Явные формулы для L-функций

В математике для явные формулы L -функций представляют собой отношения между суммами по комплексного числа нулям L-функции и суммами по простым степеням , введенные Риманом (1859) для дзета-функции Римана . Такие явные формулы были применены также к вопросам об ограничении дискриминанта поля алгебраических чисел и проводника числового поля .

Явная формула Римана

В своей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » Риман набросал явную формулу (она не была полностью доказана до 1895 года фон Мангольдтом , см. ниже) для нормализованной функции подсчета простых чисел π ₀ ( x ) , которая связана с функцией счета простых чисел π( x ) соотношением

$\pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (x-h)\,\right]\,,$

которое принимает среднее арифметическое предела слева и предела справа на разрывах. Его формула была дана через родственную функцию

$f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots$

в котором простая степень p ^н считается как 1 ⁄ n простого числа. Нормализованную функцию подсчета простых чисел можно восстановить из этой функции с помощью

$\pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,$

где µ ( n ) – функция Мёбиуса . Тогда формула Римана будет

$f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}$

включающий сумму по нетривиальным нулям ρ дзета-функции Римана. Сумма не является абсолютно сходящейся , но ее можно оценить, отбирая нули в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция li, входящая в первый член, представляет собой (несмещенную) логарифмическую интегральную функцию, определяемую главным значением Коши расходящегося интеграла

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.$

Члены li( x ^р ), включающие нули дзета-функции, требуют некоторой осторожности при их определении, поскольку li имеет точки ветвления в точках 0 и 1 и определяется аналитическим продолжением по комплексной переменной ρ в области x > 1 и Re( ρ ) > 0 . Остальные члены также соответствуют нулям: доминирующий член li( x ) исходит из полюса в точке s = 1 , рассматриваемого как ноль кратности −1, а остальные малые члены происходят из тривиальных нулей. Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. (Графики сумм первых нескольких членов этого ряда см. Zagier 1977. )

Первое строгое доказательство вышеупомянутой формулы было дано фон Мангольдтом в 1895 году: оно началось с доказательства следующей формулы для функции Чебышева ψ  

$\psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})$

где LHS — обратное преобразование Меллина с

$\sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))$

а правая часть получается из теоремы о вычетах с последующим преобразованием ее в формулу, которую на самом деле нарисовал сам Риман.

Этот ряд также условно сходится и сумму по нулям следует снова брать в порядке возрастания мнимой части:

$\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)$   где   $S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.$

Ошибка, связанная с усечением суммы до S ( x , T ), всегда меньше, чем ln( x ) по абсолютному значению, а при делении на натуральный логарифм x имеет абсолютное значение меньше, чем x ⁄ T, разделенное на расстояние от x до ближайшей простой степени.

Явная формула Вейля

Существует несколько несколько разных способов формулировки явной формулы. Андре Вейля Форма явной формулы гласит:

${\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}$

где

• ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции
• p пробегает положительные простые числа
• m пробегает положительные целые числа
• F — гладкая функция, все производные которой быстро убывают.
• $\varphi$ является преобразованием Фурье F : $$\varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx$$
• $\Phi (1/2+it)=\varphi (t)$
• $\Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))$, где $\psi$ — дигамма-функция Γ ′ /Γ .

Грубо говоря, явная формула гласит, что преобразование Фурье нулей дзета-функции представляет собой набор степеней простых чисел плюс некоторые элементарные множители. Как только это сказано, формула исходит из того факта, что преобразование Фурье является унитарным оператором, так что скалярное произведение во временной области равно скалярному произведению преобразований Фурье в частотной области.

Члены в формуле возникают следующим образом.

• Члены в правой части получаются из производной логарифмической $$\zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$$ с членами, соответствующими простому числу p, происходящими из фактора Эйлера p , и членом в конце, включающим Ψ, происходящим из гамма-фактора ( фактор Эйлера на бесконечности).
• Левая часть представляет собой сумму по всем нулям ζ  ^* считаются с кратностью, поэтому полюса в точках 0 и 1 считаются нулями порядка −1.

Явную формулу Вейля можно понять так. Цель состоит в том, чтобы иметь возможность написать следующее:

${\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},$

где Λ — функция Мангольдта .

Таким образом, преобразование Фурье нетривиальных нулей равно симметризованной степени простых чисел плюс младший член. Конечно, рассматриваемая сумма не сходится, но хитрость заключается в том, чтобы использовать унитарное свойство преобразования Фурье, которое заключается в том, что оно сохраняет скалярное произведение:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt$

где $F,G$ являются преобразованиями Фурье $f,g$. На первый взгляд кажется, что это формула только для функций, но на самом деле во многих случаях она работает и тогда, когда $g$ является распределением. Следовательно, установив $$g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],$$ где $\delta (u)$ — дельта Дирака , и тщательно выбирая функцию $f$ и его преобразование Фурье, мы получаем формулу выше.

Явные формулы для других арифметических функций

Формула Римана-Вейля может быть обобщено на арифметические функции, отличные от функции фон Мангольдта . Например, для функции Мёбиуса имеем

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.$

Также для функции Лиувилля имеем

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).$

Для функции Эйлера-Фи явная формула имеет вид

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.$

Предполагая, что дзета-функция Римана имеет только простые нули.Во всех случаях сумма связана с мнимой частью нулей Римана. ${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ а функция h связана с пробной функцией g преобразованием Фурье: ${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$.

Для функции делителя нулевого порядка $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)$.

Использование тестовой функции вида $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ при некотором положительном значении a формула суммирования Пуассона превращается в формулу, включающую преобразование Меллина. Здесь y — действительный параметр.

Обобщения

Дзета-функция Римана может быть заменена L-функцией Дирихле характера Дирихле χ. Тогда сумма по основным степеням становится дополнительнойкоэффициенты χ ( p  ^м ), а члены Φ(1) и Φ(0) исчезают, поскольку L-ряд не имеет полюсов.

В более общем смысле, дзета-функция Римана и L-ряд могут быть заменены дзета-функцией Дедекинда поля алгебраических чисел или L-рядом Гекке . Тогда сумма по простым числам заменяется суммой по простым идеалам.

Приложения

Первоначальное использование Риманом явной формулы заключалось в том, чтобы дать точную формулу для количества простых чисел, меньших заданного числа. Для этого возьмем F (log( y )) равным y ^1/2 /log( y ) для 0 ≤ y ≤ x и 0 в другом месте. Тогда главный член суммы справа — это количество простых чисел меньше x . Главный член слева — Φ (1); которое оказывается доминирующим членом теоремы о простых числах , а основная поправка — это сумма по нетривиальным нулям дзета-функции. (При использовании этого случая возникает небольшая техническая проблема: функция F не удовлетворяет условию гладкости.)

Гипотеза Гильберта – Полиа

Согласно гипотезе Гильберта–Пойа комплексные нули ρ должны быть собственными значениями некоторого линейного оператора T. , Сумма по нулям явной формулы тогда (по крайней мере формально) задается следом:

$\sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!$

Разработка явных формул для широкого класса L-функций была дана Вейлем (1952) , который первым распространил эту идею на локальные дзета-функции и сформулировал версию обобщенной гипотезы Римана в этом контексте как утверждение о положительности для на обобщенная функция топологической группе . Более поздняя работа Алена Конна пошла гораздо дальше в сторону функционально-аналитического подхода, предоставив формулу следа, справедливость которой эквивалентна такой обобщенной гипотезе Римана. Несколько иную точку зрения высказал Мейер (2005) , который вывел явную формулу Вейля посредством гармонического анализа адельных пространств.

См. также

• Формула следа Сельберга
• Дзета-функция Сельберга

Ссылки

• Ингхэм, А.Е. (1990) [1932], Распределение простых чисел , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, том. 30, переиздано с предисловием Р. К. Воана (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN.  978-0-521-39789-6 , МР   1074573 , Збл   0715.11045
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  0-387-94225-4 , Збл   0811.11001
• Риман, Бернхард (1859), «О количестве простых чисел заданного размера» , ежемесячные отчеты Берлинской академии.
• Вейль, Андре (1952), «О «явных формулах» в теории простых чисел», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мачта. Sem.] (на французском языке), дополнительный том: 252–265, MR   0053152 , Zbl   0049.03205.
• фон Мангольдт, Ганс (1895), «О статье Римана «О статье Римана «Число простых чисел меньше заданной величины»», Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 114 : 255–305, ISSN   0075-4102 , ЖФМ   26.0215.03 , МР   1580379
• Мейер, Ральф (2005), «О представлении группы классов иделей, связанных с простыми числами и нулями L -функций», Duke Math. J. , 127 (3): 519–595, arXiv : math/0311468 , doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4 , ISSN   0012-7094 , MR   2132868 , S2CID   119176169 , Zbl   1079 .11044
• Загер, Дон (1977), «Первые 50 миллионов простых чисел», The Mathematical Intelligencer , 1 (S2): 7–19, doi : 10.1007/bf03351556 , S2CID   37866599

Дальнейшее чтение

• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана , Pure and Applied Mathematics, vol. 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN.  0-12-232750-0 , Збл   0315.10035
• Ризель, Ганс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации , Progress in Mathematics, vol. 126 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN  0-8176-3743-5 , Збл   0821.11001