Группа Вирасоро

В абстрактной алгебре группа Вирасоро или группа Ботта – Вирасоро (часто обозначаемая Vir ). ^[1] — бесконечномерная группа Ли, как универсальное центральное расширение группы диффеоморфизмов окружности определенная . Соответствующей алгеброй Ли является алгебра Вирасоро , которая играет ключевую роль в конформной теории поля (КТП) и теории струн .

Группа названа в честь Мигеля Анхеля Вирасоро и Рауля Ботта .

Предыстория [ править ]

ориентацию , сохраняющий Диффеоморфизм окружности $S^{1}$ , точки которого отмечены действительной координатой $x$ при условии идентификации $x\sim x+2\pi$ , представляет собой гладкую карту $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto f(x)$ такой, что $f(x+2\pi )=f(x)+2\pi$ и $f'(x)>0$ . Множество всех таких отображений охватывает группу, умножение которой задается композицией диффеоморфизмов . Эта группа является универсальным накрытием группы сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности, обозначаемой как ${\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})$ .

Определение [ править ]

Группа Вирасоро является универсальным центральным продолжением ${\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})$ . ^[2]^{: секта. 4.4} Расширение определяется конкретным двойным коциклом , который является функцией с действительным знаком. ${\mathsf {C}}(f,g)$ пар диффеоморфизмов. В частности, расширение определяется коциклом Ботта – Терстона:

{\mathsf {C}}(f,g)\equiv -{\frac {1}{48\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log {\big [}f'{\big (}g(x){\big )}{\big ]}{\frac {g''(x)\,{\text{d}}x}{g'(x)}}.

В этих терминах группа Вирасоро представляет собой множество

{\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})\times \mathbb {R}

из всех пар

(f,\alpha )

, где

f

является диффеоморфизмом и

\alpha

- действительное число, наделенное двоичной операцией

(f,\alpha )\cdot (g,\beta )={\big (}f\circ g,\alpha +\beta +{\mathsf {C}}(f,g){\big )}.

Эта операция является ассоциативно-групповой операцией. Это расширение является единственным центральным расширением универсального накрытия группы диффеоморфизмов окружности с точностью до тривиальных расширений. ^[2] Группу Вирасоро также можно определить без использования явных координат или явного выбора коцикла для представления центрального расширения через описание универсального покрытия группы. ^[2]

Алгебра Вирасоро [ править ]

Алгебра Ли группы Вирасоро — это алгебра Вирасоро . как векторное пространство состоит из пар Алгебра Ли группы Вирасоро $(\xi ,\alpha )$ , где $\xi =\xi (x)\partial _{x}$ векторное поле на окружности и $\alpha$ является действительным числом, как и раньше. В частности, векторное поле можно рассматривать как бесконечно малый диффеоморфизм. $f(x)=x+\epsilon \xi (x)$ . Скобка Ли пар $(\xi ,\alpha )$ тогда следует из умножения, определенного выше, и можно показать, что оно удовлетворяет ^[3]^{: секта. 6.4}

{\big [}(\xi ,\alpha ),(\zeta ,\beta ){\big ]}={\bigg (}[\xi ,\zeta ],-{\frac {1}{24\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\text{d}}x\,\xi (x)\zeta '''(x){\bigg )}

где скобка векторных полей в правой части обычная :

[\xi ,\zeta ]=(\xi (x)\zeta '(x)-\zeta (x)\xi '(x))\partial _{x}

. После определения комплексных генераторов

L_{m}\equiv {\Big (}-ie^{imx}\partial _{x},-{\frac {i}{24}}\delta _{m,0}{\Big )},\qquad Z\equiv (0,-i),

скобка Ли принимает стандартную учебниковую форму алгебры Вирасоро: ^[4]

[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {Z}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n}.

Генератор $Z$ коммутирует со всей алгеброй. Поскольку его присутствие обусловлено центральным расширением, на него распространяется правило суперотбора , гарантирующее, что в любой физической системе, обладающей симметрией Вирасоро, оператор, представляющий $Z$ является кратным тождеству. Коэффициент перед единицей тогда известен как центральный заряд .

Свойства [ править ]

Поскольку каждый диффеоморфизм $f$ должно быть задано бесконечным числом параметров (например, моды Фурье периодической функции $f(x)-x$ ), группа Вирасоро бесконечномерна.

Коприсоединенное представление [ править ]

Скобку Ли алгебры Вирасоро можно рассматривать как дифференциал присоединенного представления группы Вирасоро. Его двойственное представление, коприсоединенное представление группы Вирасоро, обеспечивает закон преобразования тензора напряжений CFT при конформных преобразованиях. С этой точки зрения производная Шварца в этом законе преобразования возникает как следствие коцикла Ботта – Терстона; на самом деле, шварциан — это так называемый коцикл Сурио (имеется в виду Жан-Мари Сурио ), связанный с коциклом Ботта-Терстона. ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Банс, Доротея; Бауэр, Вольфрам; Витт, Инго (11 февраля 2016 г.). Квантование, УЧП и геометрия: взаимодействие анализа и математической физики . Биркхойзер. ISBN 978-3-319-22407-7 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гье, Лоран; Роджер, Клод (2007), Алгебра и группа Вирасоро , Монреаль: Центр математических исследований, ISBN 978-2921120449
^ Облак, Благое (2016), Частицы BMS в трех измерениях , Тезисы Спрингера, Тезисы Спрингера, arXiv : 1610.08526 , doi : 10.1007/978-3-319-61878-4 , ISBN 978-3319618784 , S2CID 119321869
^ Ди Франческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997), Конформная теория поля , Нью-Йорк: Springer Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-2256-9 , ISBN 9780387947853

[1] Банс, Доротея; Бауэр, Вольфрам; Витт, Инго (11 февраля 2016 г.). Квантование, УЧП и геометрия: взаимодействие анализа и математической физики . Биркхойзер. ISBN 978-3-319-22407-7 .

[Guieu-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Гье, Лоран; Роджер, Клод (2007), Алгебра и группа Вирасоро , Монреаль: Центр математических исследований, ISBN 978-2921120449

[3] Облак, Благое (2016), Частицы BMS в трех измерениях , Тезисы Спрингера, Тезисы Спрингера, arXiv : 1610.08526 , doi : 10.1007/978-3-319-61878-4 , ISBN 978-3319618784 , S2CID 119321869

[4] Ди Франческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997), Конформная теория поля , Нью-Йорк: Springer Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-2256-9 , ISBN 9780387947853

[1]

[2]

[3]

[4]