Интеграл МакШейна

В разделе математики , известном как теория интеграции , интеграл МакШейна , созданный Эдвардом Дж. МакШейном , является модификацией интеграла Хенстока-Курцвейла . Интеграл МакШейна эквивалентен интегралу Лебега .

Определение

Раздел с бесплатными тегами

Учитывая замкнутый интервал [ a , b ] реальной строки, свободный тегированный раздел $P$ из $[a,b]$ это набор

$\{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):1\leq i\leq n\}$

где

$a=a_{0}<a_{1}<\dots <a_{n}=b$

и каждый тег $t_{i}\in [a,b]$.

Тот факт, что тегам разрешено находиться за пределами подинтервалов, является причиной того, что раздел называется свободным . Это также единственная разница между определениями интеграла Хенстока-Курцвейла и интеграла МакШейна.

Для функции $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ и бесплатный тегированный раздел $P$, определять $S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(a_{i}-a_{i-1}).$

Калибр

Положительная функция $\delta :[a,b]\to (0,+\infty )$ в этом контексте называется калибром .

Мы говорим, что свободный тегированный раздел $P$ является $\delta$- хорошо, если для всех $i=1,2,\dots ,n,$

$[a_{i-1},a_{i}]\subseteq [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})].$

Интуитивно понятно, что датчик управляет шириной подинтервалов. Как и в случае с интегралом Хенстока-Курцвейла , это обеспечивает гибкость (особенно вблизи проблемных точек), не обеспечиваемую интегралом Римана .

Интеграл МакШейна

Значение $\int _{a}^{b}f$ является интегралом МакШейна от $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ если для каждого $\varepsilon >0$ мы можем найти манометр $\delta$ такой, что для всех $\delta$-мелкие бесплатные разделы с тегами $P$ из $[a,b]$,

$\left|\int _{a}^{b}f-S(f,P)\right|<\varepsilon .$

Примеры

Понятно, что если функция $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ интегрируемо по определению МакШейна, то $f$ также интегрируемо по Хенстоку-Курцвейлу. Оба интеграла совпадают с точки зрения своей единственности.

Чтобы проиллюстрировать приведенное выше определение, мы проанализируем интегрируемость по Макшейну функций, описанных в следующих примерах, которые уже известны как интегрируемые по Хенстоку-Курцвейлу (см. п. 3 сайта этой Википедии « Интеграл Хенстока-Курцвейла »).

Пример 1

Позволять $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ быть таким, что $f(a)=f(b)=0$ и ${\textstyle f(x)=1}$ если ${\textstyle x\in ]a,b[.}$

Как известно, эта функция интегрируема по Риману и соответствующий интеграл равен $b-a.$ Мы покажем, что это $f$ также интегрируема по МакШейну и что ее интеграл принимает то же значение.

С этой целью для данного $\varepsilon >0$, давайте выберем калибр $\delta (t)$ такой, что $\delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4$ и $\delta (t)=b-a$ если ${\textstyle t\in ]a,b[.}$

Любой свободный раздел с тегами $P=\{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):i=1,...,n\}$ из $[a,b]$ можно разложить на такие последовательности, как

$(a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])$, для $j=1,...,\lambda$,

$(b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])$, для $k=1,...,\mu$, и

$(t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])$, где $r=1,...,\nu$, такой, что $t_{i_{r}}\in ]a,b[$ $(\lambda +\mu +\nu =n).$

Таким образом, мы имеем сумму Римана

$S(f,P)=\sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})$

и как следствие

$|S(P,f)-(b-a)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).$

Поэтому, если $P$ это бесплатная пометка $\delta$-тонкий раздел у нас есть

$[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]$, для каждого $j=1,...,\lambda$, и

$[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]$, для каждого $k=1,...,\mu$.

Поскольку каждый из этих интервалов не перекрывает внутреннюю часть всех остальных, получаем

$|S(P,f)-(b-a)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Таким образом $f$ является ли МакШейн интегрируемым и

$\int _{a}^{b}f=b-a.$

Следующий пример доказывает существование различия между интегралами Римана и МакШейна.

Пример 2

Позволять $d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ известная функция Дирихле, определяемая формулой

$d(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational,}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational,}}\end{cases}}$

который, как известно, не интегрируем по Риману. Мы покажем это $d$ интегрируема в смысле МакШейна и что ее интеграл равен нулю.

Обозначая $\{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}$ множество всех рациональных чисел интервала $[a,b]$, для любого $\varepsilon >0$ давайте сформулируем следующую калибровку

$\delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{if }}x=r_{n}{\text{ and }}n=1,2,...,\\1,&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}$

Для любого $\delta$-тонкий бесплатный раздел с тегами $P=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}$ рассмотрим его сумму Римана

$S(P,f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})$.

Принимая во внимание, что $f(t_{i})=0$ в любое время $t_{i}$ иррационально, мы можем исключить из последовательности упорядоченные пары, составляющие $P$, пары $(t_{i},[x_{i-1},x_{i}])$ где $t_{i}$ иррационально. Остальные являются подпоследовательностями типа $(r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])$ такой, что $[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})]$, $j=1,...,k.$ Поскольку каждый из этих интервалов не перекрывает внутреннюю часть остальных, каждая из этих последовательностей порождает в сумме Римана подсуммы типа

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})\leq 2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Таким образом ${\textstyle 0\leq S(P,f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$, что доказывает, что функция Дирихле интегрируема по МакШейну и что

$\int _{a}^{b}d=0.$

с

Для вещественных функций, определенных на интервале $[a,b]$, как интегралы Хенстока-Курцвейла, так и интегралы МакШейна удовлетворяют элементарным свойствам, перечисленным ниже, где по ${\textstyle \int _{a}^{b}f}$ мы нечетко обозначаем значение любого из этих интегралов.

1. Если $f$ интегрируемо на $[a,b]$ затем $f$ интегрируемо на каждом подинтервале $[a,b]$.
2. Если $f$ интегрируемо на $[a,c]$ и $[c,b]$ затем $f$ интегрируемо на $[a,b]$ и ${\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}$.
3. Если $f$ постоянно включен $[a,b]$ затем $f$ интегрируемо на $[a,b]$.
4. Если $f$ является монотонным на $[a,b]$ затем $f$ интегрируемо на $[a,b]$.
5. Позволять $\phi :[a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]$ — дифференцируемая и строго монотонная функция. Затем $f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R}$ интегрируемо на $[\alpha ,\beta ]$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}$ интегрируемо на $[a,b]$. В таком случае ${\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}$.
6. Если $f$ интегрируемо на $[a,b]$ затем $kf$ интегрируемо на $[a,b]$ и ${\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}$, для каждого $k\in \mathbb {R}$.
7. Позволять $f$ и $g$ быть интегрируемым на $[a,b]$. Затем:
   • $f+g$ интегрируемо на $[a,b]$ и ${\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}$.
   • $f\leq g$ в $\left[a,b\right]$${\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}$.

По отношению к упомянутым выше интегралам доказательства этих свойств идентичны, за исключением небольших вариаций, связанных с различиями соответствующих определений (см. Вашек Пфеффер [Разд. 6.1]).

Таким образом, наблюдается определенный параллелизм между двумя интегралами. Однако незаметный разрыв происходит при анализе других свойств, таких как абсолютная интегрируемость и интегрируемость производных интегрируемых дифференцируемых функций.

По этому поводу имеют место следующие теоремы (см. [Предложение 2.2.3 и Th. 6.1.2]).

Теорема 1 (об абсолютной интегрируемости интеграла МакШейна)

Если $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ интегрируем ли МакШейн на $[a,b]$ затем $|f|$ также интегрируем по МакШейну на $[a,b]$ и ${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$.

Теорема 2 (фундаментальная теорема интеграла Хенстока-Курцвейля)

Если ${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ дифференцируема по $[a,b]$, затем ${\textstyle F'}$ интегрируема ли Хенсток-Курцвейл на $[a,b]$ и ${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$.

Для иллюстрации этих теорем проанализируем следующий пример, основанный на примере 2.4.12.

Пример 3

Рассмотрим функцию:

$F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}$

$F$ очевидно, дифференцируема в любом $x\neq 0$ и дифференцируемо также при $x=0$, с ${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$.

Более того

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Поскольку функция

$h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}$

непрерывна и по теореме 2 функция $F'(x)$ интегрируема ли Хенсток-Курцвейл на $[0,1],$ то по свойствам 6 и 7 то же самое справедливо и для функции

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Но функция

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

не интегрируемо на $[0,1]$ ни для одного из упомянутых интегралов.

Действительно, в противном случае, обозначая через ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$ любого из таких интегралов, мы обязательно должны иметь ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$ для любого положительного целого числа $n$. Тогда путем замены переменной ${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$, мы должны получить с учетом свойства 5:

$\int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq$

$\geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}$.

Как $n$ является произвольным положительным целым числом и ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$, получаем противоречие.

Из этого примера мы можем сделать следующие выводы:

• I) Теорема 1 уже не верна для интеграла Хенстока-Курцвейла, поскольку $g_{0}$ интегрируема ли Хенсток-Курцвейл и $g$ нет.

• II) Теорема 2 не справедлива для интеграла МакШейна. В противном случае $F'$ должно быть интегрируемо по МакШейну, так же как и $g_{0}$ и по теореме 1, поскольку $g$, что абсурдно.

• III) $F'$ Таким образом, это пример интегрируемой функции Хенстока-Курцвейла, которая не интегрируема по МакШейну. То есть класс интегрируемых функций МакШейна является строгим подклассом интегрируемых функций Хенстока-Курцвейла.

с

Более удивительный результат интеграла МакШейна сформулирован в следующей теореме, уже анонсированной во введении.

Теорема 3

Позволять $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Затем

$f$ интегрируем ли Макшейн $\Leftrightarrow$ $f$ интегрируема по Лебегу.

Соответствующие интегралы совпадают.

Этот факт позволяет заключить, что с помощью интеграла МакШейна формулируется своего рода объединение теории интегрирования вокруг сумм Римана, которые, в конце концов, и составляют начало этой теории.

Пока неизвестно непосредственное доказательство такой теоремы.

В Вашек Пфеффер [Ч. 4] утверждается посредством развития теории интеграла МакШейна, включая теорию меры, во взаимосвязи с уже известными свойствами интеграла Лебега. В Чарльзе Шварце та же эквивалентность доказана в приложении 4.

В дополнение к книге Рассела Гордона [Ч. 10], по этому поводу обращаем внимание читателя также на работы Роберта Маклеода. [Ч. 8] и Дуглас Курц вместе с Чарльзом В. Шварцем.

Другая точка зрения на интеграл МакШейна состоит в том, что его можно рассматривать как новую формулировку интеграла Лебега без использования теории меры, как альтернативу курсам Фригеса Рисса и Белы Сц. Надь [Гл.II] или Серж Ланг [Гл.X, §4 Приложение] (см. также ).

См. также

• Интеграл Хенстока-Курцвейла