Функция Шварца – Брюа

В математике функция Шварца-Брюа , названная в честь Лорана Шварца и Франсуа Брюа , представляет собой комплекснозначную функцию на локально компактной абелевой группе , такой как адели , которая обобщает функцию Шварца на вещественном векторном пространстве. Умеренное распределение определяется как непрерывный линейный функционал в пространстве функций Шварца–Брюа.

Определения

• В реальном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, функции Шварца–Брюа представляют собой обычные функции Шварца (все производные быстро убывают) и образуют пространство ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$.
• На торе функции Шварца–Брюа являются гладкими функциями.
• В сумме копий целых чисел функции Шварца – Брюа являются быстро убывающими функциями.
• На элементарной группе (т. е. абелевой локально компактной группе , которая является произведением копий действительных чисел , целых чисел , группы кругов и конечных групп) функции Шварца–Брюа представляют собой гладкие функции, все производные которых быстро убывают. .
• Об общей локально компактной абелевой группе $G$, позволять $A$ — компактно порожденная подгруппа и $B$ компактная подгруппа $A$ такой, что $A/B$ элементарно. Тогда обратный образ функции Шварца–Брюа на $A/B$ является функцией Шварца–Брюа на $G$и все функции Шварца–Брюа на $G$ получаются вот так для подходящего $A$ и $B$. (Пространство функций Шварца–Брюа на $G$ наделен индуктивной предельной топологией .)
• На неархимедовом локальном поле $K$, функция Шварца–Брюа является локально постоянной функцией с компактным носителем.
• В частности, на кольце Аделей $\mathbb {A} _{K}$ над глобальным полем $K$, функции Шварца–Брюа $f$ являются конечными линейными комбинациями произведений $\prod _{v}f_{v}$ над каждым местом $v$ из $K$, где каждый $f_{v}$ является функцией Шварца–Брюа в локальном поле. $K_{v}$ и $f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}$ характеристическая функция в кольце целых чисел ${\mathcal {O}}_{v}$ для всех, кроме конечного числа $v$. (Для архимедовых мест $K$, $f_{v}$ являются обычными функциями Шварца на $\mathbb {R} ^{n}$, а для неархимедовых мест $f_{v}$ — функции Шварца–Брюа неархимедовых локальных полей.)
• Пространство функций Шварца–Брюа на аделях $\mathbb {A} _{K}$ определяется как ограниченное тензорное произведение $\bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)$ пространств Шварца–Брюа ${\mathcal {S}}(K_{v})$ местных полей, где $E$ представляет собой конечное множество мест $K$. Элементы этого пространства имеют вид $f=\otimes _{v}f_{v}$, где $f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})$ для всех $v$ и $f_{v}|_{{\mathcal {O}}_{v}}=1$ для всех, кроме конечного числа $v$. Для каждого $x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}$ мы можем написать $f(x)=\prod _{v}f_{v}(x_{v})$, который конечен и, следовательно, корректно определен.

Примеры

• Любая функция Шварца–Брюа. $f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})$ можно записать как $f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}$, где каждый $a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}$, $k_{i}\in \mathbb {Z}$, и $c_{i}\in \mathbb {C}$. В этом можно убедиться, заметив, что $\mathbb {Q} _{p}$ будучи локальным полем, подразумевается, что $f$ по определению имеет компактный носитель, т. е. $\operatorname {supp} (f)$ имеет конечное подпокрытие. Поскольку каждый открытый набор в $\mathbb {Q} _{p}$ можно выразить как непересекающееся объединение открытых шаров вида $a+p^{k}\mathbb {Z} _{p}$ (для некоторых $a\in \mathbb {Q} _{p}$ и $k\in \mathbb {Z}$) у нас есть

$\operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})$. Функция $f$ также должно быть локально постоянным, поэтому $f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}$ для некоторых $c_{i}\in \mathbb {C}$. (Что касается $f$ оценивается в ноль, $f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}$ всегда включается как термин.)

• О рациональных аделях $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ все функции в пространстве Шварца – Брюа ${\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })$ являются конечными линейными комбинациями $\prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}$ над всеми рациональными простыми числами $p$, где $f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$, $f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})$, и $f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}$ для всех, кроме конечного числа $p$. Наборы $\mathbb {Q} _{p}$ и $\mathbb {Z} _{p}$ являются полем p-адических чисел и кольцом p-адических чисел соответственно.

Характеристики

Преобразование Фурье функции Шварца–Брюа на локально компактной абелевой группе является функцией Шварца–Брюа на дуальной группе Понтрягина. Следовательно, преобразование Фурье переводит умеренные распределения в такой группе в умеренные распределения в двойственной группе. Учитывая (аддитивную) меру Хаара на $\mathbb {A} _{K}$ пространство Шварца–Брюа ${\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})$ плотно в пространстве $L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).$

Приложения

В теории алгебраических чисел функции Шварца – Брюа на аделях могут использоваться для получения адельной версии формулы суммирования Пуассона из анализа, т. е. для каждого $f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})$ у одного есть $\sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)$, где $a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }$. Джон Тейт разработал эту формулу в своей докторской диссертации , чтобы доказать более общую версию функционального уравнения для дзета-функции Римана . Это предполагает придание дзета-функции числового поля интегрального представления, в котором интеграл от функции Шварца–Брюа, выбранной в качестве пробной функции, скручивается определенным характером и интегрируется по $\mathbb {A} _{K}^{\times }$ относительно мультипликативной меры Хаара этой группы. Это позволяет применять аналитические методы для изучения дзета-функций через эти дзета-интегралы.

Ссылки

• Осборн, М. Скотт (1975). «О пространстве Шварца–Брюа и теореме Пэли-Винера для локально компактных абелевых групп» . Журнал функционального анализа . 19 : 40–49. дои : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
• Гельфанд, ИМ; и др. (1990). Теория представлений и автоморфные функции . Бостон: Академическая пресса. ISBN  0-12-279506-7 .
• Бамп, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521658188 .
• Дейтмар, Антон (2012). Автоморфные формы . Берлин: Springer-Verlag Лондон. ISBN  978-1-4471-4434-2 . ISSN   0172-5939 .
• Рамакришнан, В.; Валенца, Р.Дж. (1999). Фурье-анализ числовых полей . Нью-Йорк: Springer-Publishing. ISBN  978-0387984360 .
• Тейт, Джон Т. (1950), «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке», Алгебраическая теория чисел (Proc. Training Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN  978-0-9502734-2-6 , МР   0217026