Complex-valued arithmetic function
В аналитической теории чисел и смежных разделах математики комплекснозначная арифметическая функция
χ
:
Z
→
C
{\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }
является характером Дирихле модуля
m
{\displaystyle m}
(где
m
{\displaystyle m}
— целое положительное число), если для всех целых чисел
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
: [ 1 ]
χ
(
a
b
)
=
χ
(
a
)
χ
(
b
)
;
{\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}
то есть,
χ
{\displaystyle \chi }
полностью мультипликативна .
χ
(
a
)
{
=
0
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
≠
0
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1.
{\displaystyle \chi (a){\begin{cases}=0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}
(НОД — наибольший общий делитель )
χ
(
a
+
m
)
=
χ
(
a
)
{\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}
; то есть,
χ
{\displaystyle \chi }
является периодическим с периодом
m
{\displaystyle m}
.
Самый простой возможный символ, называемый главным символом , обычно обозначается
χ
0
{\displaystyle \chi _{0}}
, (см. обозначения ниже) существует для всех модулей: [ 2 ]
χ
0
(
a
)
=
{
0
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
1
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1.
{\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}
Немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле , в честь которого назван персонаж, ввел эти функции в своей статье 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях . [ 3 ] [ 4 ]
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
— это полная функция Эйлера .
ζ
n
{\displaystyle \zeta _{n}}
— комплексный примитивный корень n-й степени из единицы :
ζ
n
n
=
1
,
{\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}
но
ζ
n
≠
1
,
ζ
n
2
≠
1
,
.
.
.
ζ
n
n
−
1
≠
1.
{\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
это мод группы юнитов
m
{\displaystyle m}
. Там есть порядок
ϕ
(
m
)
.
{\displaystyle \phi (m).}
(
Z
/
m
Z
)
×
^
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}
это мод группы персонажей Дирихле
m
{\displaystyle m}
.
p
,
p
k
,
{\displaystyle p,p_{k},}
и т. д. являются простыми числами .
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
это стандарт [ 5 ] аббревиатура [ 6 ] для
gcd
(
m
,
n
)
{\displaystyle \gcd(m,n)}
χ
(
a
)
,
χ
′
(
a
)
,
χ
r
(
a
)
,
{\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}
и т. д. являются персонажами Дирихле. (строчная греческая буква чи означает «характер»)
Не существует стандартного обозначения символов Дирихле, включающего модуль. Во многих контекстах (например, при доказательстве теоремы Дирихле) модуль фиксирован. В других контекстах, таких как эта статья, появляются символы разных модулей. Там, где это уместно, в этой статье используется вариант маркировки Конри (представленный Брайаном Конри и используемый LMFDB ).
В этой маркировке символы модуля
m
{\displaystyle m}
обозначаются
χ
m
,
t
(
a
)
{\displaystyle \chi _{m,t}(a)}
где индекс
t
{\displaystyle t}
описано в разделе группа символов ниже. В этой маркировке
χ
m
,
_
(
a
)
{\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}
обозначает неопределенный символ и
χ
m
,
1
(
a
)
{\displaystyle \chi _{m,1}(a)}
обозначает мод основного персонажа
m
{\displaystyle m}
.
Слово « характер » используется в математике по-разному. В этом разделе речь идет о гомоморфизме группы
G
{\displaystyle G}
(записывается мультипликативно) к мультипликативной группе поля комплексных чисел:
η
:
G
→
C
×
,
η
(
g
h
)
=
η
(
g
)
η
(
h
)
,
η
(
g
−
1
)
=
η
(
g
)
−
1
.
{\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}
Набор символов обозначается
G
^
.
{\displaystyle {\widehat {G}}.}
Если произведение двух символов определяется поточечным умножением
η
θ
(
a
)
=
η
(
a
)
θ
(
a
)
,
{\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}
тождество по тривиальному персонажу
η
0
(
a
)
=
1
{\displaystyle \eta _{0}(a)=1}
и обратное путем комплексной инверсии
η
−
1
(
a
)
=
η
(
a
)
−
1
{\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}
затем
G
^
{\displaystyle {\widehat {G}}}
становится абелевой группой. [ 7 ]
Если
A
{\displaystyle A}
конечная абелева группа, то [ 8 ] существует изоморфизм
A
≅
A
^
{\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}
и отношения ортогональности: [ 9 ]
∑
a
∈
A
η
(
a
)
=
{
|
A
|
if
η
=
η
0
0
if
η
≠
η
0
{\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}
и
∑
η
∈
A
^
η
(
a
)
=
{
|
A
|
if
a
=
1
0
if
a
≠
1.
{\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}}
Элементы конечной абелевой группы
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
являются классами остатков
[
a
]
=
{
x
:
x
≡
a
(
mod
m
)
}
{\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}
где
(
a
,
m
)
=
1.
{\displaystyle (a,m)=1.}
Групповой персонаж
ρ
:
(
Z
/
m
Z
)
×
→
C
×
{\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}
может быть расширено до персонажа Дирихле
χ
:
Z
→
C
{\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }
определяя
χ
(
a
)
=
{
0
if
[
a
]
∉
(
Z
/
m
Z
)
×
i.e.
(
a
,
m
)
>
1
ρ
(
[
a
]
)
if
[
a
]
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
i.e.
(
a
,
m
)
=
1
,
{\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}}
и наоборот, модификация персонажа Дирихле.
m
{\displaystyle m}
определяет групповой символ на
(
Z
/
m
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}
Перефразируя Давенпорта [ 10 ] Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай характеров абелевой группы. Но эта статья следует за Дирихле, давая о них прямое и конструктивное описание. Частично это объясняется историческими причинами, поскольку работе Дирихле на несколько десятилетий предшествовало развитие теории групп, а частично — математической причиной, а именно тем, что рассматриваемая группа имеет простую и интересную структуру, которая неясна, если относиться к ней так же, как к ней относятся. общая абелева группа.
4) Поскольку
gcd
(
1
,
m
)
=
1
,
{\displaystyle \gcd(1,m)=1,}
свойство 2) говорит
χ
(
1
)
≠
0
{\displaystyle \chi (1)\neq 0}
поэтому его можно отменить с обеих сторон
χ
(
1
)
χ
(
1
)
=
χ
(
1
×
1
)
=
χ
(
1
)
{\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}
:
χ
(
1
)
=
1.
{\displaystyle \chi (1)=1.}
[ 11 ]
5) Свойство 3) эквивалентно
если
a
≡
b
(
mod
m
)
{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
затем
χ
(
a
)
=
χ
(
b
)
.
{\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}
6) Из свойства 1) следует, что для любого натурального числа
n
{\displaystyle n}
χ
(
a
n
)
=
χ
(
a
)
n
.
{\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}
7) Теорема Эйлера утверждает, что если
(
a
,
m
)
=
1
{\displaystyle (a,m)=1}
затем
a
ϕ
(
m
)
≡
1
(
mod
m
)
.
{\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}
Поэтому,
χ
(
a
)
ϕ
(
m
)
=
χ
(
a
ϕ
(
m
)
)
=
χ
(
1
)
=
1.
{\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}
То есть ненулевые значения
χ
(
a
)
{\displaystyle \chi (a)}
являются
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
-ые корни из единицы :
χ
(
a
)
=
{
0
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
ζ
ϕ
(
m
)
r
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1
{\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}
для некоторого целого числа
r
{\displaystyle r}
что зависит от
χ
,
ζ
,
{\displaystyle \chi ,\zeta ,}
и
a
{\displaystyle a}
. Это означает, что для данного модуля существует только конечное число символов.
8) Если
χ
{\displaystyle \chi }
и
χ
′
{\displaystyle \chi '}
это два символа для одного и того же модуля, как и их произведение
χ
χ
′
,
{\displaystyle \chi \chi ',}
определяется поточечным умножением:
χ
χ
′
(
a
)
=
χ
(
a
)
χ
′
(
a
)
{\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}
(
χ
χ
′
{\displaystyle \chi \chi '}
очевидно удовлетворяет 1-3). [ 12 ]
Главный герой – личность:
χ
χ
0
(
a
)
=
χ
(
a
)
χ
0
(
a
)
=
{
0
×
0
=
χ
(
a
)
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
χ
(
a
)
×
1
=
χ
(
a
)
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1.
{\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}
9) Пусть
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
обозначаем обратную величину
a
{\displaystyle a}
в
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
.
Затем
χ
(
a
)
χ
(
a
−
1
)
=
χ
(
a
a
−
1
)
=
χ
(
1
)
=
1
,
{\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}
так
χ
(
a
−
1
)
=
χ
(
a
)
−
1
,
{\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}
которое расширяет 6) на все целые числа.
Комплексно -сопряженное значение корня из единицы также является его обратным (подробности см. здесь ), поэтому для
(
a
,
m
)
=
1
{\displaystyle (a,m)=1}
χ
¯
(
a
)
=
χ
(
a
)
−
1
=
χ
(
a
−
1
)
.
{\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}
(
χ
¯
{\displaystyle {\overline {\chi }}}
также очевидно удовлетворяет 1-3).
Таким образом, для всех целых чисел
a
{\displaystyle a}
χ
(
a
)
χ
¯
(
a
)
=
{
0
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
1
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1
;
{\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}
другими словами
χ
χ
¯
=
χ
0
{\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}
.
10) Умножение и тождество, определенные в 8), и инверсия, определенная в 9), превращают множество характеров Дирихле для данного модуля в конечную абелеву группу .
Имеются три различных случая, поскольку группы
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
имеют различную структуру в зависимости от того,
m
{\displaystyle m}
является степенью двойки, степенью нечетного простого числа или произведением степеней простых чисел. [ 13 ]
Если
q
=
p
k
{\displaystyle q=p^{k}}
это нечетное число
(
Z
/
q
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}
является циклическим порядка
ϕ
(
q
)
{\displaystyle \phi (q)}
; генератор называется примитивным корневым модом
q
{\displaystyle q}
. [ 14 ]
Позволять
g
q
{\displaystyle g_{q}}
быть примитивным корнем и для
(
a
,
q
)
=
1
{\displaystyle (a,q)=1}
определить функцию
ν
q
(
a
)
{\displaystyle \nu _{q}(a)}
( индекс
a
{\displaystyle a}
) к
a
≡
g
q
ν
q
(
a
)
(
mod
q
)
,
{\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}
0
≤
ν
q
<
ϕ
(
q
)
.
{\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}
Для
(
a
b
,
q
)
=
1
,
a
≡
b
(
mod
q
)
{\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}
тогда и только тогда, когда
ν
q
(
a
)
=
ν
q
(
b
)
.
{\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}
С
χ
(
a
)
=
χ
(
g
q
ν
q
(
a
)
)
=
χ
(
g
q
)
ν
q
(
a
)
,
{\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}
χ
{\displaystyle \chi }
определяется его стоимостью в
g
q
.
{\displaystyle g_{q}.}
Позволять
ω
q
=
ζ
ϕ
(
q
)
{\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}
быть примитивным
ϕ
(
q
)
{\displaystyle \phi (q)}
-й корень из единицы. Из свойства 7) выше возможные значения
χ
(
g
q
)
{\displaystyle \chi (g_{q})}
являются
ω
q
,
ω
q
2
,
.
.
.
ω
q
ϕ
(
q
)
=
1.
{\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}
Эти различные ценности порождают
ϕ
(
q
)
{\displaystyle \phi (q)}
Мод персонажей Дирихле
q
.
{\displaystyle q.}
Для
(
r
,
q
)
=
1
{\displaystyle (r,q)=1}
определять
χ
q
,
r
(
a
)
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)}
как
χ
q
,
r
(
a
)
=
{
0
if
gcd
(
a
,
q
)
>
1
ω
q
ν
q
(
r
)
ν
q
(
a
)
if
gcd
(
a
,
q
)
=
1.
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}
Тогда для
(
r
s
,
q
)
=
1
{\displaystyle (rs,q)=1}
и все
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
χ
q
,
r
(
a
)
χ
q
,
r
(
b
)
=
χ
q
,
r
(
a
b
)
,
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}
показывая это
χ
q
,
r
{\displaystyle \chi _{q,r}}
это персонаж и
χ
q
,
r
(
a
)
χ
q
,
s
(
a
)
=
χ
q
,
r
s
(
a
)
,
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}
что дает явный изоморфизм
(
Z
/
p
k
Z
)
×
^
≅
(
Z
/
p
k
Z
)
×
.
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}
2 — это примитивный корень мода 3. (
ϕ
(
3
)
=
2
{\displaystyle \phi (3)=2}
)
2
1
≡
2
,
2
2
≡
2
0
≡
1
(
mod
3
)
,
{\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}
поэтому значения
ν
3
{\displaystyle \nu _{3}}
являются
a
1
2
ν
3
(
a
)
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов mod 3 равны
1
2
χ
3
,
1
1
1
χ
3
,
2
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}
2 — это примитивный корень мода 5. (
ϕ
(
5
)
=
4
{\displaystyle \phi (5)=4}
)
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
3
,
2
4
≡
2
0
≡
1
(
mod
5
)
,
{\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}
поэтому значения
ν
5
{\displaystyle \nu _{5}}
являются
a
1
2
3
4
ν
5
(
a
)
0
1
3
2
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов mod 5 равны
1
2
3
4
χ
5
,
1
1
1
1
1
χ
5
,
2
1
i
−
i
−
1
χ
5
,
3
1
−
i
i
−
1
χ
5
,
4
1
−
1
−
1
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}
3 - это примитивный корень мода 7.(
ϕ
(
7
)
=
6
{\displaystyle \phi (7)=6}
)
3
1
≡
3
,
3
2
≡
2
,
3
3
≡
6
,
3
4
≡
4
,
3
5
≡
5
,
3
6
≡
3
0
≡
1
(
mod
7
)
,
{\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}
поэтому значения
ν
7
{\displaystyle \nu _{7}}
являются
a
1
2
3
4
5
6
ν
7
(
a
)
0
2
1
4
5
3
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов по модулю 7: (
ω
=
ζ
6
,
ω
3
=
−
1
{\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}
)
1
2
3
4
5
6
χ
7
,
1
1
1
1
1
1
1
χ
7
,
2
1
−
ω
ω
2
ω
2
−
ω
1
χ
7
,
3
1
ω
2
ω
−
ω
−
ω
2
−
1
χ
7
,
4
1
ω
2
−
ω
−
ω
ω
2
1
χ
7
,
5
1
−
ω
−
ω
2
ω
2
ω
−
1
χ
7
,
6
1
1
−
1
1
−
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}
.
2 - это примитивный корневой мод 9.(
ϕ
(
9
)
=
6
{\displaystyle \phi (9)=6}
)
2
1
≡
2
,
2
2
≡
4
,
2
3
≡
8
,
2
4
≡
7
,
2
5
≡
5
,
2
6
≡
2
0
≡
1
(
mod
9
)
,
{\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}
поэтому значения
ν
9
{\displaystyle \nu _{9}}
являются
a
1
2
4
5
7
8
ν
9
(
a
)
0
1
2
5
4
3
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов по модулю 9: (
ω
=
ζ
6
,
ω
3
=
−
1
{\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}
)
1
2
4
5
7
8
χ
9
,
1
1
1
1
1
1
1
χ
9
,
2
1
ω
ω
2
−
ω
2
−
ω
−
1
χ
9
,
4
1
ω
2
−
ω
−
ω
ω
2
1
χ
9
,
5
1
−
ω
2
−
ω
ω
ω
2
−
1
χ
9
,
7
1
−
ω
ω
2
ω
2
−
ω
1
χ
9
,
8
1
−
1
1
−
1
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}
.
(
Z
/
2
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}
— тривиальная группа с одним элементом.
(
Z
/
4
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}
является циклическим порядка 2. Для 8, 16 и более высоких степеней двойки примитивный корень отсутствует; степени 5 - это единицы
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}
а их отрицательные значения - это единицы
≡
3
(
mod
4
)
.
{\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}
[ 15 ]
Например
5
1
≡
5
,
5
2
≡
5
0
≡
1
(
mod
8
)
{\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}
5
1
≡
5
,
5
2
≡
9
,
5
3
≡
13
,
5
4
≡
5
0
≡
1
(
mod
16
)
{\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}
5
1
≡
5
,
5
2
≡
25
,
5
3
≡
29
,
5
4
≡
17
,
5
5
≡
21
,
5
6
≡
9
,
5
7
≡
13
,
5
8
≡
5
0
≡
1
(
mod
32
)
.
{\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}
Позволять
q
=
2
k
,
k
≥
3
{\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}
; затем
(
Z
/
q
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}
является прямым произведением циклической группы порядка 2 (порождённой −1) и циклической группы порядка
ϕ
(
q
)
2
{\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}
(генерируется 5).
Для нечетных чисел
a
{\displaystyle a}
определить функции
ν
0
{\displaystyle \nu _{0}}
и
ν
q
{\displaystyle \nu _{q}}
к
a
≡
(
−
1
)
ν
0
(
a
)
5
ν
q
(
a
)
(
mod
q
)
,
{\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}
0
≤
ν
0
<
2
,
0
≤
ν
q
<
ϕ
(
q
)
2
.
{\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}
Для нечетных
a
{\displaystyle a}
и
b
,
a
≡
b
(
mod
q
)
{\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}
тогда и только тогда, когда
ν
0
(
a
)
=
ν
0
(
b
)
{\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}
и
ν
q
(
a
)
=
ν
q
(
b
)
.
{\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}
Для нечетных
a
{\displaystyle a}
ценность
χ
(
a
)
{\displaystyle \chi (a)}
определяется значениями
χ
(
−
1
)
{\displaystyle \chi (-1)}
и
χ
(
5
)
.
{\displaystyle \chi (5).}
Позволять
ω
q
=
ζ
ϕ
(
q
)
2
{\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}
быть примитивным
ϕ
(
q
)
2
{\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}
-й корень из единицы. Возможные значения
χ
(
(
−
1
)
ν
0
(
a
)
5
ν
q
(
a
)
)
{\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}
являются
±
ω
q
,
±
ω
q
2
,
.
.
.
±
ω
q
ϕ
(
q
)
2
=
±
1.
{\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}
Эти различные ценности порождают
ϕ
(
q
)
{\displaystyle \phi (q)}
Мод персонажей Дирихле
q
.
{\displaystyle q.}
Для нечетных
r
{\displaystyle r}
определять
χ
q
,
r
(
a
)
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)}
к
χ
q
,
r
(
a
)
=
{
0
if
a
is even
(
−
1
)
ν
0
(
r
)
ν
0
(
a
)
ω
q
ν
q
(
r
)
ν
q
(
a
)
if
a
is odd
.
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}}
Тогда для нечетного
r
{\displaystyle r}
и
s
{\displaystyle s}
и все
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
χ
q
,
r
(
a
)
χ
q
,
r
(
b
)
=
χ
q
,
r
(
a
b
)
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}
показывая это
χ
q
,
r
{\displaystyle \chi _{q,r}}
это персонаж и
χ
q
,
r
(
a
)
χ
q
,
s
(
a
)
=
χ
q
,
r
s
(
a
)
{\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}
показывая это
(
Z
/
2
k
Z
)
×
^
≅
(
Z
/
2
k
Z
)
×
.
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}
Единственный мод персонажа 2 - главный персонаж.
χ
2
,
1
{\displaystyle \chi _{2,1}}
.
−1 — примитивный корень по модулю 4 (
ϕ
(
4
)
=
2
{\displaystyle \phi (4)=2}
)
a
1
3
ν
0
(
a
)
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}
Ненулевые значения символов mod 4 равны
1
3
χ
4
,
1
1
1
χ
4
,
3
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}
−1 и 5 генерируют единицы по модулю 8 (
ϕ
(
8
)
=
4
{\displaystyle \phi (8)=4}
)
a
1
3
5
7
ν
0
(
a
)
0
1
0
1
ν
8
(
a
)
0
1
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов mod 8 равны
1
3
5
7
χ
8
,
1
1
1
1
1
χ
8
,
3
1
1
−
1
−
1
χ
8
,
5
1
−
1
−
1
1
χ
8
,
7
1
−
1
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}
−1 и 5 генерируют единицы по модулю 16 (
ϕ
(
16
)
=
8
{\displaystyle \phi (16)=8}
)
a
1
3
5
7
9
11
13
15
ν
0
(
a
)
0
1
0
1
0
1
0
1
ν
16
(
a
)
0
3
1
2
2
1
3
0
{\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения символов по модулю 16 равны
1
3
5
7
9
11
13
15
χ
16
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ
16
,
3
1
−
i
−
i
1
−
1
i
i
−
1
χ
16
,
5
1
−
i
i
−
1
−
1
i
−
i
1
χ
16
,
7
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
χ
16
,
9
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
χ
16
,
11
1
i
i
1
−
1
−
i
−
i
−
1
χ
16
,
13
1
i
−
i
−
1
−
1
−
i
i
1
χ
16
,
15
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}
.
Позволять
m
=
p
1
m
1
p
2
m
2
⋯
p
k
m
k
=
q
1
q
2
⋯
q
k
{\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}
где
p
1
<
p
2
<
⋯
<
p
k
{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}
быть факторизацией
m
{\displaystyle m}
в высшие полномочия. Группа юнитов мод
m
{\displaystyle m}
изоморфно прямому произведению групп mod
q
i
{\displaystyle q_{i}}
: [ 16 ]
(
Z
/
m
Z
)
×
≅
(
Z
/
q
1
Z
)
×
×
(
Z
/
q
2
Z
)
×
×
⋯
×
(
Z
/
q
k
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}
Это означает, что 1) существует взаимно однозначное соответствие между
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
и
k
{\displaystyle k}
-кортежи
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
k
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}
где
a
i
∈
(
Z
/
q
i
Z
)
×
{\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}
и 2) мод умножения
m
{\displaystyle m}
соответствует покоординатному умножению
k
{\displaystyle k}
-кортежи:
a
b
≡
c
(
mod
m
)
{\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}
соответствует
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
k
)
×
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
)
=
(
c
1
,
c
2
,
…
,
c
k
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}
где
c
i
≡
a
i
b
i
(
mod
q
i
)
.
{\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}
Китайская теорема об остатках (CRT) подразумевает, что
a
i
{\displaystyle a_{i}}
просто
a
i
≡
a
(
mod
q
i
)
.
{\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}
Есть подгруппы
G
i
<
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
такой, что [ 17 ]
G
i
≅
(
Z
/
q
i
Z
)
×
{\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}
и
G
i
≡
{
(
Z
/
q
i
Z
)
×
mod
q
i
{
1
}
mod
q
j
,
j
≠
i
.
{\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}
Затем
(
Z
/
m
Z
)
×
≅
G
1
×
G
2
×
.
.
.
×
G
k
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}
и каждый
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
соответствует
k
{\displaystyle k}
-кортеж
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
a
k
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}
где
a
i
∈
G
i
{\displaystyle a_{i}\in G_{i}}
и
a
i
≡
a
(
mod
q
i
)
.
{\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}
Каждый
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
может быть однозначно факторизован как
a
=
a
1
a
2
.
.
.
a
k
.
{\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}
[ 18 ]
[ 19 ]
Если
χ
m
,
_
{\displaystyle \chi _{m,\_}}
это мод персонажа
m
,
{\displaystyle m,}
в подгруппе
G
i
{\displaystyle G_{i}}
он должен быть идентичен некоторым
χ
q
i
,
_
{\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}
против
q
i
{\displaystyle q_{i}}
Затем
χ
m
,
_
(
a
)
=
χ
m
,
_
(
a
1
a
2
.
.
.
)
=
χ
m
,
_
(
a
1
)
χ
m
,
_
(
a
2
)
.
.
.
=
χ
q
1
,
_
(
a
1
)
χ
a
2
,
_
(
a
2
)
.
.
.
,
{\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{a_{2},\_}(a_{2})...,}
показывая, что каждый мод персонажа
m
{\displaystyle m}
это продукт мода персонажей
q
i
{\displaystyle q_{i}}
.
Для
(
t
,
m
)
=
1
{\displaystyle (t,m)=1}
определять [ 20 ]
χ
m
,
t
=
χ
q
1
,
t
χ
q
2
,
t
.
.
.
{\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}
Тогда для
(
r
s
,
m
)
=
1
{\displaystyle (rs,m)=1}
и все
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
[ 21 ]
χ
m
,
r
(
a
)
χ
m
,
r
(
b
)
=
χ
m
,
r
(
a
b
)
,
{\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}
показывая это
χ
m
,
r
{\displaystyle \chi _{m,r}}
это персонаж и
χ
m
,
r
(
a
)
χ
m
,
s
(
a
)
=
χ
m
,
r
s
(
a
)
,
{\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}
демонстрирующий изоморфизм
(
Z
/
m
Z
)
×
^
≅
(
Z
/
m
Z
)
×
.
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}
(
Z
/
15
Z
)
×
≅
(
Z
/
3
Z
)
×
×
(
Z
/
5
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}
Факторизация символов по модулю 15:
χ
5
,
1
χ
5
,
2
χ
5
,
3
χ
5
,
4
χ
3
,
1
χ
15
,
1
χ
15
,
7
χ
15
,
13
χ
15
,
4
χ
3
,
2
χ
15
,
11
χ
15
,
2
χ
15
,
8
χ
15
,
14
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}
Ненулевые значения символов по модулю 15 равны
1
2
4
7
8
11
13
14
χ
15
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ
15
,
2
1
−
i
−
1
i
i
−
1
−
i
1
χ
15
,
4
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
χ
15
,
7
1
i
−
1
i
−
i
1
−
i
−
1
χ
15
,
8
1
i
−
1
−
i
−
i
−
1
i
1
χ
15
,
11
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
χ
15
,
13
1
−
i
−
1
−
i
i
1
i
−
1
χ
15
,
14
1
1
1
−
1
1
−
1
−
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}
.
(
Z
/
24
Z
)
×
≅
(
Z
/
8
Z
)
×
×
(
Z
/
3
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}
Факторизация символов по модулю 24:
χ
8
,
1
χ
8
,
3
χ
8
,
5
χ
8
,
7
χ
3
,
1
χ
24
,
1
χ
24
,
19
χ
24
,
13
χ
24
,
7
χ
3
,
2
χ
24
,
17
χ
24
,
11
χ
24
,
5
χ
24
,
23
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}
Ненулевые значения символов по модулю 24 равны
1
5
7
11
13
17
19
23
χ
24
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ
24
,
5
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
χ
24
,
7
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
χ
24
,
11
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
χ
24
,
13
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
χ
24
,
17
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
χ
24
,
19
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
χ
24
,
23
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}
.
(
Z
/
40
Z
)
×
≅
(
Z
/
8
Z
)
×
×
(
Z
/
5
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}
Факторизация символов по модулю 40:
χ
8
,
1
χ
8
,
3
χ
8
,
5
χ
8
,
7
χ
5
,
1
χ
40
,
1
χ
40
,
11
χ
40
,
21
χ
40
,
31
χ
5
,
2
χ
40
,
17
χ
40
,
27
χ
40
,
37
χ
40
,
7
χ
5
,
3
χ
40
,
33
χ
40
,
3
χ
40
,
13
χ
40
,
23
χ
5
,
4
χ
40
,
9
χ
40
,
19
χ
40
,
29
χ
40
,
39
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}
Ненулевые значения символов по модулю 40 равны
1
3
7
9
11
13
17
19
21
23
27
29
31
33
37
39
χ
40
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ
40
,
3
1
i
i
−
1
1
−
i
−
i
−
1
−
1
−
i
−
i
1
−
1
i
i
1
χ
40
,
7
1
i
−
i
−
1
−
1
−
i
i
1
1
i
−
i
−
1
−
1
−
i
i
1
χ
40
,
9
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
χ
40
,
11
1
1
−
1
1
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
χ
40
,
13
1
−
i
−
i
−
1
−
1
−
i
−
i
1
−
1
i
i
1
1
i
i
−
1
χ
40
,
17
1
−
i
i
−
1
1
−
i
i
−
1
1
−
i
i
−
1
1
−
i
i
−
1
χ
40
,
19
1
−
1
1
1
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
χ
40
,
21
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
−
1
1
χ
40
,
23
1
−
i
i
−
1
−
1
i
−
i
1
1
−
i
i
−
1
−
1
i
−
i
1
χ
40
,
27
1
−
i
−
i
−
1
1
i
i
−
1
−
1
i
i
1
−
1
−
i
−
i
1
χ
40
,
29
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
1
χ
40
,
31
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
1
−
1
−
1
1
−
1
1
1
−
1
χ
40
,
33
1
i
−
i
−
1
1
i
−
i
−
1
1
i
−
i
−
1
1
i
−
i
−
1
χ
40
,
37
1
i
i
−
1
−
1
i
i
1
−
1
−
i
−
i
1
1
−
i
−
i
−
1
χ
40
,
39
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}
.
Позволять
m
=
p
1
k
1
p
2
k
2
⋯
=
q
1
q
2
⋯
{\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }
,
p
1
<
p
2
<
…
{\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }
быть факторизацией
m
{\displaystyle m}
и предположим
(
r
s
,
m
)
=
1.
{\displaystyle (rs,m)=1.}
Есть
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
Мод персонажей Дирихле
m
.
{\displaystyle m.}
Они обозначаются
χ
m
,
r
,
{\displaystyle \chi _{m,r},}
где
χ
m
,
r
=
χ
m
,
s
{\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}
эквивалентно
r
≡
s
(
mod
m
)
.
{\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}
Личность
χ
m
,
r
(
a
)
χ
m
,
s
(
a
)
=
χ
m
,
r
s
(
a
)
{\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}
является изоморфизмом
(
Z
/
m
Z
)
×
^
≅
(
Z
/
m
Z
)
×
.
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}
[ 22 ]
Каждый мод персонажа
m
{\displaystyle m}
имеет уникальную факторизацию как произведение символов по модулю простых степеней, делящих
m
{\displaystyle m}
:
χ
m
,
r
=
χ
q
1
,
r
χ
q
2
,
r
.
.
.
{\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}
Если
m
=
m
1
m
2
,
(
m
1
,
m
2
)
=
1
{\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}
продукт
χ
m
1
,
r
χ
m
2
,
s
{\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}
это персонаж
χ
m
,
t
{\displaystyle \chi _{m,t}}
где
t
{\displaystyle t}
дается
t
≡
r
(
mod
m
1
)
{\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}
и
t
≡
s
(
mod
m
2
)
.
{\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}
Также, [ 23 ] [ 24 ]
χ
m
,
r
(
s
)
=
χ
m
,
s
(
r
)
{\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}
Два отношения ортогональности: [ 25 ]
∑
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
χ
(
a
)
=
{
ϕ
(
m
)
if
χ
=
χ
0
0
if
χ
≠
χ
0
{\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}
и
∑
χ
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
^
χ
(
a
)
=
{
ϕ
(
m
)
if
a
≡
1
(
mod
m
)
0
if
a
≢
1
(
mod
m
)
.
{\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}
Отношения можно записать в симметричной форме
∑
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
χ
m
,
r
(
a
)
=
{
ϕ
(
m
)
if
r
≡
1
0
if
r
≢
1
{\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}
и
∑
r
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
χ
m
,
r
(
a
)
=
{
ϕ
(
m
)
if
a
≡
1
0
if
a
≢
1.
{\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}
Первое соотношение легко доказать: если
χ
=
χ
0
{\displaystyle \chi =\chi _{0}}
есть
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
ненулевые слагаемые, каждое из которых равно 1. Если
χ
≠
χ
0
{\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}
есть [ 26 ] некоторый
a
∗
,
(
a
∗
,
m
)
=
1
,
χ
(
a
∗
)
≠
1.
{\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}
Затем
χ
(
a
∗
)
∑
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
χ
(
a
)
=
∑
a
χ
(
a
∗
)
χ
(
a
)
=
∑
a
χ
(
a
∗
a
)
=
∑
a
χ
(
a
)
,
{\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}
[ 27 ] подразумевая
(
χ
(
a
∗
)
−
1
)
∑
a
χ
(
a
)
=
0.
{\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}
Деление на первый множитель дает
∑
a
χ
(
a
)
=
0
,
{\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}
КЭД. Личность
χ
m
,
r
(
s
)
=
χ
m
,
s
(
r
)
{\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}
для
(
r
s
,
m
)
=
1
{\displaystyle (rs,m)=1}
показывает, что отношения эквивалентны друг другу.
Второе соотношение доказывается непосредственно таким же способом, но требует леммы [ 28 ]
Данный
a
≢
1
(
mod
m
)
,
(
a
,
m
)
=
1
,
{\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}
есть
χ
∗
,
χ
∗
(
a
)
≠
1.
{\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}
Второе соотношение имеет важное следствие: если
(
a
,
m
)
=
1
,
{\displaystyle (a,m)=1,}
определить функцию
f
a
(
n
)
=
1
ϕ
(
m
)
∑
χ
χ
¯
(
a
)
χ
(
n
)
.
{\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}
Затем
f
a
(
n
)
=
1
ϕ
(
m
)
∑
χ
χ
(
a
−
1
)
χ
(
n
)
=
1
ϕ
(
m
)
∑
χ
χ
(
a
−
1
n
)
=
{
1
,
n
≡
a
(
mod
m
)
0
,
n
≢
a
(
mod
m
)
,
{\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}
То есть
f
a
=
1
[
a
]
{\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}
индикаторная функция класса вычетов
[
a
]
=
{
x
:
x
≡
a
(
mod
m
)
}
{\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}
. Он является основным в доказательстве теоремы Дирихле. [ 29 ] [ 30 ]
Дирижер; Примитивные и индуцированные персонажи [ редактировать ]
Любая модификация персонажа с основной силой также является модификацией персонажа с любой большей силой. Например мод 16 [ 31 ]
1
3
5
7
9
11
13
15
χ
16
,
3
1
−
i
−
i
1
−
1
i
i
−
1
χ
16
,
9
1
−
1
−
1
1
1
−
1
−
1
1
χ
16
,
15
1
−
1
1
−
1
1
−
1
1
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}
χ
16
,
3
{\displaystyle \chi _{16,3}}
имеет период 16, но
χ
16
,
9
{\displaystyle \chi _{16,9}}
имеет период 8 и
χ
16
,
15
{\displaystyle \chi _{16,15}}
имеет период 4:
χ
16
,
9
=
χ
8
,
5
{\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}
и
χ
16
,
15
=
χ
8
,
7
=
χ
4
,
3
.
{\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}
Мы говорим, что персонаж
χ
{\displaystyle \chi }
модуля
q
{\displaystyle q}
имеет квазипериод
d
{\displaystyle d}
если
χ
(
m
)
=
χ
(
n
)
{\displaystyle \chi (m)=\chi (n)}
для всех
m
{\displaystyle m}
,
n
{\displaystyle n}
взаимно простой с
q
{\displaystyle q}
удовлетворяющий
m
≡
n
{\displaystyle m\equiv n}
против
d
{\displaystyle d}
. [ 32 ] Например,
χ
2
,
1
{\displaystyle \chi _{2,1}}
, единственный характер Дирихле модуля
2
{\displaystyle 2}
, имеет квазипериод
1
{\displaystyle 1}
, но не период
1
{\displaystyle 1}
(имеет период
2
{\displaystyle 2}
, хотя). Наименьшее целое положительное число, для которого
χ
{\displaystyle \chi }
квазипериодический, проводником является
χ
{\displaystyle \chi }
. [ 33 ] Так, например,
χ
2
,
1
{\displaystyle \chi _{2,1}}
имеет проводника
1
{\displaystyle 1}
.
Дирижер
χ
16
,
3
{\displaystyle \chi _{16,3}}
16 лет, дирижер
χ
16
,
9
{\displaystyle \chi _{16,9}}
это 8 и что
χ
16
,
15
{\displaystyle \chi _{16,15}}
и
χ
8
,
7
{\displaystyle \chi _{8,7}}
равно 4. Если модуль и проводник равны, символ является примитивным , в противном случае — непримитивным . Импримитивный характер индуцируется символом наименьшего модуля:
χ
16
,
9
{\displaystyle \chi _{16,9}}
индуцируется из
χ
8
,
5
{\displaystyle \chi _{8,5}}
и
χ
16
,
15
{\displaystyle \chi _{16,15}}
и
χ
8
,
7
{\displaystyle \chi _{8,7}}
индуцируются из
χ
4
,
3
{\displaystyle \chi _{4,3}}
.
Аналогичное явление может произойти с модификацией персонажа, являющейся произведением простых чисел; его ненулевые значения могут быть периодическими с меньшим периодом.
Например, мод 15,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
χ
15
,
8
1
i
0
−
1
0
0
−
i
−
i
0
0
−
1
0
i
1
0
χ
15
,
11
1
−
1
0
1
0
0
1
−
1
0
0
−
1
0
1
−
1
0
χ
15
,
13
1
−
i
0
−
1
0
0
−
i
i
0
0
1
0
i
−
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}
.
Ненулевые значения
χ
15
,
8
{\displaystyle \chi _{15,8}}
имеют период 15, но те из
χ
15
,
11
{\displaystyle \chi _{15,11}}
имеют период 3 и периоды
χ
15
,
13
{\displaystyle \chi _{15,13}}
имеют период 5. Это легче увидеть, сопоставив их с символами mod 3 и 5:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
χ
15
,
11
1
−
1
0
1
0
0
1
−
1
0
0
−
1
0
1
−
1
0
χ
3
,
2
1
−
1
0
1
−
1
0
1
−
1
0
1
−
1
0
1
−
1
0
χ
15
,
13
1
−
i
0
−
1
0
0
−
i
i
0
0
1
0
i
−
1
0
χ
5
,
3
1
−
i
i
−
1
0
1
−
i
i
−
1
0
1
−
i
i
−
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}
.
Если мод персонажа
m
=
q
r
,
(
q
,
r
)
=
1
,
q
>
1
,
r
>
1
{\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}
определяется как
χ
m
,
_
(
a
)
=
{
0
if
gcd
(
a
,
m
)
>
1
χ
q
,
_
(
a
)
if
gcd
(
a
,
m
)
=
1
{\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}
или, что эквивалентно, как
χ
m
,
_
=
χ
q
,
_
χ
r
,
1
,
{\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}
его ненулевые значения определяются модом персонажа
q
{\displaystyle q}
и есть период
q
{\displaystyle q}
.
Наименьший период ненулевых значений является проводником символа. Например, дирижер
χ
15
,
8
{\displaystyle \chi _{15,8}}
15 лет, дирижер
χ
15
,
11
{\displaystyle \chi _{15,11}}
равно 3, а это
χ
15
,
13
{\displaystyle \chi _{15,13}}
это 5.
Как и в случае с простой степенью, если проводник равен модулю, символ является примитивным , в противном случае — примитивным . Если он примитивен, он индуцируется символом с меньшим модулем. Например,
χ
15
,
11
{\displaystyle \chi _{15,11}}
индуцируется из
χ
3
,
2
{\displaystyle \chi _{3,2}}
и
χ
15
,
13
{\displaystyle \chi _{15,13}}
индуцируется из
χ
5
,
3
{\displaystyle \chi _{5,3}}
Главный герой не примитивен. [ 34 ]
Персонаж
χ
m
,
r
=
χ
q
1
,
r
χ
q
2
,
r
.
.
.
{\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}
является примитивным тогда и только тогда, когда каждый из факторов примитивен. [ 35 ]
Примитивные символы часто упрощают (или делают возможными) формулы в теориях L-функций. [ 36 ] и модульные формы .
χ
(
a
)
{\displaystyle \chi (a)}
если даже
χ
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle \chi (-1)=1}
и странно , если
χ
(
−
1
)
=
−
1.
{\displaystyle \chi (-1)=-1.}
Это различие появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .
Порядок порядок символа — это его как элемента группы.
(
Z
/
m
Z
)
×
^
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}
, т.е. наименьшее положительное целое число
n
{\displaystyle n}
такой, что
χ
n
=
χ
0
.
{\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}
Из-за изоморфизма
(
Z
/
m
Z
)
×
^
≅
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
порядок
χ
m
,
r
{\displaystyle \chi _{m,r}}
аналогичен порядку
r
{\displaystyle r}
в
(
Z
/
m
Z
)
×
.
{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}
Главный персонаж имеет порядок 1; другие реальные персонажи имеют порядок 2, а воображаемые персонажи имеют порядок 3 или выше. По теореме Лагранжа порядок символа делит порядок
(
Z
/
m
Z
)
×
^
{\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}
который
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
χ
(
a
)
{\displaystyle \chi (a)}
является действительным или квадратичным, если все его значения действительны (они должны быть
0
,
±
1
{\displaystyle 0,\;\pm 1}
); в противном случае оно сложное или воображаемое.
χ
{\displaystyle \chi }
действительно тогда и только тогда, когда
χ
2
=
χ
0
{\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}
;
χ
m
,
k
{\displaystyle \chi _{m,k}}
действительно тогда и только тогда, когда
k
2
≡
1
(
mod
m
)
{\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}
; в частности,
χ
m
,
−
1
{\displaystyle \chi _{m,-1}}
является действительным и неглавным. [ 37 ]
Оригинальное доказательство Дирихле, что
L
(
1
,
χ
)
≠
0
{\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}
(что было справедливо только для простых модулей) принимало две разные формы в зависимости от того, было ли
χ
{\displaystyle \chi }
было реальным или нет. Его более позднее доказательство, справедливое для всех модулей, было основано на его формуле числа классов . [ 38 ] [ 39 ]
Реальные символы — это символы Кронекера ; [ 40 ] например, главный персонаж может быть записан [ 41 ]
χ
m
,
1
=
(
m
2
∙
)
{\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}
.
Настоящие персонажи в примерах:
Если
m
=
p
1
k
1
p
2
k
2
.
.
.
,
p
1
<
p
2
<
.
.
.
{\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}
главный герой - это [ 42 ]
χ
m
,
1
=
(
p
1
2
p
2
2
.
.
.
∙
)
.
{\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}
χ
16
,
1
=
χ
8
,
1
=
χ
4
,
1
=
χ
2
,
1
=
(
4
∙
)
{\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}
χ
9
,
1
=
χ
3
,
1
=
(
9
∙
)
{\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}
χ
5
,
1
=
(
25
∙
)
{\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}
χ
7
,
1
=
(
49
∙
)
{\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}
χ
15
,
1
=
(
225
∙
)
{\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
1
=
(
36
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
1
=
(
100
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}
Если модуль является абсолютным значением фундаментального дискриминанта, то существует реальный примитивный характер (их два, если модуль кратен 8); в противном случае, если есть какие-либо примитивные символы [ 35 ] они воображаемые. [ 43 ]
χ
3
,
2
=
(
−
3
∙
)
{\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}
χ
4
,
3
=
(
−
4
∙
)
{\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}
χ
5
,
4
=
(
5
∙
)
{\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}
χ
7
,
6
=
(
−
7
∙
)
{\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}
χ
8
,
3
=
(
−
8
∙
)
{\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}
χ
8
,
5
=
(
8
∙
)
{\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}
χ
15
,
14
=
(
−
15
∙
)
{\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
5
=
(
−
24
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
11
=
(
24
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
19
=
(
−
40
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
29
=
(
40
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}
χ
8
,
7
=
χ
4
,
3
=
(
−
4
∙
)
{\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}
χ
9
,
8
=
χ
3
,
2
=
(
−
3
∙
)
{\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}
χ
15
,
4
=
χ
5
,
4
χ
3
,
1
=
(
45
∙
)
{\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}
χ
15
,
11
=
χ
3
,
2
χ
5
,
1
=
(
−
75
∙
)
{\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}
χ
16
,
7
=
χ
8
,
3
=
(
−
8
∙
)
{\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}
χ
16
,
9
=
χ
8
,
5
=
(
8
∙
)
{\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}
χ
16
,
15
=
χ
4
,
3
=
(
−
4
∙
)
{\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
7
=
χ
8
,
7
χ
3
,
1
=
χ
4
,
3
χ
3
,
1
=
(
−
36
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
13
=
χ
8
,
5
χ
3
,
1
=
(
72
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
17
=
χ
3
,
2
χ
8
,
1
=
(
−
12
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
19
=
χ
8
,
3
χ
3
,
1
=
(
−
72
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}
χ
24
,
23
=
χ
8
,
7
χ
3
,
2
=
χ
4
,
3
χ
3
,
2
=
(
12
∙
)
{\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
9
=
χ
5
,
4
χ
8
,
1
=
(
20
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
11
=
χ
8
,
3
χ
5
,
1
=
(
−
200
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
21
=
χ
8
,
5
χ
5
,
1
=
(
200
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
31
=
χ
8
,
7
χ
5
,
1
=
χ
4
,
3
χ
5
,
1
=
(
−
100
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}
χ
40
,
39
=
χ
8
,
7
χ
5
,
4
=
χ
4
,
3
χ
5
,
4
=
(
−
20
∙
)
{\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}
L-серия Дирихле для персонажа
χ
{\displaystyle \chi }
является
L
(
s
,
χ
)
=
∑
n
=
1
∞
χ
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}
Этот ряд сходится только при
R
s
>
1
{\displaystyle {\mathfrak {R}}s>1}
; ее можно аналитически продолжить до мероморфной функции
Дирихле представил
L
{\displaystyle L}
-функционирует вместе с персонажами его статьи 1837 года.
Характеры Дирихле появляются в нескольких местах в теории модулярных форм и функций. Типичный пример: [ 44 ]
Позволять
χ
∈
(
Z
/
M
Z
)
×
^
{\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}
и пусть
χ
1
∈
(
Z
/
N
Z
)
×
^
{\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}
быть примитивным.
Если
f
(
z
)
=
∑
a
n
q
n
∈
M
k
(
M
,
χ
)
{\displaystyle f(z)=\sum a_{n}q^{n}\in M_{k}(M,\chi )}
[ 45 ]
определять
f
χ
1
(
z
)
=
∑
χ
1
(
n
)
a
n
z
n
{\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}
, [ 46 ]
Затем
f
χ
1
(
z
)
∈
M
k
(
M
N
2
,
χ
χ
1
2
)
{\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}
. Если
f
{\displaystyle f}
это форма возврата, поэтому
f
χ
1
.
{\displaystyle f_{\chi _{1}}.}
в тета-ряде персонажа Дирихле Другой пример см. .
Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна
G
(
χ
)
=
∑
a
=
1
N
χ
(
a
)
e
2
π
i
a
N
.
{\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}
Он появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .
Если
χ
{\displaystyle \chi }
и
ψ
{\displaystyle \psi }
являются ли персонажи Дирихле модом простого числа
p
{\displaystyle p}
их сумма Якоби равна
J
(
χ
,
ψ
)
=
∑
a
=
2
p
−
1
χ
(
a
)
ψ
(
1
−
a
)
.
{\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}
Суммы Якоби можно разложить на произведения сумм Гаусса.
Если
χ
{\displaystyle \chi }
это мод персонажа Дирихле
q
{\displaystyle q}
и
ζ
=
e
2
π
i
q
{\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}
сумма Клоостермана
K
(
a
,
b
,
χ
)
{\displaystyle K(a,b,\chi )}
определяется как [ 47 ]
K
(
a
,
b
,
χ
)
=
∑
r
∈
(
Z
/
q
Z
)
×
χ
(
r
)
ζ
a
r
+
b
r
.
{\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}
Если
b
=
0
{\displaystyle b=0}
это сумма Гаусса.
Чтобы показать, что функция является характером Дирихле, не обязательно устанавливать определяющие свойства 1)–3).
Если
X
:
Z
→
C
{\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }
такой, что
1)
X
(
a
b
)
=
X
(
a
)
X
(
b
)
,
{\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}
2)
X
(
a
+
m
)
=
X
(
a
)
{\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}
,
3) Если
gcd
(
a
,
m
)
>
1
{\displaystyle \gcd(a,m)>1}
затем
X
(
a
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}
, но
4)
X
(
a
)
{\displaystyle \mathrm {X} (a)}
не всегда 0,
затем
X
(
a
)
{\displaystyle \mathrm {X} (a)}
является одним из
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
мод персонажей
m
{\displaystyle m}
[ 48 ]
Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция.
f
:
N
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }
которое удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению : то есть, если
a
1
f
(
n
+
b
1
)
+
⋯
+
a
k
f
(
n
+
b
k
)
=
0
{\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}
для всех положительных целых чисел
n
{\displaystyle n}
, где
a
1
,
…
,
a
k
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}
не все равны нулю и
b
1
,
…
,
b
k
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}
тогда они различны
f
{\displaystyle f}
персонаж Дирихле. [ 49 ]
Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция.
f
:
N
→
C
{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }
удовлетворяющий следующим трем свойствам: а)
f
{\displaystyle f}
принимает только конечное число значений; б)
f
{\displaystyle f}
исчезает только в конечном числе простых чисел; в) есть
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
за что остаток
|
∑
n
≤
x
f
(
n
)
−
α
x
|
{\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}
равномерно ограничено, так как
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
. Это эквивалентное определение характеров Дирихле было предложено Чудаковым. [ 50 ] в 1956 году и доказали в 2017 году Клурман и Мангерель. [ 51 ]
^ Это стандартное определение; например, Давенпорт, стр. 27; Ландау с. 109; Ирландия и Розен с. 253
^ Обратите внимание на особый случай модуля 1: уникальный символ mod 1 — это константа 1; все остальные символы равны 0 в 0
^ Давенпорт с. 1
^ Английский перевод находится во внешних ссылках.
^ Используется в Давенпорте, Ландау, Ирландии и Розене.
^
(
r
s
,
m
)
=
1
{\displaystyle (rs,m)=1}
эквивалентно
gcd
(
r
,
m
)
=
gcd
(
s
,
m
)
=
1
{\displaystyle \gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1}
^ См . Мультипликативный символ .
^ Ирландия и Розен, с. 253-254
^ См . Группа символов # Ортогональность символов.
^ Давенпорт с. 27
^ Эти свойства содержатся во всех введениях в эту тему, например, Davenport p. 27, Ландау с. 109.
^ В общем, продукт мода персонажа
m
{\displaystyle m}
и мод персонажа
n
{\displaystyle n}
это мод персонажа
lcm
(
m
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}
^ За исключением использования модифицированной маркировки Конри, этот раздел соответствует стр. 1–3, 27–30 Давенпорта.
^ Есть примитивный рут мод
p
{\displaystyle p}
это примитивный корневой мод
p
2
{\displaystyle p^{2}}
и все высшие силы
p
{\displaystyle p}
. См., например, Ландау с. 106
^ Ландау, стр. 107-108.
^ см . в группе единиц. Подробности
^ Чтобы построить
G
i
,
{\displaystyle G_{i},}
для каждого
a
∈
(
Z
/
q
i
Z
)
×
{\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}
используйте ЭЛТ, чтобы найти
a
i
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
{\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
где
a
i
≡
{
a
mod
q
i
1
mod
q
j
,
j
≠
i
.
{\displaystyle a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}
^ Предположим
a
{\displaystyle a}
соответствует
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...)}
. По конструкции
a
1
{\displaystyle a_{1}}
соответствует
(
a
1
,
1
,
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{1},1,1,...)}
,
a
2
{\displaystyle a_{2}}
к
(
1
,
a
2
,
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (1,a_{2},1,...)}
и т. д., чье покоординатное произведение равно
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
)
.
{\displaystyle (a_{1},a_{2},...).}
^ Например, пусть
m
=
40
,
q
1
=
8
,
q
2
=
5.
{\displaystyle m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.}
Затем
G
1
=
{
1
,
11
,
21
,
31
}
{\displaystyle G_{1}=\{1,11,21,31\}}
и
G
2
=
{
1
,
9
,
17
,
33
}
.
{\displaystyle G_{2}=\{1,9,17,33\}.}
Факторизация элементов
(
Z
/
40
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }}
является
1
9
17
33
1
1
9
17
33
11
11
19
27
3
21
21
29
37
13
31
31
39
7
23
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}}
^ См . маркировку Конри .
^ Потому что эти формулы верны для каждого фактора.
^ Это верно для всех конечных абелевых групп:
A
≅
A
^
{\displaystyle A\cong {\hat {A}}}
; См. Ирландию и Розена, стр. 253–254.
^ потому что формулы для
χ
{\displaystyle \chi }
степени простых чисел по модулю симметричны по
r
{\displaystyle r}
и
s
{\displaystyle s}
и формула для произведений сохраняет эту симметрию. См. Давенпорт, с. 29.
^ Это то же самое, что сказать, что n-й столбец и n-я строка в таблицах ненулевых значений совпадают.
^ См . #Отношение к символам группы выше.
^ по определению
χ
0
{\displaystyle \chi _{0}}
^, потому что умножение каждого элемента в группе на постоянный элемент просто меняет местами элементы. См. группу (математика)
^ Давенпорт с. 30 (перефраз) Для доказательства [второго соотношения] приходится использовать идеи, которые мы использовали при построении [как в этой статье или Ландау стр. 109-114], или обращаться к базовой теореме для абелевых групп [как в Ирландии и Розен, стр. 253-254]
^ Давенпорт гл. 1, 4; Ландау с. 114
^ Обратите внимание, что если
g
:
(
Z
/
m
Z
)
×
→
C
{\displaystyle g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} }
это какая-то функция
g
(
n
)
=
∑
a
∈
(
Z
/
m
Z
)
×
g
(
a
)
f
a
(
n
)
{\displaystyle g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)}
; см. преобразование Фурье для конечных групп # Преобразование Фурье для конечных абелевых групп
^ Этот раздел следует за стр. 35-36 Давенпорта,
^ Платт, Дэйв. «Персонажи Дирихле Def. 11.10» (PDF) . Проверено 5 апреля 2024 г.
^ «Дирижер персонажа Дирихле (рецензия)» . ЛМДБД . Проверено 5 апреля 2024 г.
^ Давенпорт не классифицирует его как ни примитивный, ни импримитивный; LMFDB вызывает его из
χ
1
,
1
.
{\displaystyle \chi _{1,1}.}
^ Jump up to: а б Обратите внимание, что если
m
{\displaystyle m}
это в два раза нечетное число,
m
=
2
r
{\displaystyle m=2r}
, мод всех персонажей
m
{\displaystyle m}
являются примитивными, потому что
χ
m
,
_
=
χ
r
,
_
χ
2
,
1
{\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}}
^ Например, функциональное уравнение
L
(
s
,
χ
)
{\displaystyle L(s,\chi )}
справедливо только для примитива
χ
{\displaystyle \chi }
. См. Давенпорт, с. 85
^ Фактически, для простого модуля
p
χ
p
,
−
1
{\displaystyle p\;\;\chi _{p,-1}}
является символом Лежандра :
χ
p
,
−
1
(
a
)
=
(
a
p
)
.
{\displaystyle \chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;}
Эскиз доказательства:
ν
p
(
−
1
)
=
p
−
1
2
,
ω
ν
p
(
−
1
)
=
−
1
,
ν
p
(
a
)
{\displaystyle \nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)}
является четным (нечетным), если a - квадратичный остаток (невычет)
^ Давенпорт, гл. 1, 4.
^ Доказательство Ирландии и Розена, справедливое для всех модулей, также имеет эти два случая. стр. 259 и далее
^ Давенпорт с. 40
^ Обозначения
χ
m
,
1
=
(
m
2
∙
)
{\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}
это более короткий способ записи
χ
m
,
1
(
a
)
=
(
m
2
a
)
{\displaystyle \chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)}
^ Произведение простых чисел гарантирует, что оно равно нулю, если
gcd
(
m
,
∙
)
>
1
{\displaystyle \gcd(m,\bullet )>1}
; квадраты гарантируют, что его единственное ненулевое значение равно 1.
^ Давенпорт, стр. 38-40.
^ Коблиц, реквизит. 17б с. 127
^
f
(
z
)
∈
M
k
(
M
,
χ
)
{\displaystyle f(z)\in M_{k}(M,\chi )}
означает
1)
f
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
(
c
z
+
d
)
−
k
=
f
(
z
)
{\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)}
где
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
и
a
≡
d
≡
1
,
c
≡
0
(
mod
M
)
.
{\displaystyle a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.}
и 2)
f
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
(
c
z
+
d
)
−
k
=
χ
(
d
)
f
(
z
)
{\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)}
где
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
и
c
≡
0
(
mod
M
)
.
{\displaystyle c\equiv 0{\pmod {M}}.}
См. Коблиц гл. III.
^ поворот
f
{\displaystyle f}
к
χ
1
{\displaystyle \chi _{1}}
^ LMFDB определение суммы Клоостермана
^ Давенпорт с. 30
^ Саркози
^ Chudakov
^ Клурман
Чудаков Н.Г. "Теория характеров числовых полугрупп". Дж. Индийская математика. Соц . 20 :11–15.
Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том. 1. Чикаго: Маркхэм. Збл 0159.06303 .
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-97329-Х
Клурман, Алексей; Мангерель, Александр П. (2017). «Теоремы жесткости для мультипликативных функций». Математика. Энн . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Бибкод : 2017arXiv170707817K . дои : 10.1007/s00208-018-1724-6 . S2CID 119597384 .
Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модульные формы . Тексты для аспирантов по математике. Том. 97 (2-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97966-2 .
Ландау, Эдмунд (1966), Элементарная теория чисел , Нью-Йорк: Челси
Саркози, Андрас. «О мультипликативных арифметических функциях, удовлетворяющих линейной рекурсии». Студия Sci. Математика. Хунг . 13 (1–2): 79–104.