Уравнение Камассы – Холма

Взаимодействие двух пиконов , которые представляют собой солитонные решения с острыми гребнями уравнения Камассы – Холма. Профиль волны (сплошная кривая) формируется простым линейным сложением двух пиконов (пунктирные кривые):
$u=m_{1}\,e^{-|x-x_{1}|}+m_{2}\,e^{-|x-x_{2}|}.$
Эволюция отдельных позиций пиконов $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ , а также эволюцию амплитуд пиконов $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t),$ однако менее тривиален: он определяется взаимодействием нелинейным образом.

В гидродинамике уравнение Камассы – Холма представляет собой интегрируемое , безразмерное и нелинейное уравнение в частных производных.

u_{t}+2\kappa u_{x}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}.\,

Уравнение было введено Роберто Камассой и Дэррилом Холмом. ^{[ 1 ]} как бигамильтонова модель для волн на мелкой воде , и в этом контексте параметр κ положителен, а решения для уединенных волн представляют собой гладкие солитоны .

В частном случае, когда κ равно нулю, уравнение Камассы–Холма имеет пиконные решения: солитоны с острым пиком, то есть с разрывом на пике наклона волны .

Связь с волнами на мелководье

Уравнение Камассы–Холма можно записать в виде системы уравнений: ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}u_{t}+uu_{x}+p_{x}&=0,\\p-p_{xx}&=2\kappa u+u^{2}+{\frac {1}{2}}\left(u_{x}\right)^{2},\end{aligned}}

где p - (безразмерное) давление или высота поверхности. Это показывает, что уравнение Камассы–Холма является моделью волн на мелкой воде с негидростатическим давлением и слоем воды на горизонтальном дне.

Линейные дисперсионные характеристики уравнения Камассы – Холма:

\omega =2\kappa {\frac {k}{1+k^{2}}},

где ω — , угловая частота а k — число волновое . Неудивительно, что оно имеет форму, аналогичную уравнению Кортевега-де Фриза , при условии, что κ не равно нулю. При κ, равном нулю, уравнение Камассы–Холма не имеет частотной дисперсии — более того, линейная фазовая скорость для этого случая равна нулю. В результате κ — это фазовая скорость для длинноволнового предела k, приближающаяся к нулю, а уравнение Камассы–Холма является (если κ ненулевым) моделью однонаправленного распространения волн, подобной уравнению Кортевега–де Фриза. .

гамильтонова структура

Вводя импульс m как

m=u-u_{xx}+\kappa ,\,

тогда два совместимых гамильтоновых описания уравнения Камассы – Холма: ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}m_{t}&=-{\mathcal {D}}_{1}{\frac {\delta {\mathcal {H}}_{1}}{\delta m}}&&{\text{ with }}&{\mathcal {D}}_{1}&=m{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}m&{\text{ and }}{\mathcal {H}}_{1}&={\frac {1}{2}}\int u^{2}+\left(u_{x}\right)^{2}\;{\text{d}}x,\\m_{t}&=-{\mathcal {D}}_{2}{\frac {\delta {\mathcal {H}}_{2}}{\delta m}}&&{\text{ with }}&{\mathcal {D}}_{2}&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}&{\text{ and }}{\mathcal {H}}_{2}&={\frac {1}{2}}\int u^{3}+u\left(u_{x}\right)^{2}-\kappa u^{2}\;{\text{d}}x.\end{aligned}}

Интегрируемость

Уравнение Камассы–Холма является интегрируемой системой . Интегрируемость означает, что происходит замена переменных ( переменные действие-угол ) так, что уравнение эволюции в новых переменных эквивалентно линейному потоку с постоянной скоростью. Эта замена переменных достигается путем изучения связанной с ней проблемы изоспектрального рассеяния и напоминает тот факт, что интегрируемые классические гамильтоновы системы эквивалентны линейным потокам с постоянной скоростью на торах . Уравнение Камассы–Холма интегрируемо при условии, что импульс

m=u-u_{xx}+\kappa \,

положительный — см. ^{[ 4 ]} и ^{[ 5 ]} для подробного описания спектра, связанного с изоспектральной проблемой, ^{[ 4 ]} для обратной спектральной задачи в случае пространственно-периодических гладких решений и ^{[ 6 ]} для метода обратного рассеяния в случае гладких решений, затухающих на бесконечности.

Точные решения

Бегущие волны – это решения вида

u(t,x)=f(x-ct)\,

представляющие волны постоянной формы f , которые распространяются с постоянной скоростью c . Эти волны называются уединенными, если они представляют собой локализованные возмущения, т. е. если волновой профиль f затухает на бесконечности. Если уединенные волны сохраняют свою форму и скорость после взаимодействия с другими волнами того же типа, мы говорим, что уединенные волны являются солитонами. Существует тесная связь между интегрируемостью и солитонами. ^{[ 7 ]} В предельном случае, когда κ = 0, солитоны становятся остроконечными (имеют форму графика функции f ( x ) = e ^{−| х |}), и их тогда называют пиконами . Можно дать явные формулы для взаимодействий пиконов, визуализируя тем самым тот факт, что они являются солитонами. ^{[ 8 ]} Для гладких солитонов взаимодействия солитонов менее элегантны. ^{[ 9 ]} Частично это связано с тем, что в отличие от пиконов гладкие солитоны сравнительно легко описать качественно — они гладкие, экспоненциально быстро затухающие на бесконечности, симметричные относительно гребня и имеющие две точки перегиба. ^{[ 10 ]} — но явных формул нет. Заметим также, что уединенные волны орбитально устойчивы, т.е. их форма устойчива при малых возмущениях, как для гладких солитонов, так и для гладких солитонов. ^{[ 10 ]} и для пиконов. ^{[ 11 ]}

Разрушение волны

Уравнение Камассы–Холма моделирует обрушивающиеся волны : гладкий начальный профиль с достаточным затуханием на бесконечности развивается либо в волну, существующую всегда, либо в обрушивающуюся волну (обрушение волны ^{[ 12 ]} характеризующийся тем, что решение остается ограниченным, но его наклон становится неограниченным за конечное время). Тот факт, что уравнения допускают решения такого типа, обнаружили Камасса и Холм. ^{[ 1 ]} и эти соображения впоследствии были положены на прочную математическую основу. ^{[ 13 ]} Известно, что сингулярности в решениях могут возникать только в виде обрушивающихся волн. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Более того, зная плавный начальный профиль, можно предсказать (через необходимое и достаточное условие), произойдет ли обрушение волны или нет. ^{[ 16 ]} Что касается продолжения решений после обрушения волны, то возможны два сценария: консервативный случай ^{[ 17 ]} и диссипативный случай ^{[ 18 ]} (причем первый характеризуется сохранением энергии, а диссипативный сценарий учитывает потерю энергии из-за разрушения).

Длинная асимптотика

Можно показать, что при достаточно быстром затухании гладкие начальные условия с положительным импульсом распадаются на конечное число и солитоны плюс затухающую дисперсионную часть. Точнее, для $\kappa >0$ : ^{[ 19 ]} Сокращать $c=x/(\kappa t)$ . В солитонной области $c>2$ решения распадаются на конечную линейную комбинацию солитонов. В этом регионе $0<c<2$ решение асимптотически задается модулированной синусоидальной функцией, амплитуда которой убывает как $t^{-1/2}$ . В этом регионе $-1/4<c<0$ решение асимптотически дается суммой двух модулированных синусоидальных функций, как и в предыдущем случае. В этом регионе $c<-1/4$ раствор быстро затухает. В случае $\kappa =0$ решение распадается на бесконечную линейную комбинацию пиконов ^{[ 20 ]} (как предполагалось ранее ^{[ 21 ]}).

Геометрическая формулировка

В пространственно-периодическом случае уравнению Камассы–Холма можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Группа $\mathrm {Diff} (S^{1})$ диффеоморфизмов единичной окружности $S^{1}$ — бесконечномерная группа Ли, которой алгебра Ли $\mathrm {Vect} (S^{1})$ состоит из гладких векторных полей на $S^{1}$ . ^{[ 22 ]} $H^{1}$ внутренний продукт на $\mathrm {Vect} (S^{1})$ ,

\left\langle u{\frac {\partial }{\partial x}},v{\frac {\partial }{\partial x}}\right\rangle _{H^{1}}=\int _{S^{1}}(uv+u_{x}v_{x})dx,

индуцирует правоинвариантную риманову метрику на $\mathrm {Diff} (S^{1})$ . Здесь $x$ стандартная координата на $S^{1}$ . Позволять

U(x,t)=u(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}

быть зависящим от времени векторным полем на $S^{1}$ , и пусть $\{\varphi _{t}\}$ быть потоком $U$ , то есть решение

{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}(x)=u(\varphi _{t}(x),t).

Затем $u$ является решением уравнения Камассы–Холма с $\kappa =0$ , тогда и только тогда, когда путь $t\mapsto \varphi _{t}\in \mathrm {Diff} (S^{1})$ это геодезическая линия на $\mathrm {Diff} (S^{1})$ относительно правого инварианта $H^{1}$ метрика. ^{[ 23 ]}

Для общего $\kappa$ уравнение Камассы–Холма соответствует уравнению геодезических аналогичной правоинвариантной метрики на универсальном центральном расширении $\mathrm {Diff} (S^{1})$ , группа Вирасоро .

См. также

Примечания

Ссылки

Билз, Ричард ; Саттингер, Дэвид Х.; Шмигельски, Яцек (1999), «Мультипиконы и теорема Стилтьеса», Обратные задачи , том. 15, нет. 1, стр. L1–L4, arXiv : solv-int/9903011 , Bibcode : 1999InvPr..15L...1B , CiteSeerX 10.1.1.251.3369 , doi : 10.1088/0266-5611/15/1/001 , S2CID 250883 574
Болдеа, Костин-Раду (1995), «Обобщение уединенной волны Пикона и уравнения Камассы – Холма» , General Mathematics , vol. 5, нет. 1–4, стр. 33–42.
Буте де Монвель, Анна ; Костенко, Алексей; Шепельский Дмитрий; Тешль, Джеральд (2009), «Долгая асимптотика для уравнения Камассы – Холма», SIAM Journal on Mathematical Analysis , vol. 41, нет. 4, стр. 1559–1588, arXiv : 0902.0391 , doi : 10.1137/090748500 , S2CID 7443966
Брессан, Альберто ; Константин, Адриан (2007a), «Глобальные консервативные решения уравнения Камассы – Холма» , Архив рациональной механики и анализа , том. 183, нет. 2, стр. 215–239, Bibcode : 2007ArRMA.183..215B , CiteSeerX 10.1.1.229.3821 , doi : 10.1007/s00205-006-0010-z
Брессан, Альберто ; Константин, Адриан (2007b), «Глобальные диссипативные решения уравнения Камассы – Холма» , Анализ и приложения , том. 5, нет. 1, стр. 1–27, CiteSeerX 10.1.1.230.3221 , doi : 10.1142/S0219530507000857.
Камасса, Роберто; Холм, Дэррил Д. (1993), «Интегрируемое уравнение мелкой воды с остроконечными солитонами», Physical Review Letters , vol. 71, нет. 11, стр. 1661–1664, arXiv : Patt-sol/9305002 , Bibcode : 1993PhRvL..71.1661C , doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661 , PMID 10054466 , S2CID 8832709
Константин, Адриан (2000), «Существование постоянных и прибойных волн для уравнения мелкой воды: геометрический подход» , Annales de l'Institut Fourier , vol. 50, нет. 2, стр. 321–362, doi : 10.5802/aif.1757.
Константин, Адриан (2001), «О проблеме рассеяния для уравнения Камассы – Холма», Труды Королевского общества A , том. 457, нет. 2008, стр. 953–970, Bibcode : 2001RSPSA.457..953C , doi : 10.1098/rspa.2000.0701 , S2CID 121740772
Константин, Адриан; Эшер, Иоахим (1998), «Обрушение волн для нелинейных нелокальных уравнений мелкой воды», Acta Mathematica , vol. 181, нет. 2, стр. 229–243, номер документа : 10.1007/BF02392586.
Константин, Адриан; Эшер, Иоахим (2000), «О скорости разрушения и наборе разрушения обрушивающихся волн для уравнения мелкой воды», Mathematische Zeitschrift , vol. 233, нет. 1, стр. 75–91, номер документа : 10.1007/PL00004793.
Константин, Адриан; Маккин, Генри П. (1999), «Уравнение мелкой воды на круге», Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 52, нет. 8, стр. 949–982, doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(199908)52:8<949::AID-CPA3>3.0.CO;2-D
Константин, Адриан; Штраус, Уолтер А. (2000), «Стабильность пиконов», Сообщения по чистой и прикладной математике , 53 (5): 603–610, doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(200005)53:5<603: :AID-CPA3>3.0.CO;2-L
Константин, Адриан; Штраус, Уолтер А. (2002), «Стабильность солитонов Камассы – Холма», Journal of Nonlinear Science , 12 (4): 415–422, Бибкод : 2002JNS....12..415C , doi : 10.1007/s00332 -002-0517-х
Константин, Адриан; Герджиков Владимир С.; Иванов, Россен И. (2006), «Обратное преобразование рассеяния для уравнения Камассы – Холма», Обратные задачи , том. 22, нет. 6, стр. 2197–2207, arXiv : nlin/0603019 , Bibcode : 2006InvPr..22.2197C , doi : 10.1088/0266-5611/22/6/017 , S2CID 42866512
Дразин, П.Г. Джонсон, Р.С. (1989), Солитоны: введение , Издательство Кембриджского университета, Кембридж
Экхардт, Джонатан; Тешль, Джеральд (2013), «Об изоспектральной задаче бездисперсионного уравнения Камассы-Холма», « Достижения в области математики» , том. 235, нет. 1, стр. 469–495, arXiv : 1205.5831 , doi : 10.1016/j.aim.2012.12.006.
Кригль, Андреас; Мичор, Питер В. (1997), Удобные условия глобального анализа , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 454–456, ISBN. 0-8218-0780-3 , OCLC 37141279
Лубе, Энрике (2005), «О явной характеристике гамильтонианов иерархии Камассы – Холма» (PDF) , Journal of Nonlinear Mathematical Physics , vol. 12, нет. 1, стр. 135–143, Bibcode : 2005JNMP...12..135L , doi : 10.2991/jnmp.2005.12.1.11
Маккин, Генри П. (2003), «Определители Фредгольма и иерархия Камассы-Холма», Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 56, нет. 5, стр. 638–680, doi : 10.1002/cpa.10069 , S2CID 120705992.
Маккин, Генри П. (2004), «Разложение уравнения Камассы – Холма», Communications on Pure and Applied Mathematics , vol. 57, нет. 3, стр. 416–418, номер документа : 10.1002/cpa.20003 , S2CID 119503608.
Мисиолек, Жерар (1998), «Уравнение мелкой воды как геодезический поток в группе Ботта-Вирасоро», Journal of Geometry and Physics , vol. 24, нет. 3, стр. 203–208, Bibcode : 1998JGP....24..203M , doi : 10.1016/S0393-0440(97)00010-7.
Паркер, Аллен (2005), «Об уравнении Камассы – Холма и прямом методе решения. III. N -солитонные решения», Proceedings of the Royal Society A , vol. 461, нет. 2064, стр. 3893–3911, Bibcode : 2005RSPSA.461.3893P , doi : 10.1098/rspa.2005.1537 , S2CID 124167957
Уизем, Великобритания (1974), Линейные и нелинейные волны , Нью-Йорк; Лондон; Сидней: Wiley Interscience

Дальнейшее чтение

Введение в предмет

Другие

[FOOTNOTECamassaHolm1993-1] Jump up to: ^а ^б Камасса и Холм 1993 .

[FOOTNOTELoubet2005-2] Лубе 2005 .

[FOOTNOTEBoldea1995-3] Болдеа 1995 .

[FOOTNOTEConstantinMcKean1999-4] Jump up to: ^а ^б Константин и Маккин, 1999 .

[FOOTNOTEConstantin2001-5] Константин 2001 .

[FOOTNOTEConstantinGerdjikovIvanov2006-6] Константин, Герджиков и Иванов 2006 .

[FOOTNOTEDrazinJohnson1989-7] Дразин и Джонсон 1989 .

[FOOTNOTEBealsSattingerSzmigielski1999-8] Билс, Саттингер и Шмигельски 1999 .

[FOOTNOTEParker2005-9] Паркер 2005 .

[FOOTNOTEConstantinStrauss2002-10] Jump up to: ^а ^б Константин и Штраус 2002 .

[FOOTNOTEConstantinStrauss2000-11] Константин и Штраус 2000 .

[FOOTNOTEWhitham1974-12] Уизем 1974 .

[FOOTNOTEConstantinEscher1998-13] Константин и Эшер 1998 .

[FOOTNOTEConstantin2000-14] Константин 2000 .

[FOOTNOTEConstantinEscher2000-15] Константин и Эшер 2000 .

[FOOTNOTEMcKean2004-16] Маккин 2004 .

[FOOTNOTEBressanConstantin2007a-17] Брессан и Константин 2007a .

[FOOTNOTEBressanConstantin2007b-18] Брессан и Константин 2007b .

[FOOTNOTEBoutet_de_MonvelKostenkoShepelskyTeschl2009-19] Буте де Монвель и др. 2009 .

[FOOTNOTEEckhardtTeschl2013-20] Экхардт и Тешль, 2013 .

[FOOTNOTEMcKean2003-21] Маккин 2003 .

[FOOTNOTEKrieglMichor1997-22] Кригль и Михор 1997 .

[FOOTNOTEMisiołek1998-23] Мисиолек 1998 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]