Раствор для пыли

В общей теории относительности раствор пыли — это раствор жидкости , тип точного решения уравнения поля Эйнштейна , в котором гравитационное поле полностью создается массой, импульсом и плотностью напряжений идеальной жидкости , которая имеет положительную плотность массы, но исчезающее давление . Пылевые растворы являются важным частным случаем жидких растворов в общей теории относительности.

Модель пыли

Идеальную жидкость без давления можно интерпретировать как модель конфигурации частиц пыли , которые локально движутся согласованно и взаимодействуют друг с другом только гравитационно, от чего и произошло название. По этой причине модели пыли часто используются в космологии как модели игрушечной Вселенной, в которой частицы пыли рассматриваются как сильно идеализированные модели галактик, скоплений или сверхскоплений. В астрофизике модели пыли использовались как модели гравитационного коллапса .Пылевые решения также можно использовать для моделирования конечных вращающихся дисков из пылевых частиц; некоторые примеры перечислены ниже. Если каким-то образом наложить пылевой раствор на звездную модель, состоящую из шара жидкости, окруженного вакуумом, можно будет использовать его для моделирования аккреционного диска вокруг массивного объекта; однако такие точные решения, моделирующие вращающиеся аккреционные диски, пока неизвестны из-за чрезвычайной математической сложности их построения.

Математическое определение

Тензор энергии-импульса релятивистской жидкости без давления можно записать в простой форме

$T^{\mu \nu }=\rho _{0}U^{\mu }U^{\nu }.$

Здесь мировые линии пылевых частиц представляют собой интегральные кривые четырехскоростной $U^{\mu }$ а плотность вещества в системе покоя пыли определяется скалярной функцией $\rho _{0}$.

Собственные значения

Поскольку тензор энергии-напряжения представляет собой матрицу первого ранга, короткое вычисление показывает, что характеристический полином

$\chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}$

тензора Эйнштейна в пылевом растворе будет иметь вид

$\chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}$

Умножив это произведение, мы обнаружим, что коэффициенты должны удовлетворять следующим трем алгебраически независимым (и инвариантным) условиям:

$a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0$

Используя тождества Ньютона в терминах сумм степеней корней (собственных значений), которые также являются следами степеней самого тензора Эйнштейна, эти условия становятся:

$t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}$

В обозначении тензорного индекса это можно записать с использованием скаляра Риччи как:

${G^{a}}_{a}=-R$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}$

Этот критерий собственных значений иногда полезен при поиске пылевых решений, поскольку он показывает, что очень немногие лоренцевы многообразия могут допускать интерпретацию в общей теории относительности как пылевые решения.

Примеры

Решение для нулевой пыли

Основная статья: Решение для нулевой пыли

Решение с нулевой пылью — это решение с нулевой пылью, в котором тензор Эйнштейна равен нулю.

Бьянки пыль

Модели пыли Бьянки демонстрируют различные типы алгебр Ли векторных полей Киллинга .

Особые случаи включают FLRW и пыль Каснера.

Каснерская пыль

Пыль Каснера – самая простая. космологическая модель, демонстрирующая анизотропное расширение .

Пыль от ППОО

-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) однородна Пыль Фридмана и изотропна . Эти решения часто называют моделями FLRW с доминированием материи .

Вращающаяся пыль

Пыль Ван Стокума представляет собой цилиндрически-симметричную вращающуюся пыль.

Пыль Нойгебауэра-Мейнеля моделирует вращающийся пылевой диск, соответствующий осесимметричной внешней поверхности вакуума. Это решение получило название , самое замечательное точное решение, обнаруженное со времен вакуума Керра .

Другие решения

К заслуживающим внимания индивидуальным решениям по борьбе с пылью относятся:

• Пыль Леметра-Толмана-Бонди (LTB) (одни из простейших неоднородных космологических моделей , часто используемых в качестве моделей гравитационного коллапса)
• Пыль Кантовского – Сакса (космологические модели, которые демонстрируют возмущения от моделей FLRW)
• метрика Гёделя

См. также

• группа Лоренца

Ссылки

• Шутц, Бернард Ф. (2009), «4. Совершенные жидкости в специальной теории относительности», Первый курс общей теории относительности (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88705-2
• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7 . Приводит множество примеров точных решений по пыли.