Хеджирующий персонаж

В теории чисел является характер Гекке обобщением характера Дирихле , введенного Эрихом Гекке для построения класса L -функции, большие, чем Дирихле L -функции , и естественная установка для дзета-функций Дедекинда и некоторых других, которые имеют функциональные уравнения, аналогичные уравнениям дзета-функции Римана .

Имя, которое иногда используется для персонажа Хекке, - это немецкий термин Großencharacter (часто пишется Grössencharacter, Grossencharacter и т. д.).

Определение с использованием иделов

Символ Хеке — это символ группы классов idele числового поля или глобального функционального поля . Он однозначно соответствует характеру группы иделей , который тривиален на главных иделях посредством композиции с отображением проекции.

Это определение зависит от определения символа, которое немного различается у разных авторов: его можно определить как гомоморфизм ненулевых комплексных чисел (также называемый «квазихарактером») или как гомоморфизм единичного круга в C ( «единый»). Любой квазихарактер (из группы классов идель) можно однозначно записать как унитарный характер, умноженный на действительную степень нормы, поэтому между этими двумя определениями нет большой разницы.

Проводником является характера Гекке χ наибольший идеал m такой, что χ является характером Гекке по модулю m . Здесь мы говорим, что χ является характером Гекке по модулю m, если χ (рассматриваемый как характер группы иделей) тривиален на группе конечных иделей, каждая v-адическая компонента которых лежит в 1 + m O _v .

Определение с использованием идеалов

Первоначальное определение персонажа Хеке, восходящее к Хекке, заключалось вперсонаж дробных идеалов . Для числового поля K пусть m = m _f m _∞ быть K - модуль , где m _f является целым идеалом K а m _∞ , «бесконечная часть», является (формальным) произведением действительных мест K. , «конечная часть» , , Позвольте мне _​ обозначаем группу дробных идеалов K относительно простых с m _f ипусть P _m обозначает подгруппу главных дробных идеалов ( a )где a близко к 1 в каждой позиции m в соответствии с кратностямиего факторы: для каждой конечной позиции v в m _f ord _v ( a − 1) не меньше показателя степени v в m _f , и a положительна при каждом вещественном вложении в m _∞ . Характер Гекке с модулем m является групповым гомоморфизмом из I _m в ненулевые комплексные числатакой, что на идеалах ( a ) в P _m его значение равнозначение в точке a непрерывного гомоморфизма на ненулевые комплексные числа из произведения мультипликативных групп всех архимедовых пополнений поля K, где каждая локальная компонента гомоморфизма имеет одну и ту же действительную часть (в показателе). (Здесь мы вставляем a в произведение архимедовых пополнений K с использованием вложений, соответствующих различным архимедовым местам на K. ) Таким образом, характер Гекке может быть определен на группе классов лучей по модулю m , который является фактором I _m / P _m .

Строго говоря, Гекке поставил условие о поведении на главных идеалах тех, кто допускает вполне положительный генератор. Итак, согласно данному выше определению, он действительно работал только с модулями, в которых фигурировали все реальные места.Роль бесконечной части m _∞ теперь подпадает под понятиебесконечного типа.

Связь между определениями

Идеальное определение намного сложнее идеального, и мотивацией Гекке для своего определения было построение L -функций (иногда называемых Гекке L -функциями ). которые расширяют понятие L -функции Дирихле с рациональных чисел на другие числовые поля. Для характера Гекке χ его L -функция определяется как ряд Дирихле

$\sum _{(I,m)=1}\chi (I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )$

осуществляется над целочисленными идеалами, относительно простыми с модулем m характера Гекке.Обозначение N(I) означает идеальную норму . Из общего условия вещественной части, определяющего поведение характеров Гекке в подгруппах P _m, следует следующее:Ряды Дирихле абсолютно сходятся в некоторой правой полуплоскости. Хекке доказал, что эти L -функции имеют мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость и являются аналитическими, за исключением простого полюса порядка 1 при s = 1, когда характер тривиален. Для примитивных характеров Гекке (определяемых относительно модуля аналогично примитивным характерам Дирихле) Хекке показал, что эти L -функции удовлетворяют функциональному уравнению, связывающему значения L -функции символа и L -функции его комплексно-сопряженной формы. характер.

Рассмотрим характер ψ группы классов иделей, рассматриваемый как отображение в единичную окружность, равное 1 на главных иделях и на исключительном конечном множестве S, содержащем все бесконечные места. Тогда ψ порождает характер χ идеальной группы I ^С , свободная абелева группа простых идеалов, не принадлежащих S . Возьмем униформизирующий элемент π для каждого простого числа p, не входящего в S, и определим отображение Π из I ^С к классам иделей путем сопоставления каждого p с классом идели, который равен π в координате p и 1 везде. Пусть χ — композиция Π и ψ. Тогда χ корректно определен как характер идеальной группы.

В обратном направлении при допустимом характере χ группы I ^С соответствует единственный характер идельного класса ψ. Здесь допустимое относится к существованию модуля m, основанного на множестве S, такого, что характер χ равен 1 на идеалах, которые равны 1 mod m .

Символы являются «большими» в том смысле, что тип бесконечности, если он присутствует, нетривиально означает, что эти символы не имеют конечного порядка. Все характеры Гекке конечного порядка в некотором смысле объясняются теорией полей классов : их L -функции являются Артина L -функциями , как показывает взаимность Артина . Но даже такое простое поле, как гауссово поле, имеет характеры Гекке, которые серьезно выходят за пределы конечного порядка (см. пример ниже). Более поздние разработки в комплексной теории умножения показали, что правильное место «больших» характеров должно было обеспечить Хассе – Вейля L -функции для важного класса алгебраических многообразий (или даже мотивов ).

Особые случаи

• Характер Дирихле — это характер Гекке конечного порядка. Он определяется значениями множества полностью положительных главных идеалов, которые равны 1 по некоторому модулю m .
• Характер Гильберта — это характер Дирихле дирижера 1. Количество символов Гильберта соответствует порядку группы классов поля. Теория полей классов отождествляет характеры Гильберта с характерами группы Галуа поля классов Гильберта.

Примеры

• Для поля рациональных чисел группа классов иделей изоморфна произведению положительных действительных чисел. $\mathbb {R} ^{+}$ со всеми единичными группами p -адических целых чисел. Таким образом, квазихарактер можно записать как произведение степени нормы на характер Дирихле.
• Характер Гекке χ целых гауссовских чисел проводника 1 имеет вид

х(( а )) = | а | ^с ( а /| а |) ^{4 n}

для s мнимое и n целое число, где a — генератор идеала ( a ). Единственными единицами измерения являются степени i , поэтому коэффициент 4 в показателе степени гарантирует, что персонаж четко определен в идеалах.

диссертация Тейта

Основная статья: диссертация Тейта

В оригинальном доказательстве Гекке функционального уравнения для L ( s ,χ) использовалась явная тэта-функция . Докторская диссертация Джона Тейта в Принстоне в 1950 году, написанная под руководством Эмиля Артина , систематически применяла двойственность Понтрягина , чтобы устранить необходимость в каких-либо специальных функциях. Похожая теория была независимо разработана Кенкичи Ивасавой и стала темой его выступления на ICM в 1950 году. Более поздняя переформулировка Вейля на семинаре Бурбаки в 1966 году показала, что части доказательства Тейта могут быть выражены теорией распределения : пространство распределений (для тестовых функций Шварца-Брюа ) на аделей группе K, преобразующееся под действием иделей с помощью учитывая, что χ имеет размерность 1.

Алгебраические персонажи хеджа

Алгебраический характер Гекке — это характер Гекке, принимающий алгебраические значения: они были введены Вейлем в 1947 году под названием типа A ₀ . Такие персонажи встречаются в теории полей классов и теории комплексного умножения .

Действительно, пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K , и предположим, что содержится в F. K Тогда существует алгебраический характер Гекке χ для F с исключительным множеством S собой множество простых чисел плохой редукции E , представляющим вместе с бесконечными местами. Этот характер обладает тем свойством, что для простого идеала p хорошей редукции значение χ( p ) является корнем характеристического многочлена Фробениуса эндоморфизма . Как следствие, дзета-функция Хассе – Вейля для E является произведением двух рядов Дирихле для χ и его комплексно-сопряженного.

Ссылки

• Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Збл   0153.07403 .
• Хайльбронн, Х. (1967). «VIII. Дзета-функции и L-функции». в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. стр. 204–230.
• Хусмеллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике. Том. 111. С приложением Рут Лоуренс. Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-96371-5 . Збл   0605.14032 .
• Хусмеллер, Дейл (2002). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 111 (второе изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b97292 . ISBN  0-387-95490-2 . Збл   1040.11043 .
• В. Наркевич (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag / Польское научное издательство PWN . стр. 334–343 . ISBN  3-540-51250-0 . Збл   0717.11045 .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Дж. Тейт, Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке (диссертация Тейта 1950 г.), перепечатано в «Алгебраической теории чисел» под редакцией Дж. У. С. Касселса , А. Фрелиха (1967), стр. 305–347. Збл   1179.11041
• Тейт, Дж.Т. (1967). «VII. Глобальная теория полей классов». в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. стр. 162–203. Збл   1179.11041 .
• Вейль, Андре (1966), Зеты функций и распределения (PDF) , том. 312, Семинария Бурбаки