Уравнение Дегасперса – Процесси

В математической физике уравнение Дегаспериса –Прочези

\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}

является одним из двух точно решаемых уравнений в следующем семействе третьего порядка нелинейных дисперсионных УЧП :

\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},

где $\kappa$ — b действительные параметры ( b =3 для уравнения Дегаспериса–Прочези). Оно было обнаружено Антонио Дегасперисом и Микелой Процесси в поисках интегрируемых уравнений, подобных по форме уравнению Камассы – Холма , которое является другим интегрируемым уравнением в этом семействе (соответствующим b =2); То, что эти два уравнения являются единственными интегрируемыми случаями, было проверено с помощью множества различных тестов интегрируемости. ^{[ 1 ]} Хотя оно было открыто исключительно благодаря своим математическим свойствам, уравнение Дегаспериса – Процессези (с $\kappa >0$ Позже было обнаружено, что оно играет ту же роль в теории волн на воде , что и уравнение Камассы – Холма. ^{[ 2 ]}

Солитонные решения

Среди решений уравнения Дегаспериса–Прочези (в частном случае $\kappa =0$ ) представляют собой так называемые многопиковые решения, являющиеся функциями вида

\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}

где функции $m_{i}$ и $x_{i}$ удовлетворить ^{[ 3 ]}

{\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatorname {sgn} {(x_{i}-x_{j})}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.

Эти ОДУ можно решить явно в терминах элементарных функций, используя обратные спектральные методы . ^{[ 4 ]}

Когда $\kappa >0$ солитонные решения уравнения Дегаспериса–Прочези гладкие; они сходятся к пиконам в пределе как $\kappa$ стремится к нулю. ^{[ 5 ]}

Прерывистые решения

Уравнение Дегаспериса–Прочези (с $\kappa =0$ ) формально эквивалентен (нелокальному) гиперболическому закону сохранения

\partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,

где $G(x)=\exp(-|x|)$ , и где звездочка обозначает свертку по x . В этой постановке оно допускает слабые решения с очень низкой степенью регулярности, даже разрывные ( ударные волны ). ^{[ 6 ]} Напротив, соответствующая формулировка уравнения Камассы–Холма содержит свертку, включающую как $u^{2}$ и $u_{x}^{2}$ , что имеет смысл только в том случае, если u лежит в пространстве Соболева $H^{1}=W^{1,2}$ относительно х . По теореме вложения Соболева это означает, в частности, что слабые решения уравнения Камассы–Холма должны быть непрерывны по x .

Примечания

Ссылки

Коклит, Джузеппе Мария; Карлсен, Кеннет Хвистендаль (2006), «О корректности уравнения Дегаспериса – Процессези», J. Funct. Анальный. , том. 233, нет. 1, стр. 60–91, doi : 10.1016/j.jfa.2005.07.008 , hdl : 10852/10570 , S2CID 13339336
Коклит, Джузеппе Мария; Карлсен, Кеннет Хвистендаль (2007), «О единственности разрывных решений уравнения Дегаспериса – Процессези» (PDF) , J. Differential Equations , vol. 234, нет. 1, стр. 142–160, Bibcode : 2007JDE...234..142C , doi : 10.1016/j.jde.2006.11.008
Константин, Адриан; Ланн, Дэвид (2007), «Гидродинамическая значимость уравнений Камассы-Холма и Дегаспериса-Прочези», Archive for Rational Mechanics and Analysis , 192 (1): 165–186, arXiv : 0709.0905 , Bibcode : 2009ArRMA.192.. 165С , дои : 10.1007/s00205-008-0128-2 , S2CID 17294466
Дегасперис, Антонио; Холм, Дэррил Д.; Хоун, Эндрю Н.В. (2002), «Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями», Теор. И математика. Физ. , том. 133, нет. 2, с. 1463–1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023/A:1021186408422 , S2CID 121862973
Дегасперис, Антонио; Процесси, Микела (1999), «Асимптотическая интегрируемость» , в Дегасперисе, Антонио; Гаэта, Джузеппе (ред.), Теория симметрии и возмущений (Рим, 1998) , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 23–37.
Дуллин, Хольгер Р.; Готвальд, Георг А.; Холм, Дэррил Д. (2004), «Об асимптотически эквивалентных уравнениях волнения на мелкой воде», Physica D , vol. 190, нет. 1–2, стр. 1–14, arXiv : nlin.PS/0307011 , Bibcode : 2004PhyD..190....1D , doi : 10.1016/j.physd.2003.11.004 , S2CID 16100694
Эшер, Иоахим; Лю, Юэ; Инь, Чжаоян (2007), «Ударные волны и явления разрушения для периодического уравнения Дегаспериса – Процессези» , Indiana Univ. Математика. Дж. , вып. 56, нет. 1, стр. 87–117, номер документа : 10.1512/iumj.2007.56.3040.
Хоун, Эндрю Н.В.; Ван, Цзин Пинг (2003), «Алгебры продолжения и гамильтоновы операторы для уравнений пикона», Обратные задачи , том. 19, нет. 1, стр. 129–145, Bibcode : 2003InvPr..19..129H , doi : 10.1088/0266-5611/19/1/307 , S2CID 250876439
Иванов, Россен (2005), «Об интегрируемости одного класса нелинейных дисперсионных волновых уравнений», J. Nonlin. Математика. Физ. , том. 12, нет. 4, стр. 462–468, arXiv : nlin/0606046 , Bibcode : 2005JNMP...12..462R , doi : 10.2991/jnmp.2005.12.4.2 , S2CID 248410128
Иванов, Россен (2007), «Водные волны и интегрируемость», Фил. Пер. Р. Сок. А , том. 365, нет. 1858, стр. 2267–2280, arXiv : 0707.1839 , Bibcode : 2007RSPTA.365.2267I , doi : 10.1098/rsta.2007.2007 , PMID 17360266 , S2CID 11248237
Джонсон, Робин С. (2003), «Классическая проблема волн на воде: резервуар интегрируемых и почти интегрируемых уравнений», Дж. Нонлин. Математика. Физ. , том. 10, нет. Приложение 1, стр. 72–92, Bibcode : 2003JNMP...10S..72J , doi : 10.2991/jnmp.2003.10.s1.6
Лундмарк, Ганс (2007), «Формирование и динамика ударных волн в уравнении Дегаспериса – Процесси» , J. Nonlinear Sci. , том. 17, нет. 3, стр. 169–198, Bibcode : 2007JNS....17..169L , doi : 10.1007/s00332-006-0803-3 , S2CID 28451735
Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2003), «Многопиконные решения уравнения Дегаспериса – Процессези», Обратные задачи , том. 19, нет. 6, стр. 1241–1245, arXiv : nlin.SI/0503033 , Bibcode : 2003InvPr..19.1241L , doi : 10.1088/0266-5611/19/6/001 , S2CID 250887009
Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2005), «Пиконы Дегаспериса – Процесси и дискретная кубическая струна», Internat. Математика. Рез. Статьи , вып. 2005, нет. 2, стр. 53–116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155/IMRP.2005.53.
Мацуно, Ёшимаса (2005a), «Многосолитонные решения уравнения Дегаспериса – Процессези и их пикон-предел», Обратные задачи , том. 21, нет. 5, стр. 1553–1570, arXiv : nlin/0511029 , Bibcode : 2005InvPr..21.1553M , doi : 10.1088/0266-5611/21/5/004 , S2CID 122820100
Мацуно, Ёсимаса (2005b), « N -солитонное решение уравнения Дегаспериса – Процесси», Обратные задачи , том. 21, нет. 6, стр. 2085–2101, arXiv : nlin.SI/0511029 , Bibcode : 2005InvPr..21.2085M , doi : 10.1088/0266-5611/21/6/018
Михайлов Александр Васильевич; Новиков, Владимир С. (2002), «Пертурбативный подход симметрии», J. Phys. А: Математика. Ген. , т. 1, с. 35, нет. 22, стр. 4775–4790, arXiv : nlin.SI/0203055v1 , Bibcode : 2002JPhA...35.4775M , doi : 10.1088/0305-4470/35/22/309 , S2CID 6976529
Ляо, С.Дж. (2013), «Действительно ли существуют уединенные волны на воде с пиками?», Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 19 (6): 1792–1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode : 2014CNSNS..19.1792L , doi : 10.1016/j.cnsns.2013.09.042 , S2CID 119203215

Дальнейшее чтение

[FOOTNOTEDegasperisProcesi1999DegasperisHolmHone2002MikhailovNovikov2002HoneWang2003Ivanov2005-1] Дегасперис и Процесси 1999 ; Дегасперис, Холм и Хоун, 2002 г .; Михайлов и Новиков 2002 ; Хоне и Ван 2003 ; Иванов 2005 .

[FOOTNOTEJohnson2003DullinGottwaldHolm2004ConstantinLannes2007Ivanov2007-2] Джонсон 2003 ; Даллин, Готвальд и Холм, 2004 г .; Константин и Ланн, 2007 г .; Иванов 2007 .

[FOOTNOTEDegasperisHolmHone2002-3] Дегасперис, Холм и Хоун 2002 .

[FOOTNOTELundmarkSzmigielski2003LundmarkSzmigielski2005-4] Лундмарк и Шмигельски 2003 ; Лундмарк и Шмигельский 2005 .

[FOOTNOTEMatsuno2005aMatsuno2005b-5] 2005a ; Мацуно

[FOOTNOTECocliteKarlsen2006CocliteKarlsen2007Lundmark2007EscherLiuYin2007-6] Коклит и Карлсен 2006 ; Коклит и Карлсен 2007 ; Лундмарк 2007 ; Эшер, Лю и Инь 2007 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]