Трехволновое уравнение

В нелинейных системах трехволновые уравнения , иногда называемые уравнениями трехволнового резонансного взаимодействия или триадными резонансами , описывают волны малой амплитуды в различных нелинейных средах, включая электрические цепи и нелинейную оптику . Они представляют собой набор полностью интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных . Поскольку они представляют собой простейший и наиболее прямой пример резонансного взаимодействия , имеют широкую применимость в науке и полностью интегрируются, они интенсивно изучаются с 1970-х годов.

Неофициальное знакомство

Трехволновое уравнение возникает при рассмотрении некоторых из простейших мыслимых нелинейных систем . Линейные дифференциальные системы имеют общий вид

$D\psi =\lambda \psi$

для некоторого дифференциального оператора D . Простейшим нелинейным расширением этого является запись

$D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.$

Как это можно решить? Доступно несколько подходов. В некоторых исключительных случаях могут быть известны точные решения уравнений такого вида. В общем, они обнаруживаются каким-то специальным образом после применения некоторого анзаца . Второй подход состоит в том, чтобы предположить, что $\varepsilon \ll 1$ и использовать теорию возмущений , чтобы найти «поправки» к линеаризованной теории. Третий подход заключается в применении методов теории матрицы рассеяния ( S-матрицы ).

В подходе S-матрицы рассматриваются частицы или плоские волны, приходящие из бесконечности, взаимодействующие и затем удаляющиеся на бесконечность. Считая от нуля, случай нулевых частиц соответствует вакууму , целиком состоящему из фона. Одночастичный случай — это волна, пришедшая из далекого прошлого и затем растворившаяся в воздухе; это может произойти, когда фон поглощает, притупляет или рассеивает . Поочередно волна появляется из воздуха и удаляется. Это происходит, когда фон неустойчив и порождает волны: говорят, что система « излучает ». Двухчастичный случай состоит в том, что частица входит, а затем выходит. Это целесообразно, когда фон неоднороден: например, акустическая плоская волна приходит, рассеивается от подводной лодки противника , а затем уходит в бесконечность; путем тщательного анализа исходящей волны можно определить характеристики пространственной неоднородности. Есть еще две возможности: создание пары и уничтожение пары. . В этом случае пара волн создается «из воздуха» (путем взаимодействия с каким-то фоном) или растворяется в воздухе.

Следующим по этому показателю является трехчастичное взаимодействие. Он уникален тем, что не требует какого-либо взаимодействующего фона или вакуума и не является «скучным» в смысле невзаимодействующей плоской волны на однородном фоне. Письмо $\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}$ для этих трех волн, движущихся от/к бесконечности, это простейшее квадратичное взаимодействие принимает форму

$(D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}$

и их циклические перестановки. Эту общую форму можно назвать трехволновым уравнением ; конкретная форма представлена ​​ниже. Ключевым моментом является то, что все квадратичные резонансные взаимодействия могут быть записаны в этой форме (при соответствующих предположениях). Для изменяющихся во времени систем, где $\lambda$ можно интерпретировать как энергию , можно написать

$(D-i\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}$

для версии, зависящей от времени.

Обзор

Формально трехволновое уравнение имеет вид

${\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}$

где $j,\ell ,m=1,2,3$ циклический, $v_{j}$ – групповая скорость волны, имеющей ${\vec {k}}_{j},\omega _{j}$ как волновой вектор и угловая частота , и $\nabla$ градиент измерениях , взятый в плоском евклидовом пространстве в n . $\eta _{j}$ – коэффициенты взаимодействия; изменив масштаб волны, их можно взять $\eta _{j}=\pm 1$. При циклической перестановке существует четыре класса решений. Письмо $\eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}$ у одного есть $\eta =\pm 1$. $\eta =-1$ все эквивалентны при перестановке. В измерениях 1+1 существуют три различных $\eta =+1$ решения: $+++$ растворы, называемые взрывчатыми веществами ; тот $--+$ случаи, называемые вынужденным обратным рассеянием , и $-+-$ случай, называемый обменом солитонов . Они соответствуют очень различным физическим процессам. Одно интересное решение называется симультоном . Оно состоит из трех сопутствующих солитонов, движущихся со скоростью v , которая отличается от любой из трех групповых скоростей. $v_{1},v_{2},v_{3}$. Это решение, возможно, имеет отношение к «трем сестрам», наблюдаемым в волнах-убийцах , хотя на глубокой воде не существует трехволнового резонансного взаимодействия.

Конспекты лекций Харви Сегура представляют собой введение.

Уравнения имеют пару Лакса и, таким образом, полностью интегрируемы . Пара Лакса представляет собой пару матриц 3x3, к которой метод обратного рассеяния можно применить , используя методы Фокаса . Класс пространственно однородных решений известен, они задаются эллиптической ℘-функцией Вейерштрасса . Соотношения резонансного взаимодействия в этом случае называются соотношениями Мэнли–Роу ; инварианты, которые они описывают, легко связаны с модульными инвариантами $g_{2}$ и $g_{3}.$ То, что они появляются, возможно, не совсем удивительно, поскольку существует простой интуитивный аргумент. Вычитая один волновой вектор из двух других, остается два вектора, которые образуют решетку периодов . Все возможные относительные положения двух векторов задаются j-инвариантом Клейна , поэтому следует ожидать, что решения будут характеризоваться этим.

Известно множество точных решений для различных граничных условий. Недавно было дано «почти общее решение» полного нелинейного УЧП для трехволнового уравнения. Он выражается через пять свободно выбираемых функций и ряд Лорана для шестого параметра.

Приложения

Некоторые избранные применения трехволновых уравнений включают:

• В нелинейной оптике , перестраиваемые лазеры охватывающие широкий спектр частот, могут быть созданы путем параметрического трехволнового смешения в квадратичном ( $\chi ^{(2)}$) нелинейные кристаллы .
• Поверхностные акустические волны и в электронных параметрических усилителях .
• Глубоководные волны сами по себе не имеют трехволнового взаимодействия; однако этого можно избежать в нескольких сценариях:
  • Глубоководные капиллярные волны описываются трехволновым уравнением.
  • Акустические волны соединяются с глубоководными волнами в трехволновом взаимодействии.
  • Волны завихренности образуют триаду.
  • Однородный ток (обязательно пространственно неоднородный по глубине) имеет триадные взаимодействия.

Все эти случаи естественным образом описываются трехволновым уравнением.

• В физике плазмы трехволновое уравнение описывает взаимодействие в плазме.