Расширение Лапласа (потенциал)

Эта статья об аппроксимации радиальных потенциалов. О определяющем правиле Лапласа см. «Разложение Лапласа» .

В физике разложение Лапласа потенциалов, прямо пропорциональное обратной величине расстояния ( $1/r$), такие как гравитационный потенциал Ньютона или электростатический потенциал Кулона , выражает их через сферические полиномы Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется при вычислении интегралов межэлектронного отталкивания.

Расширение Лапласа на самом деле представляет собой расширение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения ${\textbf {r}}$ и ${\textbf {r}}'$, то расширение Лапласа будет

$${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {r_{\scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle >}^{\ell +1}}}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ').$$

Здесь ${\textbf {r}}$ имеет сферические полярные координаты $(r,\theta ,\varphi )$ и ${\textbf {r}}'$ имеет $(r',\theta ',\varphi ')$ с однородными полиномами степени $\ell$. Далее r _< — это min( r , r ’), а r _> — это max( r , r ’). Функция $Y_{\ell }^{m}$ — нормированная сферическая гармоническая функция . Разложение принимает более простую форму, если оно записано в терминах твердых гармоник :

$${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {r} )R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ')\quad {\text{with}}\quad |\mathbf {r} |>|\mathbf {r} '|.$$

Вывод

Вывод этого расширения прост. По закону косинусов ,

$${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'\cos \gamma }}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}}\quad {\hbox{with}}\quad h:={\frac {r'}{r}}.$$

Здесь находим производящую функцию полиномов Лежандра $P_{\ell }(\cos \gamma )$:

$${\frac {1}{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }h^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma ).$$

Использование теоремы сложения сферических гармоник

$$P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')$$

дает желаемый результат.

Расширение Неймана

Подобное уравнение было получено Карлом Готфридом Нейманом. что позволяет выражать $1/r$ в вытянутых сфероидальных координатах в виде ряда:

$${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {4\pi }{a}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{\mathcal {P}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{<}){\mathcal {Q}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{>})Y_{\ell }^{m}(\arccos \tau ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\arccos \tau ',\varphi ')$$

где ${\mathcal {P}}_{\ell }^{m}(z)$ и ${\mathcal {Q}}_{\ell }^{m}(z)$ — ассоциированные функции Лежандра первого и второго рода соответственно, определенные так, что они действительны при $z\in (1,\infty )$. По аналогии со случаем сферических координат, описанным выше, относительные размеры радиальных координат важны, так как $\sigma _{<}=\min(\sigma ,\sigma ')$ и $\sigma _{>}=\max(\sigma ,\sigma ')$.

Ссылки

• Гриффитс, Дэвид Дж (1981). Введение в электродинамику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл.