Jump to content

Дирихле персонаж

В аналитической теории чисел и смежных разделах математики комплекснозначная арифметическая функция является характером Дирихле модуля (где — целое положительное число), если для всех целых чисел и : [ 1 ]

  1. то есть, полностью мультипликативна .
  2. (НОД — наибольший общий делитель )
  3. ; то есть, является периодическим с периодом .

Самый простой возможный символ, называемый главным символом , обычно обозначается , (см. обозначения ниже) существует для всех модулей: [ 2 ]

Немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле , в честь которого назван персонаж, ввел эти функции в своей статье 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях . [ 3 ] [ 4 ]

Обозначения

[ редактировать ]

— это полная функция Эйлера .

— комплексный примитивный корень n-й степени из единицы :

но

это мод группы юнитов . Там есть порядок

это мод группы персонажей Дирихле .

и т. д. являются простыми числами .

это стандарт [ 5 ] аббревиатура [ 6 ] для

и т. д. являются персонажами Дирихле. (строчная греческая буква чи означает «характер»)

Не существует стандартного обозначения символов Дирихле, включающего модуль. Во многих контекстах (например, при доказательстве теоремы Дирихле) модуль фиксирован. В других контекстах, таких как эта статья, появляются символы разных модулей. Там, где это уместно, в этой статье используется вариант маркировки Конри (представленный Брайаном Конри и используемый LMFDB ).

В этой маркировке символы модуля обозначаются где индекс описано в разделе группа символов ниже. В этой маркировке обозначает неопределенный символ и обозначает мод основного персонажа .

Отношение к персонажам группы

[ редактировать ]

Слово « характер » используется в математике по-разному. В этом разделе речь идет о гомоморфизме группы (записывается мультипликативно) к мультипликативной группе поля комплексных чисел:

Набор символов обозначается Если произведение двух символов определяется поточечным умножением тождество по тривиальному персонажу и обратное путем комплексной инверсии затем становится абелевой группой. [ 7 ]

Если конечная абелева группа, то [ 8 ] существует изоморфизм и отношения ортогональности: [ 9 ]

и

Элементы конечной абелевой группы являются классами остатков где

Групповой персонаж может быть расширено до персонажа Дирихле определяя

и наоборот, модификация персонажа Дирихле. определяет групповой символ на

Перефразируя Давенпорта [ 10 ] Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай характеров абелевой группы. Но эта статья следует за Дирихле, давая о них прямое и конструктивное описание. Частично это объясняется историческими причинами, поскольку работе Дирихле на несколько десятилетий предшествовало развитие теории групп, а частично — математической причиной, а именно тем, что рассматриваемая группа имеет простую и интересную структуру, которая неясна, если относиться к ней так же, как к ней относятся. общая абелева группа.

Элементарные факты

[ редактировать ]

4) Поскольку свойство 2) говорит поэтому его можно отменить с обеих сторон :

[ 11 ]

5) Свойство 3) эквивалентно

если затем

6) Из свойства 1) следует, что для любого натурального числа

7) Теорема Эйлера утверждает, что если затем Поэтому,

То есть ненулевые значения являются -ые корни из единицы :

для некоторого целого числа что зависит от и . Это означает, что для данного модуля существует только конечное число символов.

8) Если и это два символа для одного и того же модуля, как и их произведение определяется поточечным умножением:

  ( очевидно удовлетворяет 1-3). [ 12 ]

Главный герой – личность:

9) Пусть обозначаем обратную величину в . Затем

так которое расширяет 6) на все целые числа.

Комплексно -сопряженное значение корня из единицы также является его обратным (подробности см. здесь ), поэтому для

  ( также очевидно удовлетворяет 1-3).

Таким образом, для всех целых чисел

другими словами

10) Умножение и тождество, определенные в 8), и инверсия, определенная в 9), превращают множество характеров Дирихле для данного модуля в конечную абелеву группу .

Группа персонажей

[ редактировать ]

Имеются три различных случая, поскольку группы имеют различную структуру в зависимости от того, является степенью двойки, степенью нечетного простого числа или произведением степеней простых чисел. [ 13 ]

Степени нечетных простых чисел

[ редактировать ]

Если это нечетное число является циклическим порядка ; генератор называется примитивным корневым модом . [ 14 ] Позволять быть примитивным корнем и для определить функцию ( индекс ) к

Для тогда и только тогда, когда С

  определяется его стоимостью в

Позволять быть примитивным -й корень из единицы. Из свойства 7) выше возможные значения являются Эти различные ценности порождают Мод персонажей Дирихле Для определять как

Тогда для и все и

показывая это это персонаж и
что дает явный изоморфизм

Примеры m = 3, 5, 7, 9

[ редактировать ]

2 — это примитивный корень мода 3. ( )

поэтому значения являются

.

Ненулевые значения символов mod 3 равны

2 — это примитивный корень мода 5. ( )

поэтому значения являются

.

Ненулевые значения символов mod 5 равны

3 - это примитивный корень мода 7.( )

поэтому значения являются

.

Ненулевые значения символов по модулю 7: ( )

.

2 - это примитивный корневой мод 9.( )

поэтому значения являются

.

Ненулевые значения символов по модулю 9: ( )

.

Полномочия 2

[ редактировать ]

— тривиальная группа с одним элементом. является циклическим порядка 2. Для 8, 16 и более высоких степеней двойки примитивный корень отсутствует; степени 5 - это единицы а их отрицательные значения - это единицы [ 15 ] Например

Позволять ; затем является прямым произведением циклической группы порядка 2 (порождённой −1) и циклической группы порядка (генерируется 5). Для нечетных чисел определить функции и к

Для нечетных и тогда и только тогда, когда и Для нечетных ценность определяется значениями и

Позволять быть примитивным -й корень из единицы. Возможные значения являются Эти различные ценности порождают Мод персонажей Дирихле Для нечетных определять к

Тогда для нечетного и и все и

показывая это это персонаж и
показывая это

Примеры m = 2, 4, 8, 16

[ редактировать ]

Единственный мод персонажа 2 - главный персонаж. .

−1 — примитивный корень по модулю 4 ( )

Ненулевые значения символов mod 4 равны

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 8 ( )

.

Ненулевые значения символов mod 8 равны

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 16 ( )

.

Ненулевые значения символов по модулю 16 равны

.

Продукты первичных сил

[ редактировать ]

Позволять где быть факторизацией в высшие полномочия. Группа юнитов мод изоморфно прямому произведению групп mod : [ 16 ]

Это означает, что 1) существует взаимно однозначное соответствие между и -кортежи где и 2) мод умножения соответствует покоординатному умножению -кортежи:

соответствует
где

Китайская теорема об остатках (CRT) подразумевает, что просто

Есть подгруппы такой, что [ 17 ]

и

Затем и каждый соответствует -кортеж где и Каждый может быть однозначно факторизован как [ 18 ] [ 19 ]

Если это мод персонажа в подгруппе он должен быть идентичен некоторым против Затем

показывая, что каждый мод персонажа это продукт мода персонажей .

Для определять [ 20 ]

Тогда для и все и [ 21 ]

показывая это это персонаж и
демонстрирующий изоморфизм


Примеры м = 15, 24, 40

[ редактировать ]

Факторизация символов по модулю 15:

Ненулевые значения символов по модулю 15 равны

.

Факторизация символов по модулю 24:

Ненулевые значения символов по модулю 24 равны

.

Факторизация символов по модулю 40:

Ненулевые значения символов по модулю 40 равны

.

Краткое содержание

[ редактировать ]

Позволять , быть факторизацией и предположим

Есть Мод персонажей Дирихле Они обозначаются где эквивалентно Личность является изоморфизмом [ 22 ]

Каждый мод персонажа имеет уникальную факторизацию как произведение символов по модулю простых степеней, делящих :

Если продукт это персонаж где дается и

Также, [ 23 ] [ 24 ]

Ортогональность

[ редактировать ]

Два отношения ортогональности: [ 25 ]

и

Отношения можно записать в симметричной форме

и

Первое соотношение легко доказать: если есть ненулевые слагаемые, каждое из которых равно 1. Если есть [ 26 ] некоторый Затем

[ 27 ] подразумевая
Деление на первый множитель дает КЭД. Личность для показывает, что отношения эквивалентны друг другу.

Второе соотношение доказывается непосредственно таким же способом, но требует леммы [ 28 ]

Данный есть

Второе соотношение имеет важное следствие: если определить функцию

Затем

То есть индикаторная функция класса вычетов . Он является основным в доказательстве теоремы Дирихле. [ 29 ] [ 30 ]

Классификация персонажей

[ редактировать ]

Дирижер; Примитивные и индуцированные персонажи

[ редактировать ]

Любая модификация персонажа с основной силой также является модификацией персонажа с любой большей силой. Например мод 16 [ 31 ]

имеет период 16, но имеет период 8 и имеет период 4: и

Мы говорим, что персонаж модуля имеет квазипериод если для всех , взаимно простой с удовлетворяющий против . [ 32 ] Например, , единственный характер Дирихле модуля , имеет квазипериод , но не период (имеет период , хотя). Наименьшее целое положительное число, для которого квазипериодический, проводником является . [ 33 ] Так, например, имеет проводника .

Дирижер 16 лет, дирижер это 8 и что и равно 4. Если модуль и проводник равны, символ является примитивным , в противном случае — непримитивным . Импримитивный характер индуцируется символом наименьшего модуля: индуцируется из и и индуцируются из .

Аналогичное явление может произойти с модификацией персонажа, являющейся произведением простых чисел; его ненулевые значения могут быть периодическими с меньшим периодом.

Например, мод 15,

.

Ненулевые значения имеют период 15, но те из имеют период 3 и периоды имеют период 5. Это легче увидеть, сопоставив их с символами mod 3 и 5:

.

Если мод персонажа определяется как

или, что эквивалентно, как

его ненулевые значения определяются модом персонажа и есть период .

Наименьший период ненулевых значений является проводником символа. Например, дирижер 15 лет, дирижер равно 3, а это это 5.

Как и в случае с простой степенью, если проводник равен модулю, символ является примитивным , в противном случае — примитивным . Если он примитивен, он индуцируется символом с меньшим модулем. Например, индуцируется из и индуцируется из

Главный герой не примитивен. [ 34 ]

Персонаж является примитивным тогда и только тогда, когда каждый из факторов примитивен. [ 35 ]

Примитивные символы часто упрощают (или делают возможными) формулы в теориях L-функций. [ 36 ] и модульные формы .

если даже и странно , если

Это различие появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .

Порядок порядок символа — это его как элемента группы. , т.е. наименьшее положительное целое число такой, что Из-за изоморфизма порядок аналогичен порядку в Главный персонаж имеет порядок 1; другие реальные персонажи имеют порядок 2, а воображаемые персонажи имеют порядок 3 или выше. По теореме Лагранжа порядок символа делит порядок который

Реальные персонажи

[ редактировать ]

является действительным или квадратичным, если все его значения действительны (они должны быть ); в противном случае оно сложное или воображаемое.

действительно тогда и только тогда, когда ; действительно тогда и только тогда, когда ; в частности, является действительным и неглавным. [ 37 ]

Оригинальное доказательство Дирихле, что (что было справедливо только для простых модулей) принимало две разные формы в зависимости от того, было ли было реальным или нет. Его более позднее доказательство, справедливое для всех модулей, было основано на его формуле числа классов . [ 38 ] [ 39 ]

Реальные символы — это символы Кронекера ; [ 40 ] например, главный персонаж может быть записан [ 41 ] .

Настоящие персонажи в примерах:

Если главный герой - это [ 42 ]

             

Примитивный

[ редактировать ]

Если модуль является абсолютным значением фундаментального дискриминанта, то существует реальный примитивный характер (их два, если модуль кратен 8); в противном случае, если есть какие-либо примитивные символы [ 35 ] они воображаемые. [ 43 ]

                   

примитивный

[ редактировать ]

             

         

         

Приложения

[ редактировать ]

L-функции

[ редактировать ]

L-серия Дирихле для персонажа является

Этот ряд сходится только при ; ее можно аналитически продолжить до мероморфной функции

Дирихле представил -функционирует вместе с персонажами его статьи 1837 года.

Модульные формы и функции

[ редактировать ]

Характеры Дирихле появляются в нескольких местах в теории модулярных форм и функций. Типичный пример: [ 44 ]

Позволять и пусть быть примитивным.

Если

[ 45 ]

определять

, [ 46 ]  

Затем

. Если это форма возврата, поэтому

в тета-ряде персонажа Дирихле Другой пример см. .

Сумма Гаусса

[ редактировать ]

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна

Он появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .

Сумма Якоби

[ редактировать ]

Если и являются ли персонажи Дирихле модом простого числа их сумма Якоби равна

Суммы Якоби можно разложить на произведения сумм Гаусса.

сумма Клостермана

[ редактировать ]

Если это мод персонажа Дирихле и сумма Клоостермана определяется как [ 47 ]

Если это сумма Гаусса.

Достаточные условия

[ редактировать ]

Чтобы показать, что функция является характером Дирихле, не обязательно устанавливать определяющие свойства 1)–3).

Из книги Давенпорта

[ редактировать ]

Если такой, что

1)  
2)   ,
3) Если затем , но
4)   не всегда 0,

затем является одним из мод персонажей [ 48 ]

Состояние Саркози

[ редактировать ]

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция. которое удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению : то есть, если

для всех положительных целых чисел , где не все равны нулю и тогда они различны персонаж Дирихле. [ 49 ]

Chudakov's Condition

[ редактировать ]

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция. удовлетворяющий следующим трем свойствам: а) принимает только конечное число значений; б) исчезает только в конечном числе простых чисел; в) есть за что остаток

равномерно ограничено, так как . Это эквивалентное определение характеров Дирихле было предложено Чудаковым. [ 50 ] в 1956 году и доказали в 2017 году Клурман и Мангерель. [ 51 ]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Это стандартное определение; например, Давенпорт, стр. 27; Ландау с. 109; Ирландия и Розен с. 253
  2. ^ Обратите внимание на особый случай модуля 1: уникальный символ mod 1 — это константа 1; все остальные символы равны 0 в 0
  3. ^ Давенпорт с. 1
  4. ^ Английский перевод находится во внешних ссылках.
  5. ^ Используется в Давенпорте, Ландау, Ирландии и Розене.
  6. ^ эквивалентно
  7. ^ См . Мультипликативный символ .
  8. ^ Ирландия и Розен, с. 253-254
  9. ^ См . Группа символов # Ортогональность символов.
  10. ^ Давенпорт с. 27
  11. ^ Эти свойства содержатся во всех введениях в эту тему, например, Davenport p. 27, Ландау с. 109.
  12. ^ В общем, продукт мода персонажа и мод персонажа это мод персонажа
  13. ^ За исключением использования модифицированной маркировки Конри, этот раздел соответствует стр. 1–3, 27–30 Давенпорта.
  14. ^ Есть примитивный рут мод это примитивный корневой мод и все высшие силы . См., например, Ландау с. 106
  15. ^ Ландау, стр. 107-108.
  16. ^ см . в группе единиц. Подробности
  17. ^ Чтобы построить для каждого используйте ЭЛТ, чтобы найти где
  18. ^ Предположим соответствует . По конструкции соответствует , к и т. д., чье покоординатное произведение равно
  19. ^ Например, пусть Затем и Факторизация элементов является
  20. ^ См . маркировку Конри .
  21. ^ Потому что эти формулы верны для каждого фактора.
  22. ^ Это верно для всех конечных абелевых групп: ; См. Ирландию и Розена, стр. 253–254.
  23. ^ потому что формулы для степени простых чисел по модулю симметричны по и и формула для произведений сохраняет эту симметрию. См. Давенпорт, с. 29.
  24. ^ Это то же самое, что сказать, что n-й столбец и n-я строка в таблицах ненулевых значений совпадают.
  25. ^ См . #Отношение к символам группы выше.
  26. ^ по определению
  27. ^, потому что умножение каждого элемента в группе на постоянный элемент просто меняет местами элементы. См. группу (математика)
  28. ^ Давенпорт с. 30 (перефраз) Для доказательства [второго соотношения] приходится использовать идеи, которые мы использовали при построении [как в этой статье или Ландау стр. 109-114], или обращаться к базовой теореме для абелевых групп [как в Ирландии и Розен, стр. 253-254]
  29. ^ Давенпорт гл. 1, 4; Ландау с. 114
  30. ^ Обратите внимание, что если это какая-то функция ; см. преобразование Фурье для конечных групп # Преобразование Фурье для конечных абелевых групп
  31. ^ Этот раздел следует за стр. 35-36 Давенпорта,
  32. ^ Платт, Дэйв. «Персонажи Дирихле Def. 11.10» (PDF) . Проверено 5 апреля 2024 г.
  33. ^ «Дирижер персонажа Дирихле (рецензия)» . ЛМДБД . Проверено 5 апреля 2024 г.
  34. ^ Давенпорт не классифицирует его как ни примитивный, ни импримитивный; LMFDB вызывает его из
  35. ^ Jump up to: а б Обратите внимание, что если это в два раза нечетное число, , мод всех персонажей являются примитивными, потому что
  36. ^ Например, функциональное уравнение справедливо только для примитива . См. Давенпорт, с. 85
  37. ^ Фактически, для простого модуля является символом Лежандра : Эскиз доказательства: является четным (нечетным), если a - квадратичный остаток (невычет)
  38. ^ Давенпорт, гл. 1, 4.
  39. ^ Доказательство Ирландии и Розена, справедливое для всех модулей, также имеет эти два случая. стр. 259 и далее
  40. ^ Давенпорт с. 40
  41. ^ Обозначения это более короткий способ записи
  42. ^ Произведение простых чисел гарантирует, что оно равно нулю, если ; квадраты гарантируют, что его единственное ненулевое значение равно 1.
  43. ^ Давенпорт, стр. 38-40.
  44. ^ Коблиц, реквизит. 17б с. 127
  45. ^ означает 1) где и и 2) где и См. Коблиц гл. III.
  46. ^ поворот к
  47. ^ LMFDB определение суммы Клоостермана
  48. ^ Давенпорт с. 30
  49. ^ Саркози
  50. ^ Chudakov
  51. ^ Клурман
  • Чудаков Н.Г. "Теория характеров числовых полугрупп". Дж. Индийская математика. Соц . 20 :11–15.
  • Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том. 1. Чикаго: Маркхэм. Збл   0159.06303 .
  • Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-97329-Х
  • Клурман, Алексей; Мангерель, Александр П. (2017). «Теоремы жесткости для мультипликативных функций». Математика. Энн . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Бибкод : 2017arXiv170707817K . дои : 10.1007/s00208-018-1724-6 . S2CID   119597384 .
  • Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модульные формы . Тексты для аспирантов по математике. Том. 97 (2-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97966-2 .
  • Ландау, Эдмунд (1966), Элементарная теория чисел , Нью-Йорк: Челси
  • Саркози, Андрас. «О мультипликативных арифметических функциях, удовлетворяющих линейной рекурсии». Студия Sci. Математика. Хунг . 13 (1–2): 79–104.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e0e316c5a0bf0890dbb2789d2385bf25__1723076880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e0/25/e0e316c5a0bf0890dbb2789d2385bf25.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dirichlet character - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)