Координаты Якоби

Координаты Якоби для задачи двух тел ; Координаты Якоби ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ и ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ с $M=m_{1}+m_{2}$.

Возможный набор координат Якоби для задачи четырех тел; координаты Якоби: r ₁ , r ₂ , r ₃ и центр масс R . См. Корниль.

В теории многочастичных систем координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при рассмотрении многоатомных молекул и химических реакций . и в небесной механике . Алгоритм генерации координат Якоби для N тел может быть основан на двоичных деревьях . На словах алгоритм описывается следующим образом:

Пусть mj _— и mk _{тел ,} заменяемых новым телом виртуальной M = mj _массы + mk _{массы двух} . Координаты положения x _j и x _k заменяются их относительным положением r _jk = x _j − x _k и вектором их центра масс R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k )/( m _j + мк ₎ . Узел в бинарном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет m _j в качестве правого дочернего элемента и m _k в качестве левого дочернего элемента. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от x _k до x _j . Повторите описанный выше шаг для N — 1 тел, то есть N — 2 исходных тел плюс новое виртуальное тело.

Для задачи N тел результат:

${\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}$

${\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,$

с

$m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .$

Вектор ${\boldsymbol {r}}_{N}$ является центром масс всех тел и ${\boldsymbol {r}}_{1}$ – относительная координата между частицами 1 и 2:

Таким образом, в результате получается система из N -1 трансляционно-инвариантных координат. ${\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}$ и координата центра масс ${\boldsymbol {r}}_{N}$, от итеративного сокращения систем двух тел в системе многих тел.

Этой замене координат был сопоставлен якобиан, равный $1$.

Если кто-то заинтересован в вычислении оператора свободной энергии в этих координатах, можно получить

$H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}$

В расчетах может оказаться полезным следующее тождество

$\sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}$.