Теорема об окончательной ценности

В математическом анализе теорема об окончательном значении (FVT) является одной из нескольких подобных теорем, используемых для связи в частотной области выражений с поведением во временной области, когда время приближается к бесконечности. ^[1]^[2]^[3]^[4]Математически, если $f(t)$ в непрерывном времени имеет (одностороннее) преобразование Лапласа $F(s)$ , то окончательная теорема о стоимости устанавливает условия, при которых

\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}

Аналогично, если $f[k]$ в дискретное время имеет (одностороннее) Z-преобразование $F(z)$ , то окончательная теорема о стоимости устанавливает условия, при которых

\lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\to 1}{(z-1)F(z)}

Абелева теорема об окончательном значении делает предположения о поведении во временной области. $f(t)$ (или $f[k]$ ) для расчета $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ . И наоборот, тауберова теорема об окончательном значении делает предположения о поведении функции в частотной области. $F(s)$ рассчитать $\lim _{t\to \infty }f(t)$ (или $\lim _{k\to \infty }f[k]$ ) (см. абелевы и тауберовы теоремы для интегральных преобразований ).

Окончательные теоремы о значении преобразования Лапласа

Вывод $lim t \to \infty f (t)$

В следующих утверждениях обозначение ' $s\to 0$ ' означает, что $s$ приближается к 0, тогда как ' $s\downarrow 0$ ' означает, что $s$ приближается к 0 через положительные числа.

Стандартная теорема о конечном значении

Предположим, что каждый полюс $F(s)$ находится либо в открытой левой полуплоскости, либо в начале координат, и это $F(s)$ имеет не более одного полюса в начале координат. Затем $sF(s)\to L\in \mathbb {R}$ как $s\to 0$ , и $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ . ^[5]

Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной

Предположим, что $f(t)$ и $f'(t)$ оба имеют преобразования Лапласа, которые существуют для всех $s>0$ . Если $\lim _{t\to \infty }f(t)$ существует и $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ существует тогда $\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ . ^[3]^{: Теорема 2.36}^[4]^: 20^[6]

Примечание

Для справедливости теоремы должны существовать оба предела. Например, если $f(t)=\sin(t)$ затем $\lim _{t\to \infty }f(t)$ не существует, но $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0$ . ^[3]^{: Пример 2.37}^[4]^: 20

Улучшенная тауберова обратная теорема об окончательном значении

Предположим, что $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ ограничено и дифференцируемо, и что $tf'(t)$ также ограничен $(0,\infty )$ . Если $sF(s)\to L\in \mathbb {C}$ как $s\to 0$ затем $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ . ^[7]

Расширенная теорема о конечном значении

Предположим, что каждый полюс $F(s)$ находится либо в открытой левой полуплоскости, либо в начале координат. Затем происходит одно из следующих событий:

$sF(s)\to L\in \mathbb {R}$ как $s\downarrow 0$ , и $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ .
$sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R}$ как $s\downarrow 0$ , и $f(t)\to +\infty$ как $t\to \infty$ .
$sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R}$ как $s\downarrow 0$ , и $f(t)\to -\infty$ как $t\to \infty$ .

В частности, если $s=0$ представляет собой кратный полюс $F(s)$ тогда применим случай 2 или 3 ( $f(t)\to +\infty$ или $f(t)\to -\infty$ ). ^[5]

Обобщенная теорема о конечном значении

Предположим, что $f(t)$ преобразуема по Лапласу. Позволять $\lambda >-1$ . Если $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}$ существует и $\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}$ существует тогда

\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}

где $\Gamma (x)$ обозначает гамма-функцию . ^[5]

Приложения

Окончательные теоремы для получения $\lim _{t\to \infty }f(t)$ имеют применение в обеспечении долгосрочной стабильности системы .

Вывод $lim s \to 0 s F (s)$

Абелева теорема об окончательном значении

Предположим, что $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ ограничен и измерим и $\lim _{t\to \infty }f(t)=\alpha \in \mathbb {C}$ . Затем $F(s)$ существует для всех $s>0$ и $\lim _{s\,\to \,0^{+}}{sF(s)}=\alpha$ . ^[7]

Элементарное доказательство ^[7]

Предположим для удобства, что $|f(t)|\leq 1$ на $(0,\infty )$ , и пусть $\alpha =\lim _{t\to \infty }f(t)$ . Позволять $\epsilon >0$ и выберите $A$ так что $|f(t)-\alpha |<\epsilon$ для всех $t>A$ . С $s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=1$ , для каждого $s>0$ у нас есть

sF(s)-\alpha =s\int _{0}^{\infty }(f(t)-\alpha )e^{-st}\,dt;

следовательно

|sF(s)-\alpha |\leq s\int _{0}^{A}|f(t)-\alpha |e^{-st}\,dt+s\int _{A}^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,dt\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,dt+\epsilon s\int _{A}^{\infty }e^{-st}\,dt=I+II.

Теперь для каждого $s>0$ у нас есть

II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=\epsilon

.

С другой стороны, поскольку $A<\infty$ фиксировано, ясно, что $\lim _{s\to 0}I=0$ , и так $|sF(s)-\alpha |<\epsilon$ если $s>0$ достаточно мал.

Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной

Предположим, что выполнены все следующие условия:

$f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ непрерывно дифференцируема и оба $f$ и $f'$ есть преобразование Лапласа
$f'$ абсолютно интегрируемо, т.е. $\int _{0}^{\infty }|f'(\tau )|\,d\tau$ конечно
$\lim _{t\to \infty }f(t)$ существует и конечен

Затем

\lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=\lim _{t\to \infty }f(t)

. ^[8]

Примечание

В доказательстве используется теорема о доминируемой сходимости . ^[8]

Окончательная теорема о значении среднего значения функции

Позволять $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ — непрерывная и ограниченная функция такая, что существует следующий предел

\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C}

Затем $\lim _{s\,\to \,0,\,s>0}{sF(s)}=\alpha$ . ^[9]

Окончательная теорема о значении асимптотических сумм периодических функций

Предположим, что $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ непрерывна и абсолютно интегрируема в $[0,\infty )$ . Предположим далее, что $f$ асимптотически равна конечной сумме периодических функций $f_{\mathrm {as} }$ , то есть

|f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t)

где $\phi (t)$ абсолютно интегрируема в $[0,\infty )$ и исчезает в бесконечности. Затем

\lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,dx

. ^[10]

Окончательная теорема о значении функции, стремящейся к бесконечности

Позволять $f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R}$ и $F(s)$ быть преобразованием Лапласа $f(t)$ . Предположим, что $f(t)$ удовлетворяет всем следующим условиям:

$f(t)$ бесконечно дифференцируема в нуле
$f^{(k)}(t)$ имеет преобразование Лапласа для всех неотрицательных целых чисел $k$
$f(t)$ расходится до бесконечности, так как $t\to \infty$

Затем $sF(s)$ расходится до бесконечности, так как $s\to 0^{+}$ . ^[11]

Окончательная теорема о значении для несобственно интегрируемых функций ( теорема Абеля для интегралов)

Позволять $h:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ быть измеримым и таким, что (возможно, несобственный) интеграл $f(x):=\int _{0}^{x}h(t)\,dt$ сходится для $x\to \infty$ . Затем

\int _{0}^{\infty }h(t)\,dt:=\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{s\downarrow 0}\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,dt.

Это версия теоремы Абеля .

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $f'(t)=h(t)$ и применим окончательную теорему о ценности к $f$ после интегрирования по частям : Для $s>0$ ,

s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]}_{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,dt.

По окончательной теореме о значении левая часть сходится к $\lim _{x\to \infty }f(x)$ для $s\to 0$ .

Установить сходимость несобственного интеграла $\lim _{x\to \infty }f(x)$ на практике тест Дирихле на несобственные интегралы часто помогает . Примером может служить интеграл Дирихле .

Приложения

Окончательные теоремы для получения $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ имеют приложения в теории вероятности и статистике для расчета моментов случайной величины . Позволять $R(x)$ — кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины. $X$ и пусть $\rho (s)$ быть Лапласа – Стилтьеса преобразованием $R(x)$ . Тогда $n$ -й момент $X$ можно рассчитать как

E[X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}

Стратегия состоит в том, чтобы написать

{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s),\dots {\bigr )}

где ${\mathcal {F}}(\dots )$ является непрерывным и для каждого $k$ , $G_{k}(s)=sF_{k}(s)$ для функции $F_{k}(s)$ . Для каждого $k$ , помещать $f_{k}(t)$ как Лапласа обратное преобразование $F_{k}(s)$ , получать $\lim _{t\to \infty }f_{k}(t)$ и примените окончательную теорему о значении, чтобы вывести $\lim _{s\,\to \,0}{G_{k}(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty }f_{k}(t)$ . Затем

\left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0}G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}(s),\dots {\Bigr )}

и, следовательно, $E[X^{n}]$ получается.

Примеры

Пример, когда выполняется FVT

Например, для системы, описываемой передаточной функцией

H(s)={\frac {6}{s+2}},

импульсная характеристика сходится к

\lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.

То есть система возвращается к нулю после воздействия короткого импульса. Однако преобразование Лапласа единичной переходной характеристики равно

G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}

и поэтому переходная характеристика сходится к

\lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3

Таким образом, система с нулевым состоянием будет следовать экспоненциальному росту до конечного значения 3.

Пример, когда FVT не выполняется

Для системы, описываемой передаточной функцией

H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},

Теорема об окончательном значении, по-видимому, предсказывает, что окончательное значение импульсной характеристики будет равно 0, а конечное значение переходной характеристики будет равно 1. Однако ни одного ограничения во временной области не существует, и поэтому предсказания теоремы об окончательном значении недействительны. Фактически, и импульсная характеристика, и переходная характеристика колеблются, и (в этом особом случае) теорема об окончательном значении описывает средние значения, вокруг которых колеблются отклики.

выполняются две проверки В теории управления , которые подтверждают действительные результаты теоремы об окончательном значении:

Все ненулевые корни знаменателя $H(s)$ должно иметь отрицательные действительные части.
$H(s)$ не должно иметь более одного полюса в начале координат.

Правило 1 в этом примере не выполнено, поскольку корни знаменателя равны $0+j3$ и $0-j3$ .

Окончательные теоремы о значении Z-преобразования

Вывод $lim k \to \infty f [k]$

Теорема об окончательной ценности

Если $\lim _{k\to \infty }f[k]$ существует и $\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}$ существует тогда $\lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}$ . ^[4]^: 101

Конечная стоимость линейных систем

Системы LTI непрерывного действия

Окончательная стоимость системы

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)

\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)

в ответ на ввод шага $\mathbf {u} (t)$ с амплитудой $R$ является:

\lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=-\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} R

Системы выборочных данных

Система выборочных данных вышеупомянутой системы LTI с непрерывным временем в апериодические моменты времени выборки $t_{i},i=1,2,...$ это система дискретного времени

{\mathbf {x} }(t_{i+1})=\mathbf {\Phi } (h_{i})\mathbf {x} (t_{i})+\mathbf {\Gamma } (h_{i})\mathbf {u} (t_{i})

\mathbf {y} (t_{i})=\mathbf {C} \mathbf {x} (t_{i})

где $h_{i}=t_{i+1}-t_{i}$ и

\mathbf {\Phi } (h_{i})=e^{\mathbf {A} h_{i}}

,

\mathbf {\Gamma } (h_{i})=\int _{0}^{h_{i}}e^{\mathbf {A} s}\,ds

Окончательное значение этой системы в ответ на пошаговый ввод $\mathbf {u} (t)$ с амплитудой $R$ совпадает с окончательным значением исходной системы с непрерывным временем. ^[12]

См. также

Примечания

^ Ван, Руйе (17 февраля 2010 г.). «Теоремы о начальном и конечном значении» . Архивировано из оригинала 26 декабря 2017 г. Проверено 21 октября 2011 г.
^ Алан В. Оппенгейм; Алан С. Уиллски; С. Хамид Наваб (1997). Сигналы и системы . Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN 0-13-814757-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Шифф, Джоэл Л. (1999). Преобразование Лапласа: теория и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-7262-3 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Граф, Урс (2004). Прикладные преобразования Лапласа и z-преобразования для ученых и инженеров . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Чен, Цзе; Лундберг, Кент Х.; Дэвисон, Дэниел Э.; Бернштейн, Деннис С. (июнь 2007 г.). «Возвращение к окончательной теореме о ценности - бесконечные пределы и иррациональная функция». Журнал IEEE Control Systems . 27 (3): 97–99. дои : 10.1109/MCS.2007.365008 .
^ «Теорема о конечном значении преобразования Лапласа» . ДоказательствоВики . Проверено 12 апреля 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ульрих, Дэвид К. (26 мая 2018 г.). «Тауберова теорема о конечном значении» . Математический обмен стеками .
^ Jump up to: ^а ^б Сопасакис, Пантелис (18 мая 2019 г.). «Доказательство теоремы о конечном значении с использованием теоремы о доминируемой сходимости» . Математический обмен стеками .
^ Мурти, Кави Рама (07 мая 2019 г.). «Альтернативная версия теоремы о конечном значении преобразования Лапласа» . Математический обмен стеками .
^ Глускин, Эмануэль (1 ноября 2003 г.). «Давайте научим этому обобщению теоремы о конечном значении». Европейский журнал физики . 24 (6): 591–597. дои : 10.1088/0143-0807/24/6/005 .
^ Хью, Патрик (22 апреля 2020 г.). «Теорема об окончательном значении функции, стремящейся к бесконечности?» . Математический обмен стеками . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Мохаджери, Камран; Мадади, Али; Тавассоли, Бабак (2021). «Отслеживание управления с помощью апериодической выборки в сетях с задержкой и пропуском». Международный журнал системных наук . 52 (10): 1987–2002. дои : 10.1080/00207721.2021.1874074 .

Внешние ссылки

https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Архивировано 26 декабря 2017 г. в Wayback Machine : окончательное значение для Лапласа.
https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf : окончательное доказательство значения для Z-преобразований

[RWang2010-1] Ван, Руйе (17 февраля 2010 г.). «Теоремы о начальном и конечном значении» . Архивировано из оригинала 26 декабря 2017 г. Проверено 21 октября 2011 г.

[OppenheimWillskyNawab1997-2] Алан В. Оппенгейм; Алан С. Уиллски; С. Хамид Наваб (1997). Сигналы и системы . Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN 0-13-814757-4 .

[Schiff1999-3] Jump up to: ^а ^б ^с Шифф, Джоэл Л. (1999). Преобразование Лапласа: теория и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4757-7262-3 .

[Graf2004-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Граф, Урс (2004). Прикладные преобразования Лапласа и z-преобразования для ученых и инженеров . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9 .

[ChenLundbergDavisonBernstein2007-5] Jump up to: ^а ^б ^с Чен, Цзе; Лундберг, Кент Х.; Дэвисон, Дэниел Э.; Бернштейн, Деннис С. (июнь 2007 г.). «Возвращение к окончательной теореме о ценности - бесконечные пределы и иррациональная функция». Журнал IEEE Control Systems . 27 (3): 97–99. дои : 10.1109/MCS.2007.365008 .

[6] «Теорема о конечном значении преобразования Лапласа» . ДоказательствоВики . Проверено 12 апреля 2020 г.

[UllrichTauberian-7] Jump up to: ^а ^б ^с Ульрих, Дэвид К. (26 мая 2018 г.). «Тауберова теорема о конечном значении» . Математический обмен стеками .

[SopasakisUsingDominatedConvergenceTheorem-8] Jump up to: ^а ^б Сопасакис, Пантелис (18 мая 2019 г.). «Доказательство теоремы о конечном значении с использованием теоремы о доминируемой сходимости» . Математический обмен стеками .

[KaviRamaMurthy-9] Мурти, Кави Рама (07 мая 2019 г.). «Альтернативная версия теоремы о конечном значении преобразования Лапласа» . Математический обмен стеками .

[10] Глускин, Эмануэль (1 ноября 2003 г.). «Давайте научим этому обобщению теоремы о конечном значении». Европейский журнал физики . 24 (6): 591–597. дои : 10.1088/0143-0807/24/6/005 .

[HewDivergesToInfinity-11] Хью, Патрик (22 апреля 2020 г.). «Теорема об окончательном значении функции, стремящейся к бесконечности?» . Математический обмен стеками . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[MohajeriMadadiTavassoli2021-12] Мохаджери, Камран; Мадади, Али; Тавассоли, Бабак (2021). «Отслеживание управления с помощью апериодической выборки в сетях с задержкой и пропуском». Международный журнал системных наук . 52 (10): 1987–2002. дои : 10.1080/00207721.2021.1874074 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Окончательные теоремы о значении преобразования Лапласа

Вывод lim t → ∞ f ( t )

Стандартная теорема о конечном значении

Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной

Улучшенная тауберова обратная теорема об окончательном значении

Расширенная теорема о конечном значении

Обобщенная теорема о конечном значении

Приложения

Вывод lim s → 0 s F ( s )

Абелева теорема об окончательном значении

Теорема об окончательном значении с использованием преобразования Лапласа производной

Окончательная теорема о значении среднего значения функции

Окончательная теорема о значении асимптотических сумм периодических функций

Окончательная теорема о значении функции, стремящейся к бесконечности

Окончательная теорема о значении для несобственно интегрируемых функций ( теорема Абеля для интегралов)

Приложения

Примеры

Пример, когда выполняется FVT

Пример, когда FVT не выполняется

Окончательные теоремы о значении Z-преобразования

Вывод lim k → ∞ f [ k ]

Теорема об окончательной ценности

Конечная стоимость линейных систем

Системы LTI непрерывного действия

Системы выборочных данных

См. также

Примечания

Внешние ссылки

Вывод $lim t \to \infty f (t)$

Вывод $lim s \to 0 s F (s)$

Вывод $lim k \to \infty f [k]$