Поле класса Рэя

В математике поле класса лучей — это абелевое расширение глобального поля, связанное с группой классов лучей идеальных классов или классов иделей . Каждое конечное абелево расширение числового поля содержится в одном из полей его лучевых классов.

Термин «группа лучевого класса» является переводом немецкого термина «Strahlklassengruppe». Здесь «Strahl» по-немецки означает луч и часто означает положительную действительную линию, которая появляется в условиях положительности, определяющих группы классов лучей. Хассе (1926 , стр.6) использует «Штраль» для обозначения определенной группы идеалов, определенных с использованием условий позитивности, и использует «Стралькласс» для обозначения смежного класса этой группы.

Существует два немного разных представления о том, что такое поле класса лучей, поскольку авторы по-разному относятся к тому, как трактуются бесконечные простые числа.

История

Вебер ввел группы классов лучей в 1897 году. Такаги доказал существование соответствующих полей классов лучей примерно в 1920 году. Шевалле переформулировал определение групп классов лучей в терминах иделей в 1933 году.

Поля классов лучей с использованием идеалов

Если m — идеал кольца целых чисел числового поля K , а S — подмножество действительных мест, то группа лучевых классов m и S является факторгруппой

$I^{m}/P^{m}\,$

где я ^м — группа дробных идеалов, взаимно простых с m , а «луч» P ^м — группа главных идеалов, порожденная элементами a с a ≡ 1 mod m , положительными в позициях S .Когда S мест, так что a ограничено полностью положительным, группа называется группой классов узких лучей m состоит из всех действительных . Некоторые авторы используют термин «группа классов лучей» для обозначения «группы классов узких лучей».

Поле классов лучей K является абелевым расширением K, связанным с группой классов лучей теорией полей классов, а его группа Галуа изоморфна соответствующей группе классов лучей. Доказательство существования поля классов лучей данной группы классов лучей является длинным и косвенным, и, как правило, не существует простого способа его построения (хотя в некоторых особых случаях, таких как мнимые квадратичные поля, известны явные конструкции).

Поля класса Ray с использованием ideles

Шевалле переопределил группу классов лучей идеала m и множества S вещественных мест как фактор группы классов иделей по образу группы

$\prod U_{p}\,$

где U _p определяется выражением:

• Ненулевые комплексные числа для комплексного места p
• Положительные действительные числа для вещественного места p в S и все ненулевые действительные числа для p не в S.
• Единицы K _p для конечного места p, не делящие m
• Единицы K _p, соответствующие 1 mod p ^н если п ^н — максимальная степень числа p, делящая m .

Некоторые авторы используют более общее определение, согласно которому группа Up _может состоять из всех ненулевых действительных чисел для определенных вещественных мест   p .

Группы классов лучей, определенные с помощью иделей, естественно изоморфны группам, определенным с помощью идеалов. Иногда с ними легче справиться теоретически, поскольку все они являются частными одной группы и, следовательно, их легче сравнивать.

Поле классов лучей группы классов лучей — это (единственное) абелевое расширение L группы K такое, что норма группы классов иделей C _L группы L является образом $\prod U_{p}\,$ в группе классов иделей K .

Примеры

Если K — поле рациональных чисел , m — ненулевое рациональное целое число, а S содержит архимедово место K и , то группа классов лучей ( m ) и S изоморфна группе единиц Z / m Z , Поле класса лучей — это поле, порожденное корнями m- й степени из единицы . Поле класса лучей для ( m ) и пустого набора мест является его максимальным полностью вещественным подполем — полем $\mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))$.

Поле класса Гильберта — это поле класса лучей, соответствующее единичному идеалу и пустому множеству реальных мест, поэтому это наименьшее поле класса лучей. Поле узкого класса Гильберта — это поле класса лучей, соответствующее единичному идеалу и множеству всех реальных мест, поэтому это наименьшее поле класса узких лучей.

Ссылки

• Хассе, Гельмут (1926), «Отчет о последних исследованиях и проблемах теории полей алгебраических чисел». , Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков , 35 , Геттинген: Тойбнер
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .