Лемма Шеффе

В математике лемма Шеффе — это положение теории меры, касающееся сходимости последовательностей интегрируемых функций . В нем говорится, что если $f_{n}$ представляет собой последовательность интегрируемых функций в пространстве с мерой $(X,\Sigma ,\mu )$ сходящуюся почти всюду к другой интегрируемой функции $f$, затем $\int |f_{n}-f|\,d\mu \to 0$ тогда и только тогда, когда $\int |f_{n}|\,d\mu \to \int |f|\,d\mu$.

Доказательство основано в основном на применении неравенства треугольника и леммы Фату .

Приложения

Применительно к теории вероятностей теорема Шеффе в изложенной здесь форме подразумевает, что почти всюду поточечная сходимость функций плотности вероятности последовательности $\mu$- абсолютно непрерывные случайные величины подразумевают сходимость в распределении этих случайных величин.

История

Генри Шеффе опубликовал доказательство утверждения о сходимости плотностей вероятности в 1947 году. Результат представляет собой частный случай теоремы Фридьеса Рисса о сходимости в L ^п пространства, опубликованные в 1928 году.