Дзета-функция Сельберга

Дзета -функция Сельберга была введена Атле Сельбергом ( 1956 ). Это аналог знаменитой дзета-функции Римана.

\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}

где $\mathbb {P}$ представляет собой набор простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если $\Gamma$ является подгруппой SL(2, R ) , соответствующая дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:

\zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},

или

Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),

где p пробегает классы сопряжения простых геодезических (т. е. классы сопряжения примитивных гиперболических элементов $\Gamma$ ), а N ( p ) обозначает длину p (эквивалентно квадрат большего собственного значения p ).

Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует соответствующая дзета-функция Сельберга ; эта функция является мероморфной функцией, определенной в комплексной плоскости . Дзета-функция определяется через замкнутые геодезические поверхности.

Нули и полюса дзета-функции Сельберга Z ( s ) можно описать в терминах спектральных данных поверхности.

Нули находятся в следующих точках:

Для каждой формы возврата с собственным значением $s_{0}(1-s_{0})$ в точке существует ноль $s_{0}$ . Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного пространства. (Форма возврата — это собственная функция оператора Лапласа–Бельтрами , которая имеет разложение Фурье с нулевым постоянным членом.)
Дзета-функция также имеет ноль в каждом полюсе определителя матрицы рассеяния: $\phi (s)$ . Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.

Дзета-функция также имеет полюса при $1/2-\mathbb {N}$ , и может иметь нули или полюса в точках $-\mathbb {N}$ .

Дзета -функция Ихара считается p-адическим (и теоретико-графовым) аналогом дзета-функции Сельберга.

Сельберга для модульной группы Дзета - функция

Для случая, когда поверхность $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ , где $\Gamma$ — модулярная группа , особый интерес представляет дзета-функция Сельберга. В этом особом случае дзета-функция Сельберга тесно связана с дзета-функцией Римана .

В этом случае определитель матрицы рассеяния определяется выражением:

\varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.

^{[ нужна ссылка ]}

В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет нуль в точке $s_{0}$ , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при $s_{0}/2$ , и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет нуль в точке $s_{0}/2$ . ^{[ нужна ссылка ]}

См. также [ править ]

Трассировка Сельберга из формулы

Ссылки [ править ]

Фишер, Юрген (1987), Подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Конспект лекций по математике, том. 1253, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0077696 , ISBN. 978-3-540-15208-8 , МР 0892317
Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2,R). Том. I , Конспект лекций по математике, Vol. 548, том. 548, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0079608 , MR 0439755.
Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2,R). Том. 2 , Конспект лекций по математике, вып. 1001, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0061302 , ISBN. 978-3-540-12323-1 , МР 0711197
Иванец, Х. Спектральные методы автоморфных форм, Американское математическое общество, второе издание, 2002.
Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Соц. , Новая серия, 20 : 47–87, МР 0088511
Венков А.Б. Спектральная теория автоморфных функций. Учеб. Стеклов. Инст. Математика, 1982.
Сунада Т. , L-функции в геометрии и некоторые приложения, Тр. Танигучи Симп. 1985, «Кривизна и топология римановых многообразий», Springer Lect. Примечание по математике. 1201(1986), 266-284.