Задача Ферми–Пасты–Улама–Цингу
Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( январь 2022 г. ) |
В физике проблема Ферми -Пасты-Улама-Цингу (FPUT) или ранее проблема Ферми-Пасты-Улама была очевидным парадоксом в теории хаоса , заключающимся в том, что многие достаточно сложные физические системы демонстрировали почти точно периодическое поведение, называемое Ферми-Паста-Улам-Улам- Рекуррентность Цингоу (или рекуррентность Ферми-Пасты-Улама ) - вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми , конечно же, ожидал, что система термализуется за довольно короткое время. То есть ожидалось, что все колебательные моды в конечном итоге появятся с одинаковой силой, согласно теореме о равнораспределении или, в более общем смысле, эргодической гипотезе . И все же здесь была система, которая, казалось, уклонялась от эргодической гипотезы. Хотя повторение легко наблюдать, в конечном итоге стало очевидно, что в течение гораздо более длительных периодов времени система в конечном итоге термализуется. Для объяснения поведения системы было предложено множество конкурирующих теорий, и это остается темой активных исследований.
Первоначальной целью было найти физическую задачу, достойную численного моделирования на тогда еще новом компьютере MANIAC . Ферми чувствовал, что термализация создаст такую проблему. По существу, он представляет собой одно из первых применений цифровых компьютеров в математических исследованиях; одновременно неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем .
Эксперимент FPUT [ править ]
Летом 1953 года Энрико Ферми , Джон Паста , Станислав Улам и Мэри Цингу провели компьютерное моделирование вибрирующей струны, включающее нелинейный член (квадратичный в одном тесте, кубический в другом и кусочно-линейное приближение к кубическому в другом). третий). Они обнаружили, что поведение системы сильно отличалось от того, чего они ожидали по интуиции. Энрико Ферми считал, что после многих итераций система будет демонстрировать термализацию — эргодическое поведение, при котором влияние начальных режимов вибрации затухает, и система становится более или менее случайной, при этом все моды возбуждаются более или менее одинаково . Вместо этого система демонстрировала очень сложное квазипериодическое поведение. Они опубликовали свои результаты в техническом отчете Лос-Аламоса в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, поэтому этот технический отчет был опубликован после смерти Ферми.
В 2020 году журнал National Security Science опубликовал статью о Цингоу, включающую ее комментарии и исторические размышления по проблеме FPUT. В статье Цинго заявляет: «Я помню, как однажды сидел там с Пастой и Уламом», когда они обсуждали «некоторые задачи, которые мы могли бы решить на компьютере, некоторые действительно математические задачи». Они попробовали несколько вещей, но в конце концов «придумали эту вибрирующую струну». [1]
Эксперимент FPUT был важен как для демонстрации сложности поведения нелинейной системы, так и для ценности компьютерного моделирования при анализе систем.
Изменение имени [ править ]
В оригинальной статье в качестве авторов упоминаются Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умерла до того, как был написан отчет) и выражается благодарность Цингоу за ее работу по программированию симуляций МАНИАКА . Вклад Мэри Цингу в решение проблемы FPUT в значительной степени игнорировался сообществом до тех пор, пока Тьерри Даксуа ( 2008 ) не опубликовал дополнительную информацию о разработке и не призвал переименовать проблему, чтобы также указать ее авторство.
Решётчатая система FPUT [ править ]
Ферми, Паста, Улам и Цингоу смоделировали колеблющуюся струну, решив следующую дискретную систему связанных осцилляторов ближайших соседей. Мы следуем объяснению, данному в Ришара Пале статье . Пусть имеется N осцилляторов, представляющих строку длины с положениями равновесия , где — шаг решетки. Тогда положение j -го осциллятора как функция времени будет , так что дает смещение от равновесия. FPUT использовал следующие уравнения движения:
Это всего лишь второй закон Ньютона для j -й частицы. Первый фактор это обычная форма закона Гука для силы. Фактор с нелинейная сила. Мы можем переписать это в терминах континуальных величин, определив быть скоростью волны, где - модуль Юнга для струны, а плотность:
уравнением КдВ Связь с
основных Пределом континуума уравнений для струны (с квадратичным силовым членом) является уравнение Кортевега – де Фриза (уравнение КдВ). Открытие этого соотношения и солитонных решений уравнения КдВ Мартином Дэвидом Крускалом и Норманом Забуски В 1965 году это был важный шаг вперед в исследовании нелинейных систем. Ниже мы воспроизводим вывод этого предела, который довольно сложен и найден в статье Пале. Начиная с «континуальной формы» приведенных выше уравнений решетки, мы сначала определяем u ( x , t ) как смещение струны в позиции x и времени t . Затем нам понадобится переписка, чтобы является .
Мы можем использовать теорему Тейлора , чтобы переписать второй множитель для малых (индексы u обозначают частные производные):
Аналогично, второй член третьего фактора равен
Таким образом, система FPUT
Если бы нужно было сохранить члены только до O ( h ) и предположить, что приближается к пределу, в результате получается уравнение, в котором возникают толчки , чего не наблюдается. Таким образом, сохраняется O ( h 2 ) термин, а также:
Сделаем теперь следующие замены, мотивированные разложением решений бегущей волны ( уравнения обыкновенной волны , к которому оно сводится, когда исчезают) на волны, движущиеся влево и вправо, так что мы рассматриваем только волну, движущуюся вправо. Позволять . При такой замене координат уравнение принимает вид
Чтобы принять предел непрерывности, предположим, что стремится к константе и стремятся к нулю. Если мы возьмем , затем
принимая приводит к уравнению КдВ:
Забуски и Краскал утверждали, что именно тот факт, что солитонные решения уравнения КдВ могут проходить друг через друга, не затрагивая асимптотические формы, объясняет квазипериодичность волн в эксперименте FPUT. Короче говоря, термализация не могла произойти из-за определенной «солитонной симметрии» в системе, которая нарушала эргодичность.
Подобный набор манипуляций (и аппроксимаций) приводит к решетке Тоды , которая также известна как полностью интегрируемая система . Она также имеет солитонные решения, пары Лакса , и поэтому ее также можно использовать для аргументации отсутствия эргодичности в модели FPUT. [2] [3]
Пути к термализации [ править ]
В 1966 году Феликс Израилев и Борис Чириков предположили, что система будет термализоваться, если будет предоставлено достаточное количество начальной энергии. [4] Идея здесь состоит в том, что нелинейность меняет дисперсионное соотношение , позволяя иметь место резонансным взаимодействиям , которые переносят энергию из одной моды в другую. Обзор таких моделей можно найти в Roberto Livi et al . [5] Однако в 1970 году Джозеф Форд и Гэри Х. Лансфорд настаивали на том, что смешивание можно наблюдать даже при сколь угодно малых начальных энергиях. [6] Существует долгая и сложная история подходов к этой проблеме; (частичный) обзор см. в Thierry Dauxois (2008). [7]
Недавняя работа Мигеля Онорато и др. демонстрирует очень интересный путь к термализации. [8] Переписывая модель FPUT в терминах нормальных режимов , нелинейный член выражается как трехмодовое взаимодействие (на языке статистической механики это можно было бы назвать «трехфононным взаимодействием »). Однако это не так. взаимодействие резонансное , [9] и, таким образом, не может передавать энергию из одного режима в другой; он может генерировать только повторение FPUT. Трехфононное взаимодействие не может термализовать систему.
Однако ключевой вывод заключается в том, что эти режимы представляют собой комбинации «свободного» и «связанного» режимов. То есть высшие гармоники «связаны» с основной гармоникой, почти так же, как высшие гармоники в решениях уравнения КдВ связаны с основной. Они не имеют собственной динамики и вместо этого привязаны по фазе к основной частоте. Термализация, если она есть, может быть только среди свободных мод.
Для получения свободных мод можно применить каноническое преобразование , удаляющее все несвободные моды (не вступающие в резонансные взаимодействия). В случае системы FPUT это приводит к появлению мод генератора с четырехволновым взаимодействием (трехволновое взаимодействие удалено). резонансно, т.е. смешивают Эти квартеты действительно взаимодействуют одновременно четыре моды. Однако, как ни странно, когда в цепочке FPUT всего 16, 32 или 64 узла, эти квартеты изолированы друг от друга. Любая данная мода принадлежит только одному квартету, и энергия не может перетекать из одного квартета в другой. Переходя к более высоким порядкам взаимодействия, имеется шестиволновое взаимодействие, которое является резонансным; кроме того, каждая мода участвует как минимум в двух различных шестиволновых взаимодействиях. Другими словами, все режимы становятся взаимосвязанными, и энергия будет передаваться между всеми различными режимами.
Трехволновое взаимодействие имеет силу (одинаковый как и в предыдущих разделах выше). Четырехволновое взаимодействие имеет силу и шестиволновое взаимодействие имеет силу . Основываясь на общих принципах корреляции взаимодействий (вытекающих из иерархии BBGKY ), можно ожидать, что время термализации будет равно квадрату взаимодействия. Таким образом, исходная решетка FPUT (размером 16, 32 или 64) в конечном итоге термализуется в масштабе времени порядка : ясно, что для слабых взаимодействий это становится очень большим временем ; в то же время рецидивы FPUT, похоже, не ослабевают. Этот конкретный результат справедлив для этих конкретных размеров решетки; резонансные четырехволновые или шестиволновые взаимодействия для разных размеров решетки могут смешивать или не смешивать моды (поскольку зоны Бриллюэна имеют разный размер, и поэтому комбинаторика, в которой волновые векторы могут суммироваться до нуля, изменяется). процедуры получения канонических преобразований, линеаризующих связанные моды, остаются темой активных исследований.
Однако недавнее исследование [10] обнаружил, что существуют расхождения в каноническом преобразовании, используемом для устранения трехволновых взаимодействий, из-за наличия малых знаменателей. Эти малые знаменатели становятся более заметными, когда возбуждаются низшие моды, и становятся более значимыми по мере увеличения размера системы. Эти результаты также указывают на то, что может существовать порог стохастичности в -Система Ферми–Паста–Улама–Цингу.
Ссылки [ править ]
- ^ Грант, Вирджиния (2020). «Мы благодарим мисс Мэри Цинго» . Наука национальной безопасности .
- ^ Бенеттин, Г.; Христодулиди, Х.; Понно, А. (2013). «Проблема Ферми-Пасты-Улама и ее основная интегрируемая динамика». Журнал статистической физики . 152 (2): 195–212. Бибкод : 2013JSP...152..195B . дои : 10.1007/s10955-013-0760-6 . S2CID 120275594 .
- ^ Казетти, Лапо; Черрути-Сола, Моника; Петтини, Марко; Коэн, EGD (1997). «Возвращение к проблеме Ферми-Пасты-Улама: пороги стохастичности в нелинейных гамильтоновых системах». Физический обзор E . 55 (6): 6566–6574. arXiv : чао-дин/9609017 . Бибкод : 1997PhRvE..55.6566C . дои : 10.1103/PhysRevE.55.6566 . S2CID 123324018 .
- ^ Израилев, Ф.М.; Чириков, Б.В. (1966). «Статистические свойства нелинейной струны». Доклады советской физики . 11 : 30. Бибкод : 1966СФД...11...30И .
- ^ Ливи, Роберто; Комбс, Марко; Руффо, Стефано; Спарпальоне, Массимо; Вульпиани, Анджело (1985). «Порог равнораспределения в нелинейных больших гамильтоновых системах: модель Ферми-Пасты-Улама». Физический обзор А. 31 (2): 1039–1045. Бибкод : 1985PhRvA..31.1039L . дои : 10.1103/PhysRevA.31.1039 . ПМИД 9895584 .
- ^ Форд, Джозеф; Лансфорд, Гэри Х. (1970). «Стохастическое поведение резонансных почти линейных колебательных систем в пределе нулевой нелинейной связи». Физический обзор А. 1 (1): 59–70. Бибкод : 1970PhRvA...1...59F . дои : 10.1103/PhysRevA.1.59 .
- ^ Руффо, Стефано; Даксуа, Тьерри (2008). «Нелинейные колебания решетки Ферми-Пасты-Улама» . Схоларпедия . 3 (8): 5538. Бибкод : 2008SchpJ...3.5538D . doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
- ^ Онорато, Мигель; Возелла, Лара; Промент, Давиде; Львов, Юрий В. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми – Паста – Улам» . Труды Национальной академии наук . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Бибкод : 2015PNAS..112.4208O . дои : 10.1073/pnas.1404397112 . ПМК 4394280 . ПМИД 25805822 . S2CID 1823791 .
- ^ Резонансное взаимодействие - это взаимодействие, при котором все волновые векторы добавляются/вычитаются до нуля по модулю зоны Бриллюэна , а также соответствующих частот, полученных из дисперсионного уравнения . Поскольку их сумма равна нулю, для соответствующего векторного пространства не существует предпочтительного векторного базиса, и поэтому все амплитуды можно свободно переставлять. По сути, это помещает все моды в один и тот же эргодический компонент, где они могут «мгновенно» смешиваться. В S-матрице и/или формализме Фейнмана это эквивалентно утверждению о сохранении энергии/импульса: сумма энергии/импульса входящих состояний должна равняться сумме энергии/импульса исходящих состояний. Если этого не произойдет, государства не смогут взаимодействовать.
- ^ Ганапа, Сантош (2023). «Квазипериодичность в - Еще раз о проблеме Ферми-Пасты-Улама-Цингу: подход, использующий идеи волновой турбулентности». Хаос: Междисциплинарный журнал нелинейной науки . 33 (9). AIP Publishing. arXiv : 2303.10297 . doi : 10.1063/5.0154157 . PMID 37656916 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Даксуа, Тьерри (2008). «Ферми, Паста, Улам и загадочная дама». Физика сегодня . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Бибкод : 2008ФТ....61а..55Д . дои : 10.1063/1.2835154 . S2CID 118607235 .
- Ферми, Э .; Паста, Дж . ; Улам, С. (1955). «Исследования нелинейных проблем» (PDF) . Документ ЛА-1940. Лос-Аламосская национальная лаборатория.
- Грант, Вирджиния (2020). «Мы благодарим мисс Мэри Цинго» . Наука национальной безопасности. Зима 2020: 36–43.
- Забуски, Нью-Джерси ; Краскал, доктор медицины (1965). «Взаимодействие солитонов в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний» . Письма о физических отзывах . 15 (6): 240–243. Бибкод : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
- Пале, Р. (1997). «Симметрии солитонов» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 34 (4): 339–403. arXiv : dg-ga/9708004 . дои : 10.1090/S0273-0979-97-00732-5 . МР 1462745 . S2CID 14550937 .
- Даксуа, Т.; Руффо, С. (2008). «Нелинейные колебания решетки Ферми – Пасты – Улама» . Схоларпедия . 3 (8): 5538. Бибкод : 2008SchpJ...3.5538D . doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
- Галлавотти, Г. , изд. (2008). Проблема Ферми-Пасты-Улама: отчет о состоянии . Конспект лекций по физике . Том. 728. Спрингер . ISBN 978-3-540-72994-5 .
- Портер, Массачусетс; Забуски, Нью-Джерси ; Центр.; Кэмпбелл, ДК (2009). «Ферми, Паста, Улам и рождение экспериментальной математики» (PDF) . Американский учёный . 97 (3): 214–221. дои : 10.1511/2009.78.214 .
- Онорато, М.; Возелла, Л.; Промент, Д.; Львов, Ю. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми – Паста – Улам» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Бибкод : 2015PNAS..112.4208O . дои : 10.1073/pnas.1404397112 . ПМК 4394280 . ПМИД 25805822 .
- Ганапа, Сантош (2023). «Возвращение к квазипериодичности в проблеме α-Ферми – Пасты – Улама – Цингу: подход, использующий идеи волновой турбулентности» . Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 33 (9). Издательство Американского института физики. arXiv : 2303.10297 . дои : 10.1063/5.0154157 . ПМИД 37656916 .