Задача Ферми–Пасты–Улама–Цингу

В физике проблема Ферми -Пасты-Улама-Цингу (FPUT) или ранее проблема Ферми-Пасты-Улама была очевидным парадоксом в теории хаоса , заключающимся в том, что многие достаточно сложные физические системы демонстрировали почти точно периодическое поведение, называемое Ферми-Паста-Улам-Улам- Рекуррентность Цингоу (или рекуррентность Ферми-Пасты-Улама ) - вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми , конечно же, ожидал, что система термализуется за довольно короткое время. То есть ожидалось, что все колебательные моды в конечном итоге появятся с одинаковой силой, согласно теореме о равнораспределении или, в более общем смысле, эргодической гипотезе . И все же здесь была система, которая, казалось, уклонялась от эргодической гипотезы. Хотя повторение легко наблюдать, в конечном итоге стало очевидно, что в течение гораздо более длительных периодов времени система в конечном итоге термализуется. Для объяснения поведения системы было предложено множество конкурирующих теорий, и это остается темой активных исследований.

Первоначальной целью было найти физическую задачу, достойную численного моделирования на тогда еще новом компьютере MANIAC . Ферми чувствовал, что термализация создаст такую ​​проблему. По существу, он представляет собой одно из первых применений цифровых компьютеров в математических исследованиях; одновременно неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем .

Эксперимент FPUT

Если нелинейности нет (фиолетовый), вся амплитуда в режиме останется в этом режиме. Если в упругую цепочку ввести квадратичную нелинейность, энергия может распространиться по всем режимам, но если вы подождете достаточно долго (две минуты в этой анимации), вы увидите, как вся амплитуда возвращается в исходный режим.

Летом 1953 года Энрико Ферми , Джон Паста , Станислав Улам и Мэри Цингу провели компьютерное моделирование вибрирующей струны, включающее нелинейный член (квадратичный в одном тесте, кубический в другом и кусочно-линейное приближение к кубическому в другом). третий). Они обнаружили, что поведение системы сильно отличалось от того, чего они ожидали по интуиции. Энрико Ферми считал, что после многих итераций система будет демонстрировать термализацию — эргодическое поведение, при котором влияние начальных режимов вибрации затухает, и система становится более или менее случайной, при этом все моды возбуждаются более или менее одинаково . Вместо этого система демонстрировала очень сложное квазипериодическое поведение. Они опубликовали свои результаты в техническом отчете Лос-Аламоса в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, поэтому этот технический отчет был опубликован после смерти Ферми.

В 2020 году журнал National Security Science опубликовал статью о Цингоу, включающую ее комментарии и исторические размышления по проблеме FPUT. В статье Цинго заявляет: «Я помню, как однажды сидел там с Пастой и Уламом», когда они обсуждали «некоторые задачи, которые мы могли бы решить на компьютере, некоторые действительно математические задачи». Они попробовали несколько вещей, но в конце концов «придумали эту вибрирующую струну».

Эксперимент FPUT был важен как для демонстрации сложности поведения нелинейной системы, так и для ценности компьютерного моделирования при анализе систем.

Изменение имени

В оригинальной статье в качестве авторов упоминаются Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умерла до того, как был написан отчет) и выражается благодарность Цингоу за ее работу по программированию симуляций МАНИАКА . Вклад Мэри Цингу в решение проблемы FPUT в значительной степени игнорировался сообществом до тех пор, пока Тьерри Даксуа ( 2008 ) не опубликовал дополнительную информацию о разработке и не призвал переименовать проблему, чтобы также указать ее авторство.

Решётчатая система FPUT

Ферми, Паста, Улам и Цингоу смоделировали колеблющуюся струну, решив следующую дискретную систему связанных осцилляторов ближайших соседей. Мы следуем объяснению, данному в Ришара Пале статье . Пусть имеется N осцилляторов, представляющих строку длины $\ell$ с положениями равновесия $p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1$, где $h=\ell /(N-1)$ — шаг решетки. Тогда положение j -го осциллятора как функция времени будет $X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)$, так что $x_{j}(t)$ дает смещение от равновесия. FPUT использовал следующие уравнения движения:

$m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].$

Это всего лишь второй закон Ньютона для j -й частицы. Первый фактор $k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})$ это обычная форма закона Гука для силы. Фактор с $\alpha$ нелинейная сила. Мы можем переписать это в терминах континуальных величин, определив $c={\sqrt {\kappa /\rho }}$ быть скоростью волны, где $\kappa =k/h$ - модуль Юнга для струны, а $\rho =m/h^{3}$ плотность:

${\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].$

уравнением

основных Пределом континуума уравнений для струны (с квадратичным силовым членом) является уравнение Кортевега – де Фриза (уравнение КдВ). Открытие этого соотношения и солитонных решений уравнения КдВ Мартином Дэвидом Крускалом и Норманом Забуски В 1965 году это был важный шаг вперед в исследовании нелинейных систем. Ниже мы воспроизводим вывод этого предела, который довольно сложен и найден в статье Пале. Начиная с «континуальной формы» приведенных выше уравнений решетки, мы сначала определяем u ( x , t ) как смещение струны в позиции x и времени t . Затем нам понадобится переписка, чтобы $u(p_{j},t)$ является $x_{j}(t)$.

${\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].$

Мы можем использовать теорему Тейлора , чтобы переписать второй множитель для малых $h$ (индексы u обозначают частные производные):

${\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{aligned}}$

Аналогично, второй член третьего фактора равен

$\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).$

Таким образом, система FPUT

${\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).$

Если бы нужно было сохранить члены только до O ( h ) и предположить, что $2\alpha h$ приближается к пределу, в результате получается уравнение, в котором возникают толчки , чего не наблюдается. Таким образом, сохраняется O ( h ² ) термин, а также:

${\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.$

Сделаем теперь следующие замены, мотивированные разложением решений бегущей волны ( уравнения обыкновенной волны , к которому оно сводится, когда $\alpha ,h$ исчезают) на волны, движущиеся влево и вправо, так что мы рассматриваем только волну, движущуюся вправо. Позволять $\xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)$. При такой замене координат уравнение принимает вид

$y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.$

Чтобы принять предел непрерывности, предположим, что $\alpha /h$ стремится к константе и $\alpha ,h$ стремятся к нулю. Если мы возьмем $\delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}$, затем

$y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.$

принимая $v=y_{\xi }$ приводит к уравнению КдВ:

$v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi }=0.$

Забуски и Краскал утверждали, что именно тот факт, что солитонные решения уравнения КдВ могут проходить друг через друга, не затрагивая асимптотические формы, объясняет квазипериодичность волн в эксперименте FPUT. Короче говоря, термализация не могла произойти из-за определенной «солитонной симметрии» в системе, которая нарушала эргодичность.

Подобный набор манипуляций (и аппроксимаций) приводит к решетке Тоды , которая также известна как полностью интегрируемая система . Она также имеет солитонные решения, пары Лакса , и поэтому ее также можно использовать для аргументации отсутствия эргодичности в модели FPUT.

Пути к термализации

В 1966 году Феликс Израилев и Борис Чириков предположили, что система будет термализоваться, если будет предоставлено достаточное количество начальной энергии. Идея здесь состоит в том, что нелинейность меняет дисперсионное соотношение , позволяя иметь место резонансным взаимодействиям , которые переносят энергию из одной моды в другую. Обзор таких моделей можно найти в Roberto Livi et al . Однако в 1970 году Джозеф Форд и Гэри Х. Лансфорд настаивали на том, что смешивание можно наблюдать даже при сколь угодно малых начальных энергиях. Существует долгая и сложная история подходов к этой проблеме; (частичный) обзор см. в Thierry Dauxois (2008).

Недавняя работа Мигеля Онорато и др. демонстрирует очень интересный путь к термализации. Переписывая модель FPUT в терминах нормальных режимов , нелинейный член выражается как трехмодовое взаимодействие (на языке статистической механики это можно было бы назвать «трехфононным взаимодействием »). Однако это не так. взаимодействие резонансное , и, таким образом, не может передавать энергию из одного режима в другой; он может генерировать только повторение FPUT. Трехфононное взаимодействие не может термализовать систему.

Однако ключевой вывод заключается в том, что эти режимы представляют собой комбинации «свободного» и «связанного» режимов. То есть высшие гармоники «связаны» с основной гармоникой, почти так же, как высшие гармоники в решениях уравнения КдВ связаны с основной. Они не имеют собственной динамики и вместо этого привязаны по фазе к основной частоте. Термализация, если она есть, может быть только среди свободных мод.

Для получения свободных мод можно применить каноническое преобразование , удаляющее все несвободные моды (не вступающие в резонансные взаимодействия). В случае системы FPUT это приводит к появлению мод генератора с четырехволновым взаимодействием (трехволновое взаимодействие удалено). резонансно, т.е. смешивают Эти квартеты действительно взаимодействуют одновременно четыре моды. Однако, как ни странно, когда в цепочке FPUT всего 16, 32 или 64 узла, эти квартеты изолированы друг от друга. Любая данная мода принадлежит только одному квартету, и энергия не может перетекать из одного квартета в другой. Переходя к более высоким порядкам взаимодействия, имеется шестиволновое взаимодействие, которое является резонансным; кроме того, каждая мода участвует как минимум в двух различных шестиволновых взаимодействиях. Другими словами, все режимы становятся взаимосвязанными, и энергия будет передаваться между всеми различными режимами.

Трехволновое взаимодействие имеет силу $1/\alpha$ (одинаковый $\alpha$ как и в предыдущих разделах выше). Четырехволновое взаимодействие имеет силу $1/\alpha ^{2}$ и шестиволновое взаимодействие имеет силу $1/\alpha ^{4}$. Основываясь на общих принципах корреляции взаимодействий (вытекающих из иерархии BBGKY ), можно ожидать, что время термализации будет равно квадрату взаимодействия. Таким образом, исходная решетка FPUT (размером 16, 32 или 64) в конечном итоге термализуется в масштабе времени порядка $1/\alpha ^{8}$: ясно, что для слабых взаимодействий это становится очень большим временем $\alpha \ll 1$; в то же время рецидивы FPUT, похоже, не ослабевают. Этот конкретный результат справедлив для этих конкретных размеров решетки; резонансные четырехволновые или шестиволновые взаимодействия для разных размеров решетки могут смешивать или не смешивать моды (поскольку зоны Бриллюэна имеют разный размер, и поэтому комбинаторика, в которой волновые векторы могут суммироваться до нуля, изменяется). процедуры получения канонических преобразований, линеаризующих связанные моды, остаются темой активных исследований.

Однако недавнее исследование обнаружил, что существуют расхождения в каноническом преобразовании, используемом для устранения трехволновых взаимодействий, из-за наличия малых знаменателей. Эти малые знаменатели становятся более заметными, когда возбуждаются низшие моды, и становятся более значимыми по мере увеличения размера системы. Эти результаты также указывают на то, что может существовать порог стохастичности в $\alpha$-Система Ферми–Паста–Улама–Цингу.

Дальнейшее чтение

• Даксуа, Тьерри (2008). «Ферми, Паста, Улам и загадочная дама». Физика сегодня . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Бибкод : 2008ФТ....61а..55Д . дои : 10.1063/1.2835154 . S2CID   118607235 .
• Ферми, Э .; Паста, Дж . ; Улам, С. (1955). «Исследования нелинейных проблем» (PDF) . Документ ЛА-1940. Лос-Аламосская национальная лаборатория.
• Грант, Вирджиния (2020). «Мы благодарим мисс Мэри Цинго» . Наука национальной безопасности. Зима 2020: 36–43.
• Забуски, Нью-Джерси ; Краскал, доктор медицины (1965). «Взаимодействие солитонов в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний» . Письма о физических отзывах . 15 (6): 240–243. Бибкод : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Пале, Р. (1997). «Симметрии солитонов» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 34 (4): 339–403. arXiv : dg-ga/9708004 . дои : 10.1090/S0273-0979-97-00732-5 . МР   1462745 . S2CID   14550937 .
• Даксуа, Т.; Руффо, С. (2008). «Нелинейные колебания решетки Ферми – Пасты – Улама» . Схоларпедия . 3 (8): 5538. Бибкод : 2008SchpJ...3.5538D . doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Галлавотти, Г. , изд. (2008). Проблема Ферми-Пасты-Улама: отчет о состоянии . Конспект лекций по физике . Том. 728. Спрингер . ISBN  978-3-540-72994-5 .
• Портер, Массачусетс; Забуски, Нью-Джерси ; Центр.; Кэмпбелл, ДК (2009). «Ферми, Паста, Улам и рождение экспериментальной математики» (PDF) . Американский учёный . 97 (3): 214–221. дои : 10.1511/2009.78.214 .
• Онорато, М.; Возелла, Л.; Промент, Д.; Львов, Ю. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми – Паста – Улам» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Бибкод : 2015PNAS..112.4208O . дои : 10.1073/pnas.1404397112 . ПМК   4394280 . ПМИД   25805822 .
• Ганапа, Сантош (2023). «Возвращение к квазипериодичности в проблеме α-Ферми – Пасты – Улама – Цингу: подход, использующий идеи волновой турбулентности» . Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 33 (9). Издательство Американского института физики. arXiv : 2303.10297 . дои : 10.1063/5.0154157 . ПМИД   37656916 .

Внешние ссылки

• «Ферми Паста Улам: парадокс, положивший начало научным вычислениям» .