О количестве простых чисел меньше заданной величины

« Ueber die Число простых чисел заданной величины » (обычный английский перевод: « О числе простых чисел, меньших заданной величины ») — это основополагающая 9-страничная статья Бернхарда Римана , опубликованная в выпуске « Ежемесячных отчетов» за ноябрь 1859 года. Кениглич-Прусской академии наук в Берлине .

Обзор

изучается В данной статье функция подсчета простых чисел с использованием аналитических методов . Хотя это единственная статья Римана, когда-либо опубликованная по теории чисел , она содержит идеи, которые повлияли на тысячи исследователей в конце 19 века и до наших дней. Статья состоит в основном из определений , эвристических аргументов , набросков доказательств и применения мощных аналитических методов; все это стало важными концепциями и инструментами современной аналитической теории чисел .

Среди новых введенных определений, идей и обозначений:

Использование греческой буквы дзета (ζ) для функции, ранее упомянутой Эйлером.
Аналитическое продолжение этой дзета-функции ζ( s ) на все комплексные s ≠ 1
ξ Вся функция ( s ) , связанная с дзета-функцией через гамма-функцию (или Π-функцию , в использовании Римана)
Дискретная функция J ( x ), определенная для x ≥ 0, которая определяется как J (0) = 0 и J ( x ), скачет на 1/ n в каждой степени простого числа p ^н. (Риман называет эту функцию f ( x ).)

Среди доказательств и набросков доказательств:

Два доказательства функционального уравнения ζ( s )
Доказательство представления произведения ξ( s )
Схема доказательства аппроксимации числа корней ξ( s ), мнимые части которых лежат между 0 и T .

Среди высказанных предположений:

Гипотеза Римана о том, что все (нетривиальные) нули ζ( s ) имеют действительную часть 1/2. Риман формулирует это в терминах корней соответствующей ξ-функции:
...весьма вероятно, что все корни настоящие. Конечно, было бы желательно строгое доказательство этого; Однако после нескольких мимолетных безуспешных попыток я пока отложил его поиски в сторону, так как они показались мне ненужными для следующей цели моего расследования.
То есть,
весьма вероятно, что все корни действительны. Однако хотелось бы получить строгое доказательство этого; Однако после нескольких мимолетных тщетных попыток я временно отложил поиски таковых, поскольку они кажутся ненужными для следующей цели моего исследования.
(Он обсуждал версию дзета-функции, модифицированную так, чтобы ее корни были вещественными, а не на критической линии.)

Новые методы и приемы, используемые в теории чисел:

Функциональные уравнения, возникающие из автоморфных форм
Аналитическое продолжение (хотя и не в духе Вейерштрасса)
Контурная интеграция
Инверсия Фурье .

Риман также обсудил взаимосвязь между ζ( s ) и распределением простых чисел, используя функцию J ( x ), по существу, как меру интегрирования Стилтьеса . Затем он получил основной результат статьи — формулу для J ( x ) путем сравнения с ln(ζ( s )). Затем Риман нашел формулу для функции счета простых чисел $π$ ( x ) (которую он называет F ( x )). Он отмечает, что его уравнение объясняет тот факт, что $π$ ( x ) растет медленнее, чем логарифмический интеграл , как это было обнаружено Карлом Фридрихом Гауссом и Карлом Вольфгангом Бенджамином Гольдшмидтом .

Статья содержит некоторые особенности для современного читателя, такие как использование Π ( s − 1) вместо Γ( s ), запись tt вместо t ²и используя границы от ∞ до ∞ as для обозначения контурного интеграла .

Ссылки

Эдвардс, HM (1974), Дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0 , Збл 0315.10035

Внешние ссылки

Рукопись Римана
О количестве простых чисел данного размера (транскрипция статьи Римана)
О количестве простых чисел, меньших заданного количества (английский перевод статьи Римана)