Преобразование Прандтля – Глауэрта

Преобразование Прандтля -Глауэрта - это математический метод, который позволяет решать некоторые сжимаемой жидкости задачи о течении с помощью методов расчета потока несжимаемой жидкости. Это также позволяет применять данные о несжимаемом потоке к случаям сжимаемого потока.

Математическая формулировка

График обратного фактора Прандтля – Глауэрта $1/\beta$ как функция числа Маха набегающего потока . Обратите внимание на бесконечный предел в 1 Маха.

Течение невязкой сжимаемой жидкости над тонкими телами описывается линеаризованным потенциальным уравнением сжимаемой малой возмущенности:

$\phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=M_{\infty }^{2}\phi _{xx}\quad {\mbox{(in flow field)}}$

вместе с граничным условием касания потока с малым возмущением.

$V_{\infty }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z}n_{z}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}$

$M_{\infty }$ - число Маха набегающего потока, а $n_{x},n_{y},n_{z}$ – компоненты вектора нормали к поверхности. Неизвестная переменная — это потенциал возмущения $\phi (x,y,z)$, а общая скорость определяется как ее градиент плюс скорость набегающего потока $V_{\infty }$ который здесь предполагается вдоль $x$.

${\vec {V}}=\nabla \phi +V_{\infty }{\hat {x}}=(V_{\infty }+\phi _{x}){\hat {x}}+\phi _{y}{\hat {y}}+\phi _{z}{\hat {z}}$

Приведенная выше формулировка действительна только в том случае, если применяется приближение малого возмущения:

$|\nabla \phi |\ll V_{\infty }$

и, кроме того, отсутствие трансзвукового течения, приближенно выраженное требованием, чтобы локальное число Маха не превышало единицы.

$\left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}\right]M_{\infty }^{2}<1$

Преобразование Прандтля-Глауэрта (PG) использует фактор Прандтля-Глауэрта. $\beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}$. Он состоит в уменьшении всех размеров y и z и угла атаки в коэффициент $\beta ,$ потенциал по $\beta ^{2},$ и компонент x нормальных векторов на $\beta$:

${\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}$

Этот ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ тогда геометрия будет иметь нормальные векторы, чьи компоненты x уменьшаются на $\beta$ из оригинальных:

${\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}$

Затем потенциальное уравнение малого возмущения преобразуется в уравнение Лапласа:

${\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\quad {\mbox{(in flow field)}}$

а граничное условие касания потока сохраняет тот же вид.

$V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}$

Это задача несжимаемого потенциального потока о преобразованном ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ геометрия. Ее можно решить несжимаемыми методами, такими как теория тонкого профиля, методы вихревой решетки, панельные методы и т. д. Результатом является преобразованный потенциал возмущения. ${\bar {\phi }}$ или его компоненты градиента ${\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}$ в преображенном пространстве. Физический линеаризованный коэффициент давления затем получается обратным преобразованием

$C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}$

которое известно как правило Гётерта

Результаты

Для двумерного потока конечный результат таков: $C_{p}$ а также коэффициенты подъемной силы и момента $c_{l},c_{m}$ увеличиваются в раз $1/\beta$:

${\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_{l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}$

где $C_{p0},c_{l0},c_{m0}$ — значения несжимаемого потока для исходного (немасштабированного) $xyz$ геометрия. Этот результат только для 2D известен как правило Прандтля.

Для трехмерных потоков эти простые $1/\beta$ масштабирование НЕ применяется. Вместо этого необходимо работать с масштабированным ${\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}$ геометрии, как указано выше, и используйте правило Гётерта для вычисления $C_{p}$ а затем силы и моменты. Простые результаты невозможны, за исключением особых случаев. Например, используя теорию подъемной линии для плоского эллиптического крыла, коэффициент подъемной силы равен

$C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}$

где AR — удлинение крыла. Заметим, что в 2D случае, когда AR → ∞, это сводится к 2D случаю, поскольку в несжимаемом 2D потоке для плоского профиля имеем $c_{l0}=2\pi \alpha ,$ согласно теории тонкого профиля .

Ограничения

Преобразование PG хорошо работает для всех чисел Маха набегающего потока до 0,7 или около того или после того, как начинает появляться околозвуковой поток.

История

Интерес к исследованиям сжимаемости возник после Первой мировой войны, когда законцовки винтов самолетов стали достигать М=0,8. Людвиг Прандтль преподавал преобразование в своих лекциях около 1922 года, однако первое строгое доказательство было опубликовано в 1928 году Германом Глауэртом . Введение этого соотношения позволило создать самолеты, способные работать в районах с более высокими дозвуковыми скоростями. Первоначально все эти результаты были разработаны для двумерного потока. В конце концов в 1946 году Гётерт осознал, что геометрическое искажение, вызванное преобразованием PG, делает простое правило Прандтля для 2D недействительным для 3D, и правильно сформулировал полную проблему 3D, как описано выше.

Преобразование PG было распространено Якобом Акеретом на сверхзвуковые течения набегающего потока в 1925 году. Как и в случае дозвукового случая, сверхзвуковой случай справедлив только в том случае, если нет трансзвукового эффекта, что требует, чтобы тело было тонким, а Маха набегающего потока было достаточно намного выше единство.

Сингулярность

Основная статья: особенность Прандтля – Глауэрта

Рядом со скоростью звука $M_{\infty }\simeq 1$ Преобразование PG имеет особенность . Особенность также называют особенностью Прандтля – Глауэрта , а сопротивление потоку рассчитывается стремящимся к бесконечности. В действительности аэродинамические и термодинамические возмущения сильно усиливаются вблизи скорости звука, но сингулярности не возникает. Объяснение этому состоит в том, что приведенное выше линеаризованное потенциальное уравнение малого возмущения недействительно, поскольку оно предполагает, что внутри потока существуют лишь небольшие изменения числа Маха и отсутствуют скачки уплотнения сжатия, и, следовательно, в нем отсутствуют некоторые нелинейные члены. Однако они становятся актуальными, как только какая-либо часть поля потока ускоряется выше скорости звука, и становятся существенными вблизи $M_{\infty }\simeq 1.$ Более правильное нелинейное уравнение не имеет сингулярности.

См. также

• Людвиг Прандтль
• Герман Глауэрт
• Якоб Акерет

Ссылки

Источники

• Гётерт, Б.Х. (1940), «Плоский и трехмерный поток при высоких дозвуковых скоростях: расширение правила Прандтля», Общество Лилиенталя (на немецком языке) (127), Берлин: Центр научных сообщений
• Глауэрт, Х. (1928). «Влияние сжимаемости на подъемную силу аэродинамического крыла» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 118 (779): 113–119. Бибкод : 1928RSPSA.118..113G . дои : 10.1098/rspa.1928.0039 . ISSN   1364-5021 .
• Кете, Арнольд Мартин; Чоу, Чуен-Йен (1976). Основы аэродинамики: основы аэродинамического проектирования . Уайли. ISBN  978-0-471-50953-0 .
• Мейер, Х.-У. (2005), «Эволюция стреловидного крыла, техническая задача» (PDF) , лекция памяти Людвига Прандтля, GAMM 2005, 28 марта – 1 апреля 2005 г. (на немецком языке), Университет Люксембурга.
• Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости . Том. 1. Уайли. ISBN  9780471066910 .
• Тракенбродт, Эрих (1996). Механика жидкости [ Fluid Mechanics ] (на немецком языке). Том 2 (4-е изд.). Издательство Спрингер.