Резонансное взаимодействие

В нелинейных системах резонансное взаимодействие — это взаимодействие трех и более волн , обычно, но не всегда, малой амплитуды. простого набора критериев, связывающих волновые векторы и дисперсионное уравнение Резонансные взаимодействия возникают при выполнении . Простота критериев делает метод популярным во многих областях. Его наиболее известные и хорошо развитые формы проявляются при изучении гравитационных волн , но также находят многочисленные применения от астрофизики и биологии до техники и медицины. Теоретическая работа по уравнениям в частных производных дает понимание теории хаоса ; есть любопытные связи с теорией чисел . Резонансные взаимодействия позволяют волнам (упруго) рассеиваться , рассеиваться или становиться нестабильными . Диффузионные процессы ответственны за возможную термализацию большинства нелинейных систем; нестабильности дают представление о многомерном хаосе и турбулентности .

Обсуждение

Основная концепция заключается в том, что когда сумма энергии и импульса нескольких колебательных мод равна нулю, они могут свободно смешиваться друг с другом из-за нелинейностей в изучаемой системе. Моды, для которых сумма энергии и импульса не равна нулю, не могут взаимодействовать, поскольку это означало бы нарушение закона сохранения энергии/импульса. Под импульсом волны понимается ее волновой вектор. $k$ и его энергия $\omega$ следует из дисперсионного уравнения системы.

Например, для трех волн в сплошных средах условие резонанса условно записывается как требование, чтобы $k_{1}\pm k_{2}\pm k_{3}=0$ а также $\omega _{1}\pm \omega _{2}\pm \omega _{3}=0$, причем знак минус принимается в зависимости от того, как перераспределяется энергия между волнами. Для волн в дискретных средах, например, в компьютерном моделировании на решетке или в (нелинейных) твердотельных системах , волновые векторы квантованы, а нормальные моды можно назвать фононами . Зона Бриллюэна определяет верхнюю границу волнового вектора, и волны могут взаимодействовать, когда их сумма равна целым числам, кратным векторам Бриллюэна ( рассеяние переброса ).

Хотя трехволновые системы обеспечивают простейшую форму резонансных взаимодействий в волнах, не все системы имеют трехволновые взаимодействия. Например, уравнение глубоководного волнения, системы сплошной среды, не имеет трехволнового взаимодействия. Задача Ферми -Пасты-Улама-Цингу , система дискретных сред, не имеет трехволнового взаимодействия. Четырехволновое взаимодействие действительно существует, но этого недостаточно для термализации системы; для этого требуется шестиволновое взаимодействие. В результате окончательное время термализации представляет собой обратную восьмую степень связи — очевидно, очень долгое время для слабой связи — что позволяет знаменитым повторениям FPUT доминировать в «нормальных» временных масштабах.

гамильтонова формулировка

Во многих случаях изучаемую систему легко выразить в гамильтоновом формализме . Когда это возможно, можно применить набор манипуляций, имеющих вид обобщенного нелинейного преобразования Фурье . Эти манипуляции тесно связаны с методом обратной задачи рассеяния .

Особенно простой пример можно найти при лечении глубоководных волн. В таком случае систему можно выразить через гамильтониан, сформулированный в канонических координатах $p,q$. Чтобы избежать путаницы в обозначениях, напишите $\psi ,\phi$ для этих двоих; они должны быть сопряженными переменными, удовлетворяющими уравнению Гамильтона. Их следует понимать как функции координат конфигурационного пространства. ${\vec {x}},t$, т.е. функции пространства и времени. Принимая преобразование Фурье , запишите

${\hat {\psi }}({\vec {k}})=\int e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\;\psi ({\vec {x}})\;dx$

и аналогично для ${\hat {\phi }}({\vec {k}})$. Здесь, ${\vec {k}}$ волновой вектор . Когда «на оболочке», это связано с угловой частотой. $\omega$ по дисперсионному соотношению . Операторы лестницы следуют каноническому принципу:

${\hat {\phi }}({\vec {k}})={\sqrt {2f(\omega )}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)$

${\hat {\psi }}({\vec {k}})=-i{\sqrt {\frac {2}{f(\omega )}}}\;\;\left(a_{k}-a_{-k}^{*}\right)$

с $2f(\omega )$ некоторая функция угловой частоты. $a,a^{*}$ соответствуют нормальным режимам линеаризованной системы. Гамильтониан (энергия) теперь может быть записан в терминах этих повышающих и понижающих операторов (иногда называемых « переменными плотности действия ») как

$H=H_{0}(a,a^{*})+\epsilon H_{1}(a,a^{*})$

Здесь первый термин $H_{0}(a,a^{*})$ квадратичен по $a,a^{*}$ и представляет линеаризованную теорию, в то время как нелинейности фиксируются в $H_{1}(a,a^{*})$, который является кубическим или более высокого порядка.

Учитывая вышеизложенное в качестве отправной точки, система затем разлагается на «свободный» и «связанный» режимы. Связанные моды не имеют собственной независимой динамики; например, высшие гармоники солитонного решения привязаны к основной моде и не могут взаимодействовать. Об этом можно судить по тому, что они не подчиняются закону дисперсии и не имеют резонансных взаимодействий. В этом случае применяются канонические преобразования с целью исключить невзаимодействующие члены и оставить свободные моды. То есть переписывают $a\to a^{\prime }=a+{\mathcal {O}}(\epsilon )$ и аналогично для $a^{*}$и переписывает систему с учетом этих новых, «свободных» (или, по крайней мере, более свободных) режимов. Если все сделано правильно, это оставляет $H_{1}$ выражается только терминами, которые резонансно взаимодействуют. Если $H_{1}$ кубичен, тогда это трехволновые члены ; если квартика, то это четырехволновые члены и так далее. Канонические преобразования можно повторять для получения членов более высокого порядка, если резонансные взаимодействия более низкого порядка не повреждены и умело избегают проблемы малых делителей . что происходит при наличии околорезонансов. Сами термины определяют скорость или скорость смешивания и иногда называются коэффициентами передачи или матрицей передачи . В заключение получается уравнение временной эволюции нормальных мод, скорректированное членами рассеяния. Выбрав из связки один из режимов, назовите его $a_{1}$ ниже временная эволюция имеет общий вид

${\frac {\partial a_{1}}{\partial t}}+i\omega _{1}=-i\int dk_{2}\cdots dk_{n}\;T_{1\cdots n}\;a_{2}^{\pm }\cdots a_{n}^{\pm }\;\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}$

с $T_{1\cdots n}$ коэффициенты передачи n -волнового взаимодействия и $\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}=\delta (k_{1}\pm k_{2}\pm \cdots \pm k_{n})$ отражая идею сохранения энергии/импульса, подразумеваемую резонансным взаимодействием. Здесь $a_{k}^{\pm }$ либо $a$ или $a^{*}$ по мере необходимости. Для глубоководных волн приведенное выше уравнение называется уравнением Захарова , названным в честь Владимира Евгеньевича Захарова .

История

Резонансные взаимодействия были впервые рассмотрены и описаны Анри Пуанкаре в 19 веке при анализе рядов возмущений , описывающих трех тел движение планет . Члены первого порядка в ряду пертурбативов можно понимать как форму матрицы ; собственные значения матрицы соответствуют фундаментальным модам возмущенного решения. Пуанкаре заметил, что во многих случаях существуют целочисленные линейные комбинации собственных значений, сумма которых равна нулю; это исходное резонансное взаимодействие . В резонансе передача энергии между модами может поддерживать систему в стабильном состоянии с фазовой синхронизацией . Однако переход ко второму порядку является сложной задачей по нескольким причинам. Во-первых, вырожденные решения трудно диагонализировать (для вырожденного пространства не существует уникального векторного базиса). Вторая проблема заключается в том, что различия появляются в знаменателе членов второго и более высокого порядка в ряду возмущений; небольшие различия приводят к знаменитой проблеме малых делителей . Их можно интерпретировать как соответствующие хаотическому поведению. Грубо говоря, точные резонансы приводят к рассеянию и смешиванию; приближенные резонансы приводят к хаотическому поведению.

Приложения

Резонансные взаимодействия нашли широкое применение во многих областях. Ниже приведен избранный список некоторых из них, указывающий на широкий спектр областей, в которых эти идеи были применены.

• На глубокой воде нет трехволнового взаимодействия между поверхностными гравитационными волнами ; форма дисперсионного уравнения запрещает это. Однако существует четырехволновое взаимодействие; он очень хорошо описывает экспериментально наблюдаемое взаимодействие наклонно движущихся волн ( т.е. без каких-либо свободных параметров или настроек). Гамильтонов формализм для глубоководных волн был дан Захаровым в 1968 году.
• Волны-убийцы — это необычно большие и неожиданные океанские поверхностные волны; здесь замешаны солитоны и, в частности, резонансные взаимодействия между тремя из них.
• Волны Россби , также известные как планетарные волны, описывают как реактивные течения , так и океанические волны, которые движутся вдоль термоклина . Существуют трехволновые резонансные взаимодействия волн Россби, поэтому их обычно изучают как таковые.
• Было замечено, что резонансные взаимодействия волн Россби связаны с диофантовыми уравнениями , которые обычно считаются темой теории чисел. Конструктивные методы решения диофантовых уравнений, возникающих в контексте резонансных взаимодействий волн различных типов (в том числе волн Россби), были впервые представлены Карташовой в 1990 году и их можно найти в

• В летнее время на мелководье в прибрежных водах наблюдалось аномальное распространение низкочастотных звуковых волн. Аномалии зависят от времени, анизотропны и могут проявлять аномально большое затухание . резонансное взаимодействие между акустическими волнами и солитона . внутренними волнами В качестве источника этих аномалий было предложено
• В астрофизике нелинейные резонансные взаимодействия между деформацией и колебаниями в релятивистски вращающемся аккреционном диске вокруг черной дыры были предложены в качестве причины наблюдаемых килогерцовых квазипериодических колебаний малой массы в рентгеновских двойных системах . Нелинейность, обеспечивающая связь, обусловлена ​​общей теорией относительности; аккреционные диски в ньютоновской гравитации, например, кольца Сатурна, не имеют такого рода резонансного взаимодействия (однако они демонстрируют множество других видов резонансов).
• Во время космического корабля входа в атмосферу высокая скорость космического корабля нагревает воздух до раскаленной плазмы . Эта плазма непроницаема для радиоволн, что приводит к отключению радиосвязи. Резонансные взаимодействия, которые механически (акустически) связывают космический корабль с плазмой, исследовались как средство пробивания дыры или туннелирования радиоволны, восстанавливая таким образом радиосвязь на критическом этапе полета.
• Резонансные взаимодействия были предложены как способ сочетания высокого пространственного разрешения электронных микроскопов с высоким временным разрешением лазеров , что позволяет проводить точную микроскопию как в пространстве, так и во времени. Резонансное взаимодействие происходит между свободными электронами и связанными электронами на поверхности материала.
• Заряженные частицы могут ускоряться за счет резонансного взаимодействия с электромагнитными волнами. Скалярные частицы (нейтральные атомы), описываемые уравнением Клейна-Гордона, могут ускоряться гравитационными волнами ( например , излучаемыми в результате слияния черных дыр).
• Физическая основа биоактивности макромолекул — молекулярное распознавание — взаимодействие белок -белок и белок- ДНК — плохо изучена. Известно, что такие взаимодействия являются электромагнитными (очевидно, это «химия»), но в остальном они плохо изучены (это не «просто водородные связи »). Метод информационного спектра (ISM) описывает такое молекулярное связывание с точки зрения резонансных взаимодействий. В белке валентные электроны различных аминокислот делокализуются и имеют некоторую свободу движения внутри белка. Их поведение можно относительно просто смоделировать с помощью электрон-ионного псевдопотенциала (EIIP), по одному для каждой отдельной аминокислоты или нуклеотида . Результатом моделирования являются спектры , к которым можно получить экспериментальный доступ, что подтверждает численные результаты. Кроме того, модель обеспечивает необходимое дисперсионное соотношение , из которого можно вывести резонансные взаимодействия. Резонансные взаимодействия получаются путем вычисления кросс-спектров . Поскольку резонансные взаимодействия смешивают состояния (и, таким образом, изменяют энтропию ), распознавание может происходить за счет энтропийных сил .
• Резонансное взаимодействие высокочастотных электромагнитных полей с раковыми клетками было предложено как метод лечения рака.

См. также

• Трехволновое уравнение
• Метод обратного рассеяния
• S-матрица
• Орбитальный резонанс
• Нелинейный резонанс
• Приливный резонанс
• Арнольд язык