Теорема о первоначальном значении

В математическом анализе теорема о начальном значении — это теорема, используемая для связи в частотной области выражений с поведением во временной области, когда время приближается к нулю .

Позволять

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$

быть (односторонним) Лапласа преобразованием ƒ ( t ). Если $f$ ограничен $(0,\infty )$ (или если просто $f(t)=O(e^{ct})$) и $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)$ существует, то теорема о начальном значении гласит:

$\lim _{t\,\to \,0}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.$

Доказательства

Доказательство с использованием теоремы о доминируемой сходимости и в предположении, что функция ограничена.

Предположим сначала, что $f$ ограничено, т.е. $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha$. Замена переменной в интеграле $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$ показывает, что

$sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt$.

С $f$ ограничено, из теоремы о доминируемой сходимости следует, что

$\lim _{s\to \infty }sF(s)=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha .$

Доказательство с использованием элементарного исчисления и в предположении, что функция ограничена.

Конечно, нам здесь не нужно ДКП, можно дать очень простое доказательство, используя только элементарное исчисление:

Начните с выбора $A$ так что $\int _{A}^{\infty }e^{-t}\,dt<\epsilon$, а потомОбратите внимание, что $\lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha$ равномерно для $t\in (0,A]$.

Обобщение на неограниченные функции, имеющие экспоненциальный порядок.

Теорема, предполагающая именно это $f(t)=O(e^{ct})$ следует из теоремы об ограниченном $f$:

Определять $g(t)=e^{-ct}f(t)$. Затем $g$ ограничено, поэтому мы показали, что $g(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sG(s)$.Но $f(0^{+})=g(0^{+})$ и $G(s)=F(s+c)$, так

$\lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }(s-c)F(s)=\lim _{s\to \infty }sF(s+c)=\lim _{s\to \infty }sG(s),$

с $\lim _{s\to \infty }F(s)=0$.

См. также

• Теорема об окончательной ценности