Проводник (теория поля классов)

В чисел проводник теории алгебраических конечного абелева расширения локальных глобальных или полей обеспечивает количественную меру ветвления расширения . Определение проводника связано с картой Артина .

Местный проводник

Пусть L / K — конечное абелево расширение неархимедовых локальных полей . Проводник обозначаемый L / K , ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , — наименьшее неотрицательное целое число n такое, что высшая единичная группа

U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}

содержится в N _{L / K} ( L ^×), где N _{L / K} — отображение нормы поля и ${\mathfrak {m}}_{K}$ является идеалом K . максимальным ^[1] Эквивалентно, n — наименьшее целое число такое, что локальное отображение Артина тривиально на $U_{K}^{(n)}$ . Иногда проводник определяют как ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ где n такое же, как указано выше. ^[2]

Проводник расширения измеряет разветвление. Качественно расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда проводник равен нулю: ^[3] и он корректно разветвлен тогда и только тогда, когда проводник равен 1. ^[4] Точнее, проводник вычисляет нетривиальность высших групп ветвления : если s — наибольшее целое число, для которого « меньшая нумерация » высшей группы ветвления G _s нетривиальна, то ${\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1$ , где η _{L / K} — функция, которая переводит от «нижней нумерации» к « верхней нумерации » групп более высокого ветвления. ^[5]

Проводник Л / К также родственен артинским проводникам персонажей группы Галуа Гал( Л / К ). Конкретно, ^[6]

{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}

где χ меняется по всем мультипликативным комплексным характерам Gal( L / K ), ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ — артиновский проводник χ, а lcm — наименьшее общее кратное .

Более общие поля

Проводник можно определить таким же образом для L / K , не обязательно абелева конечного расширения Галуа локальных полей. ^[7] Однако это зависит только от L. ^аб/ K , максимальное абелевое расширение K в L , из-за «теоремы об ограничении нормы», которая утверждает, что в этой ситуации ^[8]^[9]

N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).

Кроме того, проводник можно определить, когда L и K могут быть немного более общими, чем локальными, а именно, если они представляют собой полные поля значений с квазиконечным полем вычетов. ^[10]

Архимедовы поля

В основном ради глобальных проводников проводник тривиального расширения R / R определяется как 0, а проводник расширения C / R определяется как 1. ^[11]

Глобальный проводник

Поля алгебраических чисел

Проводник . абелева расширения L / K числовых полей можно определить, как и в локальном случае, с помощью отображения Артина В частности, пусть θ : I ^м → Gal( L / K ) — глобальное отображение Артина , где модуль m является определяющим модулем для L / K ; мы говорим, что взаимность Артина справедлива для m, если θ факторизуется через группу классов лучей по модулю m . Определим проводник L / K , обозначим ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , чтобы быть высшим общим фактором всех модулей, для которых имеет место взаимность; на самом деле взаимность имеет место для ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , то есть это наименьший такой модуль. ^[12]^[13]^[14]

Пример

Беря за основу поле рациональных чисел, теорема Кронекера-Вебера утверждает, что поле алгебраических чисел K является абелевым над Q тогда и только тогда, когда оно является подполем кругового поля. $\mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)$ , где $\zeta _{n}$ обозначает примитивный корень n-й степени из единицы. ^[15] Если n — наименьшее целое число, для которого это справедливо, то проводником K будет n , если K зафиксирован комплексным сопряжением и $n\infty$ в противном случае.
Пусть L / K будет $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ где d — целое число без квадратов . Затем, ^[16]
${\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}$

где

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

является дискриминантом

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

.

Связь с местными проводниками и разветвлением

Глобальный проводник — это произведение локальных проводников: ^[17]

{\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.

Как следствие, конечное простое число разветвляется в L / K тогда и только тогда, когда оно делит ${\mathfrak {f}}(L/K)$ . ^[18] Бесконечное простое число v встречается в проводнике тогда и только тогда, когда v вещественно и становится комплексным в L .

Примечания

^ Теплица 1967 , §4.2
^ Как и в Neukirch 1999 , определение V.1.6.
^ Нойкирх 1999 , предложение V.1.7.
^ Милн 2008 , I.1.9
^ Серр 1967 , §4.2, предложение 1
^ Artin & Tate 2009 , следствие теоремы XI.14, стр. 100
^ Как у Серра 1967 , §4.2.
^ Серр 1967 , §2.5, предложение 4
^ Милн 2008 , теорема III.3.5
^ Как в Artin & Tate 2009 , §XI.4. Именно в этой ситуации работает формализм локальной теории полей классов .
^ Коэн 2000 , определение 3.4.1.
^ Milne 2008 , remark V.3.8
^ Януш 1973 , стр. 158, 168–169
^ Некоторые авторы опускают бесконечные места в проводнике, например, Neukirch 1999 , §VI.6.
^ Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). стр. 155, 168. ISBN. 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .
^ Milne 2008 , example V.3.11
^ Для конечной части Нойкирх 1999 г. , предложение VI.6.5, а для бесконечной части Коэн 2000 г. , определение 3.4.1
^ Нойкирх 1999 , следствие VI.6.6.

Ссылки

Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1967], Теория поля классов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4426-7 , МР 2467155
Коэн, Анри (2000), Продвинутые темы вычислительной теории чисел , Тексты для выпускников по математике , том. 193, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-98727-9
Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, том. 55, Академическое издательство, ISBN 0-12-380250-4 , Збл 0307.12001
Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (изд. v4.0) , получено 22 февраля 2010 г.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Материалы учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2 , МР 0220701

[1] Теплица 1967 , §4.2

[2] Как и в Neukirch 1999 , определение V.1.6.

[3] Нойкирх 1999 , предложение V.1.7.

[4] Милн 2008 , I.1.9

[5] Серр 1967 , §4.2, предложение 1

[6] Artin & Tate 2009 , следствие теоремы XI.14, стр. 100

[7] Как у Серра 1967 , §4.2.

[8] Серр 1967 , §2.5, предложение 4

[9] Милн 2008 , теорема III.3.5

[10] Как в Artin & Tate 2009 , §XI.4. Именно в этой ситуации работает формализм локальной теории полей классов .

[11] Коэн 2000 , определение 3.4.1.

[12] Milne 2008 , remark V.3.8

[13] Януш 1973 , стр. 158, 168–169

[14] Некоторые авторы опускают бесконечные места в проводнике, например, Neukirch 1999 , §VI.6.

[15] Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). стр. 155, 168. ISBN. 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .

[16] Milne 2008 , example V.3.11

[17] Для конечной части Нойкирх 1999 г. , предложение VI.6.5, а для бесконечной части Коэн 2000 г. , определение 3.4.1

[18] Нойкирх 1999 , следствие VI.6.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]