Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма
Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма [1] [2] — фундаментальная публикация Джорджа Грина 1828 года, в которой он расширяет предыдущую работу Симеона Дени Пуассона по электричеству и магнетизму . Работы по математическому анализу, в частности, в том числе по тому, что сейчас широко известно как теорема Грина , имеют величайшее значение во всех разделах математической физики. Он содержит первое изложение теории потенциала . В физике теорема Грина в основном используется для решения двумерных интегралов потока , утверждая, что сумма истечения жидкости в любой точке внутри объема равна общему оттоку, суммированному по окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при геодезии территорий , теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру .
Именно в этом эссе впервые встречается термин « потенциальная функция ». его замечательная теорема в чистой математике , с тех пор широко известная как теорема Грина Здесь также появилась и, вероятно, самый важный инструмент исследования во всей области математической физики. Теперь мы все можем понять, по крайней мере в общих чертах, важность работы Грина и прогресс, достигнутый со времени публикации его эссе в 1828 году. Но чтобы полностью оценить его работу и последующий прогресс, необходимо знать перспективы будущего. математико-физические науки, какими они представлялись Грину в то время, и осознать свою утонченную чувствительность в пропаганде своих открытий. [3]
Обзор [ править ]
Электрические и магнитные исследования Пуассона были обобщены и расширены в 1828 году Джорджем Грином. Трактовка Грина основана на свойствах функции, уже использованной Лагранжем, Лапласом и Пуассоном, которая представляет собой сумму всех электрических или магнитных зарядов в поле, деленную на их соответствующие расстояния от некоторой заданной точки: этой функции Грин дал потенциальное имя, под которым оно всегда было известно. [4]
В 1828 году Грин опубликовал статью, ставшую эссе, благодаря которому он сегодня наиболее известен. Когда Грин опубликовал свое «Эссе» , оно было продано по подписке 51 человеку, большинство из которых были друзьями и, вероятно, не могли его понять. Богатый землевладелец и математик Эдвард Бромхед купил копию и призвал Грина продолжать работу в области математики. Не веря, что предложение было искренним, Грин не связывался с Бромхедом два года.
Опубликовав работу, он впервые ввел термин «потенциал» для обозначения результата, полученного сложением масс всех частиц системы, разделенных на расстояние каждой из данной точки; и свойства этой функции впервые рассматриваются и применяются к теориям магнетизма и электричества. За этим последовали две статьи, представленные сэром Бромхедом Кембриджскому философскому обществу : (1) « О законах равновесия жидкостей, аналогичных электрической жидкости » (12 ноября 1832 г.); (2) « Об определении притяжения эллипсоидов переменной плотности » (6 мая 1833 г.). Обе статьи демонстрируют большую аналитическую силу, но они скорее любопытны, чем практически интересны. Эссе Грина 1828 года игнорировалось математиками до 1846 года, а до этого времени большинство его важных теорем были заново открыты Гауссом, Часлем, Штурмом и Томсоном Дж. [5] Это действительно повлияло на работу лорда Кельвина и Джеймса Клерка Максвелла .
Эссе математика-самоучки было одним из величайших достижений, достигнутых в математической теории электричества до его времени. « Его исследования сэр Уильям Томсон , — как заметил , — привели к элементарному предположению, которое должно составлять законную основу каждой совершенной математической структуры, которая должна быть построена на основе материалов, предоставленных экспериментальными законами Кулона. дают естественное и полное объяснение прекрасных количественных экспериментов, которые во все времена были так интересны практическим электрикам, но они предлагают математикам самые простые и мощные методы решения проблем, которые, если их атаковать одной лишь силой старых анализ, должно быть, навсегда остался неразгаданным ». [6]
Ближе к началу мемуаров приводится знаменитая формула, связывающая поверхностные и объемные интегралы, которую сейчас обычно называют теоремой Грина, частным применением которой является результат Пуассона об эквивалентном поверхностном и объемном распределениях намагниченности. Используя эту теорему для исследования свойств потенциала, Грин пришел ко многим результатам поразительной красоты и интереса. Нам достаточно упомянуть в качестве примера силы его метода следующее: — Предположим, что имеется полая проводящая оболочка, ограниченная двумя замкнутыми поверхностями, и что помещено несколько наэлектризованных тел, некоторые внутри нее, а некоторые снаружи. ; и пусть внутренняя поверхность и внутренние тела называются внутренней системой, а внешняя поверхность и внешние тела называются внешней системой. Тогда все электрические явления внутренней системы относительно притяжения, отталкивания и плотности будут такими же, как если бы не было внешней системы, а внутренняя поверхность была бы совершенным проводником, сообщающимся с землей; и все свойства внешней системы будут такими же, как если бы внутренняя система не существовала, а внешняя поверхность была бы совершенным проводником, содержащим количество электричества, равное всему тому, которое первоначально содержалось в самой оболочке и во всех внутренние тела. Будет очевидно, что электростатика достигла к этому времени такой степени развития, при которой на дальнейший прогресс можно было надеяться только в математической надстройке, если только эксперимент не выявит неожиданно явления совершенно нового характера. [4]
Одним из простейших применений этих теорем было совершенствование теории лейденского флакона , результатом которого (если не считать особого действия изолирующей твердой среды, открытого Фарадеем ) мы обязаны его гению. Он также показал, как можно изобрести бесконечное число форм проводников, так что распределение электричества в равновесии на каждом из них может быть выражено в конечных алгебраических терминах – огромный шаг в науке, если принять во внимание, что распределение электричества на каждом из них может быть выражено в конечных алгебраических терминах. одиночный сферический проводник, эллипсоидальный проводник без влияния и две сферы, взаимно влияющие друг на друга, были единственными случаями, решенными Пуассоном, и фактически единственными случаями, которые авторы-математики считали разрешимыми. [6]
Издания [ править ]
- Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма , Ноттингем, 1828 г.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Грин, Г. (1828). Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма . Ноттингем. Напечатано для автора Т. Уилхаусом.
- ^ Каннелл, DM (1999) Джордж Грин: загадочный математик , American Mathematical Monthly 106 (2), 136–151.
- ^ Бюллетень Американского математического общества Американского математического общества. Опубликовано для Общества издательством Macmillan & Co., 1900 г., с. 139.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Уиттакер, ET (1910). История теорий эфира и электричества со времен Декарта до конца девятнадцатого века . Серия издательства Дублинского университета. Лондон: Лонгманс, Грин и Ко; [и т. д.]. стр. 65–69
- ^ Максвелл, Дж. К. (1881). Трактат об электричестве и магнетизме. п. 14.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Бэйнс, Т.С. (1888). Британская энциклопедия: словарь искусств, наук и общей литературы. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Герберт Аллен. п. 15.