Функциональное уравнение (L-функция)

В математике ожидается , что L-функции теории чисел будут иметь несколько характерных свойств, одно из которых состоит в том, что они удовлетворяют определенным функциональным уравнениям . Существует тщательно разработанная теория того, какими должны быть эти уравнения, большая часть которой все еще остается предположительной.

Введение

Типичный пример: дзета-функция Римана имеет функциональное уравнение, связывающее ее значение в комплексном числе s с ее значением в 1 - s . В каждом случае это относится к некоторому значению ζ( s ), которое определяется только аналитическим продолжением определения бесконечной серии . То есть, записывая – как обычно – σ для действительной части s , функциональное уравнение связывает случаи

σ > 1 и σ < 0,

а также меняет регистр на

0 < σ < 1

в критической полосе к другому такому случаю, отраженному в линии σ = ½. Поэтому использование функционального уравнения является основным для изучения дзета-функции во всей комплексной плоскости .

Рассматриваемое функциональное уравнение для дзета-функции Римана принимает простой вид

$Z(s)=Z(1-s)\,$

где Z ( s ) — это ζ( s ), умноженный на гамма-фактор , включающий гамма-функцию . Теперь это воспринимается как «дополнительный» множитель в произведении Эйлера для дзета-функции, соответствующий бесконечному простому числу . Точно такая же форма функционального уравнения имеет место для дзета-функции Дедекинда числового поля K который зависит только от вложения K (в алгебраических терминах, от тензорного произведения K с соответствующим гамма-фактором , на вещественное поле ).

Аналогичное уравнение существует и для L-функций Дирихле , но на этот раз связывающее их попарно:

$\Lambda (s,\chi )=\varepsilon \Lambda (1-s,\chi ^{*})$

где χ — примитивный характер Дирихле , χ ^* ее комплексно-сопряженная функция, Λ - L-функция, умноженная на гамма-фактор, и ε - комплексное число с абсолютным значением 1, формы

$G(\chi ) \over {\left|G(\chi )\right\vert }$

где G (χ) — сумма Гаусса , образованная из χ. Это уравнение имеет одну и ту же функцию с обеих сторон тогда и только тогда, когда χ — действительный характер , принимающий значения в {0,1,−1}. Тогда ε должно быть равно 1 или −1, а случай значения −1 будет означать ноль Λ ( s ) при s = ½. Согласно теории (фактически Гаусса) сумм Гаусса, значение всегда равно 1, поэтому такого простого нуля не может существовать (функция даже около точки).

Теория функциональных уравнений

Единая теория таких функциональных уравнений была предложена Эрихом Хекке , и эта теория была снова поднята в диссертации Тейта Джоном Тейтом . Хекке нашел обобщенные символы числовых полей, теперь называемые символами Хекке , для которых также сработало его доказательство (основанное на тета-функциях ). Теперь понятно, что эти символы и связанные с ними L-функции строго связаны с комплексным умножением , так же как символы Дирихле связаны с круговыми полями .

Существуют также функциональные уравнения для локальных дзета-функций , возникающие на фундаментальном уровне для (аналога) двойственности Пуанкаре в этальных когомологиях . Предполагается, что произведения Эйлера дзета-функции Хассе – Вейля для алгебраического многообразия V над числовым полем K , образованные путем сокращения по модулю простых идеалов для получения локальных дзета-функций, имеют глобальное функциональное уравнение; но в настоящее время это считается недостижимым, за исключением особых случаев. Определение снова можно прочитать непосредственно из теории этальных когомологий; некоторые предположения, исходящие из теории автоморфных представлений но в целом для получения функционального уравнения, по-видимому, необходимы . Гипотеза Таниямы-Шимуры была частным случаем этой общей теории. Благодаря соотнесению аспекта гамма-фактора с теорией Ходжа и детальным изучением ожидаемого фактора ε теория как эмпирическая была доведена до весьма усовершенствованного состояния, даже если доказательства отсутствуют.

См. также

• Явная формула (L-функция)
• Формула Римана–Зигеля (частное приближенное функциональное уравнение)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функциональное уравнение» . Математический мир .