Теорема Винера – Икехары

Теорема Винера -Икехары — тауберова теорема , первоначально опубликованная Шикао Икехарой , учеником Норберта Винера , в 1931 году. Это частный случай тауберовых теорем Винера , которые были опубликованы Винером годом позже. Его можно использовать для доказательства теоремы о простых числах (Чандрасекхаран, 1969) в предположении, что дзета-функция Римана не имеет нулей на прямой вещественной части.

Заявление

Пусть A ( x ) — неотрицательная монотонная неубывающая функция от x , определенная для 0 ≤ x < ∞. Предположим, что

f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx

сходится при ℜ( s ) > 1 к функции ƒ ( s некоторого неотрицательного числа c ) и что для

f(s)-{\frac {c}{s-1}}

имеет продолжение как непрерывную функцию при ℜ( s ) ≥ 1.Тогда предел при x стремится к бесконечности e ^{− х} A ( x ) равно c.

Важным теоретико-числовым применением теоремы является рассмотрение рядов Дирихле вида

\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}

где a ( n ) неотрицательно. Если ряд сходится к аналитической функции по

\Re (s)\geq b

с простым полюсом вычета c в точке s = b , то

\sum _{n\leq X}a(n)\sim {\frac {c}{b}}X^{b}.

Применяя это к логарифмической производной дзета -функции Римана , где коэффициенты ряда Дирихле являются значениями функции фон Мангольдта , можно вывести теорему о простых числах из того факта, что дзета-функция не имеет нулей на прямой

\Re (s)=1.

С. Икехара (1931), «Расширение теоремы Ландау в аналитической теории чисел», Журнал математики и физики Массачусетского технологического института , 10 : 1–12, Zbl 0001.12902
Винер, Норберт (1932), «Тауберовы теоремы», Анналы математики , вторая серия, 33 (1): 1–100, doi : 10.2307/1968102 , ISSN 0003-486X , JFM 58.0226.02 , JSTOR 1968102
К. Чандрасекхаран (1969). Введение в аналитическую теорию чисел . Основные принципы математических наук. Издательство Спрингер . ISBN 3-540-04141-9 .
Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. стр. 259–266. ISBN 0-521-84903-9 .