач механики, например при анализе разрушения.

Пример

Рассмотрим расходящийся интеграл $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\left(\lim _{a\to 0^{-}}\int _{-1}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)+\left(\lim _{b\to 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{a\to 0^{-}}\left(-{\frac {1}{a}}-1\right)+\lim _{b\to 0^{+}}\left(-1+{\frac {1}{b}}\right)=+\infty$ Его главное значение Коши также расходится, поскольку ${\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t^{2}}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty$ Чтобы присвоить конечное значение этому расходящемуся интегралу, мы можем рассмотреть ${\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{(t-x)^{2}}}\,dt{\Bigg |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right){\Bigg |}_{x=0}$ Внутреннее главное значение Коши определяется выражением ${\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t-x}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\ln \left|{\frac {\varepsilon +x}{1+x}}\right|+\ln \left|{\frac {1-x}{\varepsilon -x}}\right|\right)=\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|$ Поэтому, ${\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\left(\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|\right){\Bigg |}_{x=0}={\frac {2}{x^{2}-1}}{\Bigg |}_{x=0}=-2$ Обратите внимание, что это значение не представляет площадь под кривой $y (t) = 1/ t 2$ , что, очевидно, всегда положительно.