Дзета-функция Ихара

В математике дзета- функция Ихара — это дзета-функция, связанная с конечным графиком . Она очень похожа на дзета-функцию Сельберга и используется для связи замкнутых блужданий со спектром смежности матрицы . Дзета-функция Ихара была впервые определена Ясутакой Ихара в 1960-х годах в контексте дискретных подгрупп два на два p-адических специальной линейной группы . Жан-Пьер Серр в своей книге « Деревья» предположил , что исходное определение Ихары можно интерпретировать с точки зрения теории графов. Именно Тошиказу Сунада применил это предложение на практике в 1985 году. Как заметил Сунада, регулярный граф является графом Рамануджана тогда и только тогда, когда его дзета-функция Ихара удовлетворяет аналогу гипотезы Римана .

Определение

Дзета-функция Ихара определяется как аналитическое продолжение бесконечного произведения

$\zeta _{G}(u)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{{L}(p)}}},$

где L ( p ) — длина $L(p)$ из $p$. Произведение в определении берется по всем простым замкнутым геодезическим. $p$ графика $G=(V,E)$, где геодезические, отличающиеся циклическим вращением, считаются равными. геодезическая Закрытая $p$ на $G$ (известный в теории графов как « приведенный замкнутый обход »; это не геодезическая графа) представляет собой конечную последовательность вершин $p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})$ такой, что

$(v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,$

$v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.$

Целое число $k$ это длина $L(p)$. Закрытая геодезическая $p$ является простым , если его нельзя получить повторением замкнутой геодезической $m$ раз, для целого числа $m>1$.

Эта теоретико-графовая формулировка принадлежит Сунаде.

Формула

Ихара (и Сунада в рамках теории графов) показали, что для регулярных графов дзета-функция является рациональной функцией.Если $G$ это $q+1$-регулярный граф с матрицей смежности $A$ затем

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}},$

где $r(G)$ это цепи ранг $G$. Если $G$ подключен и имеет $n$ вершины, $r(G)-1=(q-1)n/2$.

Дзета-функция Ихара на самом деле всегда является обратной величиной полинома-графика :

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,$

где $T$ — оператор смежности ребер Киичиро Хасимото. Хайман Басс дал детерминантную формулу, включающую оператор смежности.

Приложения

Дзета-функция Ихара играет важную роль в изучении свободных групп , теории спектральных графов и динамических систем , особенно символической динамики , где дзета-функция Ихара является примером дзета-функции Рюэля .

Ссылки

• Ихара, Ясутака (1966). «О дискретных подгруппах проективной линейной группы два на два над ${\mathfrak {p}}$-адические поля» . Журнал Математического общества Японии . 18 : 219–235. : 10.2969 /jmsj/01830219 . MR   0223463. . Zbl   0158.27702 doi
• Сунада, Тошиказу (1986). «L-функции в геометрии и некоторых приложениях». Кривизна и топология римановых многообразий . Конспект лекций по математике . Том. 1201. С. 266–284. дои : 10.1007/BFb0075662 . ISBN  978-3-540-16770-9 . Збл   0605.58046 .
• Басс, Хайман (1992). «Дзета-функция Ихара-Сельберга древовидной решетки». Международный журнал математики . 3 (6): 717–797. дои : 10.1142/S0129167X92000357 . МР   1194071 . Збл   0767.11025 .
• Старк, Гарольд М. (1999). «Многолучевые дзета-функции графов». В Хейхале, Деннис А .; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, Мартин С .; и др. (ред.). Новые приложения теории чисел . ИМА Том. Математика. Прил. Том. 109. Спрингер . стр. 601–615. ISBN  0-387-98824-6 . Артикул   0988.11040 .
• Террас, Одри (1999). «Обзор дискретных формул следов». В Хейхале, Деннис А .; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, Мартин С .; и др. (ред.). Новые приложения теории чисел . ИМА Том. Математика. Прил. Том. 109. Спрингер. стр. 643–681. ISBN  0-387-98824-6 . Збл   0982.11031 .
• Террас, Одри (2010). Дзета-функции графов: прогулка по саду . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 128. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-11367-9 . Збл   1206.05003 .